Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

503 задачі
Теорія чиселОсновні функції теорії чисел
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-023

Перетворення трьох чисел лінійними замінами

Моргана написала на дошці три цілі числа 33, 44 і 1212. Далі вона виконує послідовні заміни таким чином: вона вибирає два написані на дошці числа aa і bb, витирає їх і замінює на (3a+4b)/5(3a+4b)/5 і (4a−3b)/5(4a-3b)/5. Чи може Моргана після скінченної кількості таких замін a) отримати на дошці число 1313? b) отримати на дошці число −12-12?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-112

Сума за дільниками з функцією Ейлера

Нехай nn — добуток перших 10 простих чисел, і нехай S=∑xy∣nφ(x)⋅yS=\sum_{x y \mid n} \varphi(x) \cdot y де φ(x)\varphi(x) позначає кількість натуральних чисел, не більших за xx, які є взаємно простими з xx, а сума береться за всіма впорядкованими парами (x,y)(x, y) натуральних чисел, для яких xyx y ділить nn. Обчисліть Sn\frac{S}{n}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-115

Рівняння для ітерованої послідовності з НСК і НСД

Для натуральних чисел aa і bb нехай M(a,b)=НСК(a,b)НСД(a,b)M(a, b)=\frac{\text{НСК}(a, b)}{\text{НСД}(a, b)}, а для кожного натурального числа n≥2n \geq 2 означимо xn=M(1,M(2,M(3,…,M(n−2,M(n−1,n))…)))x_{n}=M(1, M(2, M(3, \ldots, M(n-2, M(n-1, n)) \ldots))) Обчисліть кількість натуральних чисел nn таких, що 2≤n≤20212 \leq n \leq 2021 і 5xn2+5xn+12=26xnxn+15 x_{n}^{2}+5 x_{n+1}^{2}=26 x_{n} x_{n+1}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-029

Подільність тричлена і сума за дільниками

Нехай NN — найменше натуральне число, для якого x2+x+1ділить166−∑d∣N,d>0xdx^{2}+x+1 \quad \text{ділить} \quad 166-\sum_{d \mid N, d>0} x^{d} Знайдіть остачу від ділення NN на 10001000.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-117

Множина з густиною та мультиплікативною умовою

Нехай SS — множина натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: - Для кожного натурального числа nn принаймні одне з чисел n,2n,…,100nn, 2n, \ldots, 100n належить SS. - Якщо a1,a2,b1,b2a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} — натуральні числа такі, що НСД(a1a2,b1b2)=1\text{НСД}\left(a_{1} a_{2}, b_{1} b_{2}\right)=1 і a1b1,a2b2∈Sa_{1} b_{1}, a_{2} b_{2} \in S, то a2b1,a1b2∈Sa_{2} b_{1}, a_{1} b_{2} \in S. Припустимо, що SS має натуральну густину rr. Обчисліть найменше можливе значення ⌊105r⌋\left\lfloor 10^{5} r\right\rfloor. Зауваження: SS має натуральну густину rr, якщо 1n∣S∩{1,…,n}∣\frac{1}{n}|S \cap\{1, \ldots, n\}| прямує до rr, коли nn прямує до ∞\infty.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-068

Кількість дільників степеня натурального числа

Нехай nn — натуральне число. Відомо, що nnn^{n} має 861 додатний дільник, знайдіть nn.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-043

Дільники ітерованого кубічного виразу із цілою частиною

Нехай f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x. Обчисліть кількість додатних дільників числа ⌊f(f(f(f(f(f(f(f(52))))))))⌋\left\lfloor f\left(f\left(f\left(f\left(f\left(f\left(f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right\rfloor де ff застосовано 8 разів.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-049

Ґратчасті трикутники з обмеженням на площу

Нехай PP — множина точок {(x,y)∣0≤x,y≤25,x,y∈Z}\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq 25, x, y \in \mathbb{Z}\} а TT — множина трикутників, утворених вибором трьох різних точок із множини PP (повороти, відбиття та паралельні перенесення вважаються різними трикутниками). Обчисліть кількість трикутників із множини TT, площа яких більша за 300.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-084

Дільники, розбиті на три множини з рівними сумами

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що дільники числа nn можна розбити на три множини з рівними сумами.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-085

Найбільша сума при замінах на НСД і НСК

Кевін записує на дошці натуральні числа 1,2,…,151, 2, \ldots, 15. Потім він неодноразово вибирає два довільні числа a,ba, b з дошки, стирає їх і записує замість них НСД(a,b)\text{НСД}(a, b) і НСК(a,b)\text{НСК}(a, b). Він робить це, доки набір чисел, записаних на дошці, вже не можна змінити. Знайдіть найбільшу можливу суму чисел на дошці після цього процесу.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2021-022

Числа з квадратною сумою дільників

Назвемо натуральне число дивакуватим, якщо сума його додатних дільників є квадратом. Доведіть, що існує нескінченно багато дивакуватих чисел.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-009

Дільники різниці сум для четвірок

Для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найбільше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через MM. Аналогічно, для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найменше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через mm. Знайдіть кількість додатних дільників числа M−mM - m.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-004

Добутки 100 і 1919 чисел та прості числа

Множина SS, що складається з 20192019 (різних) натуральних чисел, має таку властивість: добуток будь-яких 100100 елементів множини SS є дільником добутку інших 19191919 елементів. Яку найбільшу кількість простих чисел може містити SS?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-027

Гра на подільність з факторіалом

Повертаючись потягом з EGMOnd an Zee, Клара та Едвіга грають у таку гру. Спочатку ціле число n=1×2×⋯×20n=1 \times 2 \times \cdots \times 20 записане на аркуші паперу. Потім, по черзі, починаючи з Клари, гравчині замінюють ціле число nn одним із чисел kn/10k n / 10, де kk — ціле число від 1 до 9 включно. Перша гравчиня, яка запише число, що не є цілим, програє, а її суперниця виграє. Клара та Едвіга — дві грізні гравчині, тож грають оптимально. Яка з них виграє?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-120

Сума кількості цифр степенів

Натуральне число NN називається пікантним, якщо існує натуральне число mm таке, що якщо nin_{i} позначає кількість цифр числа mim^{i} (у десятковому записі), то n1+n2+⋯+n10=Nn_{1}+n_{2}+\cdots+n_{10}=N. Нехай pMp_{M} позначає частку пікантних серед перших MM натуральних чисел. Знайдіть lim⁡M→∞pM\lim _{M \rightarrow \infty} p_{M}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-114

Процес заміни середнім у геометричній прогресії

Очікуючи на наступне заняття на Кілліан-Корті, Алеша та Белінда обидві записують на аркуші паперу ту саму послідовність SS, де SS — строго зростаюча геометрична прогресія з 2020 членів із цілим знаменником rr. Щосекунди Алеша стирає два найменші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним, а Белінда стирає два найбільші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним. Вони продовжують цей процес, доки в Алеші не залишиться єдине значення AA, а в Белінди — єдине значення BB. Нехай r0r_{0} — найменше значення rr, таке, що AB\frac{A}{B} є цілим числом. Якщо dd — кількість додатних дільників числа r0r_{0}, чому дорівнює найближче ціле число до log⁡2d\log _{2} d?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-033

Сума обернених чисел із цілою умовою на функцію Ейлера

Нехай φ(n)\varphi(n) позначає кількість натуральних чисел, не більших за nn, які взаємно прості з nn. Нехай SS — множина натуральних чисел nn таких, що 2nφ(n)\frac{2 n}{\varphi(n)} є цілим числом. Обчисліть суму ∑n∈S1n\sum_{n \in S} \frac{1}{n}
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-039

Мультиплікативна функція, зафіксована на факторіалі

Нехай N>1\mathbb{N}_{>1} позначає множину натуральних чисел, більших за 11. Нехай f:N>1→N>1f: \mathbb{N}_{>1} \rightarrow \mathbb{N}_{>1} — функція така, що f(mn)=f(m)f(n)f(m n) = f(m) f(n) для всіх m,n∈N>1m, n \in \mathbb{N}_{>1}. Якщо f(101!)=101!f(101!) = 101!, обчисліть кількість можливих значень f(2020⋅2021)f(2020 \cdot 2021).
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2020-002

Рівна кількість дільників лінійної комбінації

Для натурального числа nn нехай d(n)d(n) — кількість додатних дільників числа nn. Визначте натуральні числа kk, для яких існують натуральні числа aa і bb, що задовольняють: k=d(a)=d(b)=d(2a+3b).k = d(a) = d(b) = d(2a + 3b).
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-012

Пари з функцією Ейлера та НСД

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a+b=φ(a)+φ(b)+НСД(a,b).a + b = \varphi(a) + \varphi(b) + \text{НСД}(a, b). Тут φ(n)\varphi(n) — кількість цілих чисел k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \dots, n\}, що задовольняють НСД(n,k)=1\text{НСД}(n, k) = 1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-022

Подільність добутків підмножин і прості числа

Множина SS, що складається з 2019 (різних) натуральних чисел, має таку властивість: добуток будь-яких 100 елементів з SS є дільником добутку решти 1919 елементів. Яка найбільша можлива кількість простих чисел, яку може містити SS?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2020-036

Відношення суми дільників для пар чисел

Для кожного натурального числа NN нехай σ(N)\sigma(N) позначає суму натуральних дільників числа NN. Знайдіть усі цілі числа m≥n≥2m \ge n \ge 2, що задовольняють σ(m)−1m−1=σ(n)−1n−1=σ(mn)−1mn−1.\frac{\sigma(m) - 1}{m - 1} = \frac{\sigma(n) - 1}{n - 1} = \frac{\sigma(mn) - 1}{mn - 1}.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-015

Степінь п'ятірки, що ділить зважену суму коефіцієнтів

Дано многочлен (x2+5x−19)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(x^{2}+5 x-19\right)^{50}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{100} x^{100}, розглянемо величину M=a0−a1+4a2−9a3+16a4−81a5+64a6−729a7+⋯+298a98−398a99+2100a100M=a_{0}-a_{1}+4 a_{2}-9 a_{3}+16 a_{4}-81 a_{5}+64 a_{6}-729 a_{7}+\cdots+2^{98} a_{98}-3^{98} a_{99}+2^{100} a_{100} в якій коефіцієнт при a2ka_{2 k} дорівнює 22k2^{2 k}, а коефіцієнт при a2k+1a_{2 k+1} дорівнює −32k-3^{2 k}. Який найбільший степінь числа 5 ділить MM? (A) 505^{0} (B) 515^{1} (C) 555^{5} (D) 5505^{50} (E) 51005^{100}
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-001

Дільники повних квадратів

a. Припустімо, що n=k2n = k^{2} є повним квадратом. Доведіть, що кількість додатних дільників числа nn, строго менших від kk, дорівнює кількості дільників числа nn, строго більших від kk. b. Припустімо, що n=k2n = k^{2} є повним квадратом. Доведіть, що nn має щонайбільше 2k−12k-1 додатних дільників. c. Знайдіть усі натуральні числа kk такі, що k2k^{2} має рівно 2k−12k-1 додатних дільників.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-058

Сто учнів, сто шафок і кількість зачинених

У школі є 100 учнів і 100 шафок, пронумерованих від 1 до 100. Спочатку всі шафки зачинені. Перший учень проходить і відчиняє всі шафки; другий проходить і зачиняє всі шафки з парними номерами; третій проходить і змінює стан усіх шафок, кратних 3, тобто відчинені він зачиняє, а зачинені відчиняє; четвертий учень змінює стан усіх шафок з номерами, кратними 4; і так далі аж до сотого учня, який змінює стан шафок з номерами, кратними 100. Скільки шафок залишаться зачиненими, коли пройдуть усі учні?
10–11 класиКількість дільників τ(n)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.