Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-007

Мінімальні сідлові пари в матриці

Розглянемо довільну прямокутну таблицю зі скінченною кількістю рядків і стовпців, у клітинці в рядку rr і стовпці cc стоїть дійсне число a(r,c)a(r, c). Пару (R,CR, C), де RR — множина рядків, а CC — множина стовпців, називають сідловою парою, якщо виконуються такі дві умови: (i) Для кожного рядка r′r' існує r∈Rr \in R такий, що a(r,c)⩾a(r′,c)a(r, c) \geqslant a(r', c) для всіх c∈Cc \in C; (ii) Для кожного стовпця c′c' існує c∈Cc \in C такий, що a(r,c)⩽a(r,c′)a(r, c) \leqslant a(r, c') для всіх r∈Rr \in R. Сідлову пару (R,CR, C) називають мінімальною парою, якщо для кожної сідлової пари (R′,C′R', C'), для якої R′⊆RR' \subseteq R і C′⊆CC' \subseteq C, маємо R′=RR' = R і C′=CC' = C. Доведіть, що будь-які дві мінімальні пари містять однакову кількість рядків.
10–11 класиБієкції
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-005

Функції на цілих числах із функціональною рівністю

Нехай Z\mathbb{Z} — множина всіх цілих чисел. Знайдіть усі такі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, що для всіх цілих xx, yy задовольняють умову f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y).f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-010

Суми добутків з фіксованою сумою

Визначте всі цілі числа, які можна подати у вигляді x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk,x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{k-1}x_k, де x1,x2,…,xkx_1, x_2, \dots, x_k — натуральні числа, сума яких дорівнює 20192019.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-005

Перевертання k-ї монети в ряді та середня тривалість процесу

Банк міста Бат карбує монети з літерою HH на одному боці та літерою TT на другому боці. Гаррі виклав nn таких монет у ряд зліва направо. Він послідовно виконує таку операцію: якщо в ряду рівно k>0k > 0 монет лежать догори літерою HH, то він перевертає kk-ту зліва монету; інакше всі монети лежать догори літерою TT, і він зупиняється. Наприклад, якщо n=3n = 3 і процес перегортання монет починається з конфігурації THTTHT, то послідовність операцій матиме такий вигляд: THT→HHT→HTT→TTTTHT \to HHT \to HTT \to TTT, тобто процес припиниться після трьох операцій. а) Доведіть, що для будь-якої початкової конфігурації процес припиниться після скінченної кількості операцій. б) Для кожної початкової конфігурації CC позначимо за L(C)L(C) кількість операцій, після яких процес припиниться, наприклад L(THT)=3L(THT) = 3 та L(TTT)=0L(TTT) = 0. Знайдіть середнє арифметичне значень L(C)L(C), якщо CC пробігає всі 2n2^n можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-010

Послідовність з біноміальною властивістю суми

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots (не обов'язково різних) цілих чисел має такі властивості: 0⩽ai⩽i0 \leqslant a_{i} \leqslant i для всіх цілих i⩾0i \geqslant 0, і (ka0)+(ka1)+⋯+(kak)=2k\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k} для всіх цілих k⩾0k \geqslant 0. Доведіть, що всі цілі числа N⩾0N \geqslant 0 трапляються в послідовності (тобто для всіх N⩾0N \geqslant 0 існує i⩾0i \geqslant 0 таке, що ai=Na_{i}=N).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-011

Суми підмножин в обмеженому проміжку

Дано множину з nn блоків, кожен з яких важить принаймні 11; їхня сумарна вага дорівнює 2n2n. Доведіть, що для кожного дійсного числа rr такого, що 0⩽r⩽2n−20 \leqslant r \leqslant 2n-2, можна вибрати підмножину блоків, сумарна вага якої становить принаймні rr, але не більше за r+2r+2.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-004

Цілозначна функція з рідкісними значеннями

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Розглянемо функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y) для всіх цілих чисел xx і yy. Для такої функції кажемо, що ціле число vv є ff-рідкісним, якщо множина Xv={x∈Z:f(x)=v}X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\} є скінченною і непорожньою. a. Доведіть, що існує така функція ff, для якої існує ff-рідкісне ціле число. b. Доведіть, що жодна така функція ff не може мати більше одного ff-рідкісного цілого числа.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-016

Множина з обмеженими масштабами відстаней

Для будь-яких двох різних дійсних чисел xx і yy визначимо D(x,y)D(x, y) як єдине ціле число dd, що задовольняє 2d⩽∣x−y∣<2d+12^{d} \leqslant |x-y| < 2^{d+1}. Нехай дано множину дійсних чисел F\mathcal{F} та елемент x∈Fx \in \mathcal{F}; скажемо, що масштабами xx у множині F\mathcal{F} є значення D(x,y)D(x, y) для y∈Fy \in \mathcal{F} за умови x≠yx \neq y. Нехай kk — задане натуральне число. Припустимо, що кожен елемент xx множини F\mathcal{F} має не більше ніж kk різних масштабів у множині F\mathcal{F} (зауважимо, що ці масштаби можуть залежати від xx). Який найбільший можливий розмір множини F\mathcal{F}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-036

Мультиплікативна функція на трикутних числах

Нехай T={1,3,6,10,15,… }\mathbb{T} = \{1, 3, 6, 10, 15, \dots\} — множина трикутних чисел, тобто чисел вигляду Tn=n(n+1)2T_n = \frac{n(n+1)}{2}. Нехай ff — функція, визначена на множині натуральних чисел, така, що 1) f(n)f(n) є натуральним числом для кожного nn; 2) f(uv)=f(u)f(v)f(uv) = f(u)f(v) для будь-якої пари (u,v)(u, v) взаємно простих чисел; 3) f(a+b+c)=f(a)+f(b)+f(c)f(a + b + c) = f(a) + f(b) + f(c) для a,b,c∈Ta, b, c \in \mathbb{T}. Доведіть, що f(n)=nf(n) = n для всіх nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-003

Черга учасниць EGMO і найбільша кількість євро

Через C1,…,CnC_1, \ldots, C_n позначимо nn учасниць EGMO. По завершенні змагання вони шикуються в чергу перед рестораном за таким правилом: - журі вибирає початкове розміщення учасниць; - щохвилини журі вибирає ціле число ii, що задовольняє умови 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n: - якщо перед учасницею CiC_i стоїть принаймні ii інших учасниць, то вона сплачує 1 євро журі та переміщується вперед у черзі рівно на ii позицій; - якщо перед учасницею CiC_i стоїть менше ніж ii інших учасниць, то ресторан відкривається, і переміщення закінчуються. а) Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно довго, незалежно від дій журі. б) Для кожного nn визначте найбільшу кількість євро, що журі може отримати, вибираючи початкове розташування учасниць і порядок їхніх переміщень.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-004

Рекурентна послідовність зі змінним рекурентним співвідношенням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел такі, що a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1, і an+1={anbn+an−1, якщо bn−1=1anbn−an−1, якщо bn−1>1 для n=1,2,…a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} a_{n} b_{n}+a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}=1 \\ a_{n} b_{n}-a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}>1 \end{array} \quad \text{ для } n=1,2, \ldots\right. Доведіть, що принаймні одне з двох чисел a2017a_{2017} і a2018a_{2018} не менше від 20172017.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-008

Максимальний член рекурентного масиву

Нехай a0,1,a0,2,…,a0,2016a_{0,1}, a_{0,2}, \dots, a_{0,2016} — додатні дійсні числа. Для n≥1n \ge 1 і 1≤k<20161 \le k < 2016 покладемо an+1,k=an,k+12an,k+1a_{n+1,k} = a_{n,k} + \frac{1}{2a_{n,k+1}} і an+1,2016=an,2016+12an,1.a_{n+1,2016} = a_{n,2016} + \frac{1}{2a_{n,1}}. Нехай mn=max⁡1≤k≤2016an,kпри n≥0.m_n = \max_{1 \le k \le 2016} a_{n,k} \quad \text{при } n \ge 0. Доведіть, що m2016>44m_{2016} > 44.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-002

Знакові суми з умовою одиничної норми

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 з такою властивістю: для всіх дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, які задовольняють ∣ak∣+∣bk∣=1\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1 при 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, існують x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, кожне з яких дорівнює −1-1 або 11, такі, що ∣∑k=1nxkak∣+∣∑k=1nxkbk∣⩽1\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-005

Бульдозери, що змітають міста в ряд

У Лінленді є n⩾1n \geqslant 1 міст, розташованих уздовж дороги, що йде зліва направо. Кожне місто має лівий бульдозер (поставлений зліва від міста і спрямований ліворуч) та правий бульдозер (поставлений справа від міста і спрямований праворуч). Розміри всіх 2n2n бульдозерів різні. Щоразу, коли правий і лівий бульдозери зустрічаються лоб у лоб, більший бульдозер зіштовхує менший з дороги. Натомість бульдозери зовсім незахищені ззаду; тож якщо один бульдозер дістається до заднього кінця іншого, перший зіштовхує другий з дороги незалежно від їхніх розмірів. Нехай AA і BB — два міста, причому BB розташоване праворуч від AA. Кажемо, що місто AA може змести місто BB, якщо правий бульдозер міста AA може дійти до BB, зіштовхуючи всі бульдозери, які зустрічає на шляху. Аналогічно, BB може змести AA, якщо лівий бульдозер міста BB може дійти до AA, зіштовхуючи всі бульдозери всіх міст на своєму шляху. Доведіть, що існує рівно одне місто, яке не може бути зметене жодним іншим.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-010

Строго зростаючі функції з обмеженням на великі прості дільники

Для кожного натурального числа nn з розкладом на прості множники n=∏i=1kpiαin=\prod_{i=1}^{k} p_{i}^{\alpha_{i}} визначимо ℧(n)=∑i:pi>10100αi\mho(n)=\sum_{i: p_{i}>10^{100}} \alpha_{i} Тобто ℧(n)\mho(n) — це кількість простих дільників числа nn, більших за 1010010^{100}, порахованих з кратністю. Знайдіть усі строго зростаючі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що ℧(f(a)−f(b))⩽℧(a−b) для всіх цілих a і b таких, що a>b.\mho(f(a)-f(b)) \leqslant \mho(a-b) \quad \text{ для всіх цілих } a \text{ і } b \text{ таких, що } a>b .
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-034

Сума з факторіалами за модулем простого числа

Нехай pp — просте число. Знайдіть 1!⋅22+2!⋅32+3!⋅42+⋯+(p−3)!⋅(p−2)2mod  p.1! \cdot 2^2 + 2! \cdot 3^2 + 3! \cdot 4^2 + \dots + (p-3)! \cdot (p-2)^2 \quad \mod p.
10–11 класиТеорема Вільсона
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-010

Функціональна нерівність з оцінкою через максимум

Функція ff визначена на множині дійсних чисел R\mathbb{R}, набуває невід'ємних дійсних значень і задовольняє умову f(x+y)≤2max⁡{f(x),f(y)}f(x + y) \le 2 \max\{f(x), f(y)\} для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Чи правда, що для кожного натурального числа kk нерівність f(x1+⋯+xk)≤2(f(x1)+⋯+f(xk))f(x_1 + \cdots + x_k) \le 2(f(x_1) + \cdots + f(x_k)) виконується для всіх x1,…,xk∈Rx_1, \dots, x_k \in \mathbb{R}?
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-006

Переможець за порядком карт

Дано нескінченну колоду карт, на кожній з яких написано дійсне число. Для кожного дійсного числа xx у колоді є рівно одна карта, на якій написано xx. Тепер двоє гравців беруть із цієї колоди неперетинні множини AA і BB по 100100 карт кожна. Ми хочемо визначити правило, яке оголошує одного з них переможцем. Це правило має задовольняти такі умови: 1. Переможець залежить лише від відносного порядку 200200 карт: якщо карти розкласти в порядку зростання сорочкою донизу і нам сказати, яка карта належить якому гравцеві, але не сказати, які числа на них написані, ми все одно зможемо визначити переможця. 2. Якщо записати елементи обох множин у порядку зростання як A={a1,a2,…,a100}A=\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}\} і B={b1,b2,…,b100}B=\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{100}\}, і ai>bia_{i}>b_{i} для всіх ii, то AA перемагає BB. 3. Якщо троє гравців беруть із колоди три попарно неперетинні множини A,B,CA, B, C, AA перемагає BB і BB перемагає CC, то AA також перемагає CC. Скількома способами можна визначити таке правило? Тут два правила вважаємо різними, якщо існують дві множини AA і BB такі, що AA перемагає BB за одним правилом, але BB перемагає AA за іншим.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-029

Тури, що не б’ють одна одну, на шаховій дошці

Нехай kk і nn — цілі числа, які задовольняють 1≤k<n1 \le k < n. Розглянемо kn+1kn + 1 тур, розміщених на n×nn \times n-дошці. Доведіть, що серед них можна знайти k+1k + 1 тур, жодні дві з яких не б’ють одна одну.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-045

Суми підмножин як члени арифметичної прогресії

Нехай X={x0,…,xn−1}X = \{x_0, \dots, x_{n-1}\} — nn-елементна множина дійсних чисел така, що 0<∣x0∣≤⋯≤∣xn−1∣0 < |x_0| \le \dots \le |x_{n-1}|. Доведіть, що суми елементів усіх підмножин множини XX є 2n2^n послідовними членами арифметичної прогресії в деякому порядку тоді й лише тоді, коли ∣x0∣:⋯:∣xn−1∣=20:⋯:2n−1.|x_0| : \dots : |x_{n-1}| = 2^0 : \dots : 2^{n-1}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-038

Спустошення колоди за шаблоном викидання

Лівія має колоду з nn карт. Вона викидає карти з колоди за таким шаблоном: у кожному черговому раунді вона прибиратиме карти з номерами 11, 22, 44, 66, 88, …\ldots (тобто карту з номером 11 та всі карти з парними номерами), щоб отримати тоншу колоду. Цю процедуру потім повторюють до нескінченності. Скільки таких раундів потрібно, щоб звести колоду до нуля?
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-001

Добуток k множників вигляду 1 + 1/m

Доведіть, що для будь-якої пари натуральних чисел kk і nn існують kk (не обов'язково різних) натуральних чисел m1m_1, m2m_2, …\ldots, mkm_k таких, що виконується рівність 1+2k−1n=(1+1m1)⋅(1+1m2)⋅…⋅(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{m_k}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-006

Чудові позначення точок кола числами від 0 до n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Розглянемо коло і n+1n + 1 точку на ньому, що ділять його на рівні дуги. Розглянемо всі способи позначити ці точки числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n так, що кожне число використовується рівно один раз. Два способи, що відрізняються поворотом, вважаються однаковими. Спосіб позначення назвемо чудовим, якщо для довільних чотирьох міток a<b<c<da < b < c < d таких, що a+d=b+ca + d = b + c, хорда, що сполучає вершини з мітками aa і dd, не перетинає хорду, що сполучає точки з мітками bb і cc. Нехай MM — кількість чудових способів позначення. Нехай NN — кількість упорядкованих пар (x,y)(x, y) натуральних чисел, що задовольняють умови x+y⩽nx + y \leqslant n і (x,y)=1(x, y) = 1. Доведіть, що M=N+1.M = N + 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-001

Симетрія в рекурентно заданих послідовностях

Нехай nn — натуральне число, а a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} — довільні дійсні числа. Визначимо послідовності u0,…,unu_{0}, \ldots, u_{n} та v0,…,vnv_{0}, \ldots, v_{n} індуктивно рівностями u0=u1=v0=1u_{0}=u_{1}=v_{0}=1 і uk+1=uk+akuk−1,vk+1=vk+an−kvk−1 для k=1,…,n−1.u_{k+1}=u_{k}+a_{k} u_{k-1}, \quad v_{k+1}=v_{k}+a_{n-k} v_{k-1} \quad \text{ для } k=1, \ldots, n-1 . Доведіть, що un=vnu_{n}=v_{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-003

Перелічення додатних раціональних чисел за рекурентним співвідношенням

Означимо послідовність (nk)k≥0\left(n_{k}\right)_{k \geq 0} рівностями n0=n1=1n_{0}=n_{1}=1, а також n2k=nk+nk−1n_{2k}=n_{k}+n_{k-1} і n2k+1=nkn_{2k+1}=n_{k} при k≥1k \geq 1. Нехай далі qk=nk/nk−1q_{k}=n_{k} / n_{k-1} для кожного k≥1k \geq 1. Доведіть, що кожне додатне раціональне число трапляється в послідовності (qk)k≥1\left(q_{k}\right)_{k \geq 1} рівно один раз.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.