Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

480 задач
КомбінаторикаПарність і непарність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-005

Негарні розміщення камінців, що стають гарними від одного камінця

Нехай nn — натуральне число. Маємо nn коробок, кожна з яких містить невід'ємну кількість камінців. На кожному кроці ми можемо взяти два камінці з довільної коробки, один із них викинути, а другий покласти в іншу коробку на свій розсуд. Початкове розміщення камінців назвемо гарним, якщо з нього за скінченну кількість кроків (можливо за 00 кроків) можна отримати розміщення камінців без порожніх коробок. Знайдіть усі початкові розміщення камінців, які не є гарними, а при додаванні ще одного камінця до довільної коробки стають гарними.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-008

Гра на парність із наборами цифр

Колода складається з 1024 карток. На кожній картці написано множину різних десяткових цифр так, що жодні дві з цих множин не збігаються (отже, одна з карток порожня). Двоє гравців по черзі беруть картки з колоди, по одній картці за хід. Після того як колода стане порожньою, кожен гравець перевіряє, чи може він викинути одну зі своїх карток так, щоб кожна з десяти цифр траплялася на парній кількості його решти карток. Якщо один гравець може це зробити, а інший — ні, то перемагає той, хто може; інакше оголошується нічия. Визначте всі можливі перші ходи першого гравця, після яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-004

Гра типу Нім на шаховій дошці

Гра відбувається на шаховій дошці n×nn \times n. На початку на кожній клітинці лежить по 99 камінців. Двоє гравців AA і BB ходять по черзі, причому кожним ходом гравець вибирає або рядок, або стовпець і забирає по одному камінцю з кожної клітинки вибраного рядка чи стовпця. Дозволено вибирати рядок чи стовпець, лише якщо на кожній його клітинці є принаймні один камінець. Гравець, який першим не може зробити хід, програє гру. Першим ходить гравець AA. Знайдіть усі nn, для яких гравець AA має виграшну стратегію.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-027

Розміщення чисел у таблиці із заданою парністю

Для яких натуральних чисел kk числа 1,2,3,…,(2k)21, 2, 3, \dots, (2k)^2 можна розмістити в таблиці 2k×2k2k \times 2k так, щоб усі суми рядків і суми стовпців мали однакову парність, протилежну до парності kk?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-037

Чорні кубики після перефарбування ліній великого куба

Куб 10×10×1010 \times 10 \times 10 розбито на 10001000 одиничних кубиків. Підкуб 5×5×55 \times 5 \times 5 у куті великого куба пофарбовано в чорний колір, усі інші маленькі кубики білі. За одну операцію можна змінити кольори кожного з 1010 кубиків, центри яких лежать на прямій, паралельній одному з ребер великого куба. Доведіть, що після застосування будь-якої кількості операцій кількість чорних кубиків ніколи не буде меншою за 125125.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-006

Монети у вершинах 2n-кутника та обміни на сторонах

2n2n різних монет розташовані у вершинах правильного 2n2n-кутника, по одній монеті у кожній вершині. За хід обирається одна із сторін 2n2n-кутника та міняються місцями дві монети, що лежать на кінцях обраної сторони. Припустимо, що після скінченної кількості ходів кожна пара монет була поміняна місцями рівно один раз. Доведіть, що деяка сторона не була обрана жодного разу.
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-008

Найменша кількість непарних серед 1006 різних чисел

Сума 10061006 різних натуральних чисел дорівнює 1 019 0571\,019\,057. За умови, що жодне з чисел не перевищує 20122012, яка найменша кількість із них можуть виявитися непарними?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-004

Парність кількості достатніх підмножин хлопців і дівчат

Нехай задано скінченну групу хлопців і дівчат. Підмножину хлопців групи назвемо достатньою, якщо кожна дівчина знає хоч би одного хлопця з цієї підмножини, а підмножину дівчат назвемо достатньою, якщо кожен хлопець знає хоч би одну дівчину з цієї підмножини. Доведіть, що кількість достатніх підмножин хлопців має ту саму парність, що й кількість достатніх підмножин дівчат. Відношення знайомства симетричне, тобто якщо А знає Б, то й Б знає А.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-028

Стовпці з парною кількістю фішок у кожному рядку

На прямокутній дошці з nn рядками та n+1n+1 стовпцями розміщено кілька фішок. Доведіть, що завжди можна вибрати один або кілька стовпців так, щоб у кожному рядку цих стовпців була парна кількість фішок.
10–11 класиПарність і непарність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-003

Заміна чисел на суму та добуток

На дошці написано цілі числа 1,2,3,41, 2, 3, 4 і 55. Дозволено стерти два цілі числа aa і bb та замінити їх на a+ba+b і aba b. Чи можливо, повторюючи цю процедуру, досягти ситуації, коли три з п’яти цілих чисел на дошці дорівнюють 20092009?
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-005

Послідовності перемикань 2n ламп і відношення кількостей

Нехай nn та kk – такі натуральні числа, що k≥nk \ge n, а число k−nk-n парне. Є 2n2n ламп, які занумеровані числами 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n, кожна з яких може знаходитись у одному з двох станів: увімк. (увімкнена) або вимк. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з увімк. на вимк. або з вимк. на увімк.). Позначимо через NN число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, а усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені. Позначимо через MM число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені, але при цьому жодна з ламп з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у жодного разу не змінювала свого стану. Знайдіть значення відношення NM\dfrac{N}{M}.
10–11 класиБієкції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-003

Розсадження учасників у дві кімнати з рівними кліками

Деякі учасники змагання товаришують один з одним, причому, якщо A товаришує з B, то й B товаришує з A. Назвемо групу учасників клікою, якщо кожні двоє з неї товаришують. (Одна людина – це теж кліка.) Назвемо кількість людей у кліці її розміром. Відомо, що найбільший розмір кліки, що складається з учасників змагання, є парним числом. Доведіть, що можливо розсадити усіх учасників у дві кімнати таким чином, щоб найбільший розмір кліки в одній кімнаті дорівнював найбільшому розміру кліки в іншій кімнаті.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-013

Рівнобедрені трикутники з непарними сторонами

Діагональ правильного 2006-кутника називається непарною, якщо її кінці ділять межу на дві частини, кожна з яких складається з непарної кількості сторін. Сторони також вважаються непарними діагоналями. Припустимо, що 2006-кутник розбито на трикутники 2003 неперетинними діагоналями. Знайдіть найбільшу можливу кількість рівнобедрених трикутників з двома непарними сторонами.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2004-008

Зміна знаків у таблиці до всіх нулів

Дано таблицю m×nm \times n, у кожній клітинці якої записано число +1+1 або −1-1. Відомо, що спочатку в таблиці є рівно одне −1-1, а всі інші числа — +1+1. За один хід дозволено вибрати будь-яку клітинку, що містить −1-1, замінити це −1-1 на 00 й одночасно помножити всі числа в сусідніх клітинках на −1-1 (дві клітинки називаємо сусідніми, якщо вони мають спільну сторону). Знайдіть усі (m,n)(m, n), для яких за допомогою таких ходів можна отримати таблицю, що містить лише нулі, незалежно від клітинки, у якій стоїть початкове −1-1.
10–11 класиПарність і непарність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2004-003

Усереднення послідовності з циклічними індексами

Нехай x11,x21,…,xn1x_{11}, x_{21}, \ldots, x_{n1}, n>2n>2, — послідовність цілих чисел. Припустимо, що не всі числа xi1x_{i1} рівні. Якщо числа x1k,x2k,…,xnkx_{1k}, x_{2k}, \ldots, x_{nk} вже визначено, покладемо xi,k+1=12(xik+xi+1,k),i=1,2,…,n−1xn,k+1=12(xnk+x1k)\begin{aligned} & x_{i, k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{ik}+x_{i+1, k}\right), \quad i=1,2, \ldots, n-1 \\ & x_{n, k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{nk}+x_{1k}\right) \end{aligned} Доведіть, що при непарному nn число xjkx_{jk} не є цілим при деяких j,kj, k. Чи справджується той самий висновок при парному nn?
10–11 класиНапівінваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2003-001

Парність камінців на чорних клітинках

На клітинках шахової дошки, що має 1010 рядків і 1414 стовпців, розкладено камінці. У кожному рядку та в кожному стовпці міститься непарна кількість камінців. Клітинки пофарбовано в чорний і білий кольори звичайним чином. Доведіть, що кількість камінців на чорних клітинках є парною. Зауважимо, що на одній клітинці може бути більше одного камінця.
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-2002-006

Обхід турою з циклічною зміною напрямку

На прямокутній дошці m×nm \times n, m,n⩾2m, n \geqslant 2, поділеній на одиничні клітинки, грають у такий пасьянс. Спочатку туру ставлять на деяку клітинку. Кожним ходом туру можна пересунути на довільну кількість клітинок горизонтально або вертикально, з додатковою умовою, що кожен хід має бути зроблений в напрямку, повернутому на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою відносно попереднього (напр., після ходу вліво наступний має бути вгору, далі — вправо тощо). Для яких значень mm і nn можливо, щоб тура відвідала кожну клітинку дошки рівно один раз і повернулася на початкову клітинку? (Вважається, що тура відвідує лише ті клітинки, на яких зупиняється, а не ті, через які перестрибує.)
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-2000-007

Мінімум дотиків для ввімкнення всієї сітки

У таблиці кнопок керування розміром 40×5040 \times 50 кожна кнопка має два стани: ON\mathrm{ON} і OFF. Дотик до кнопки перемикає її стан і стани всіх кнопок того самого рядка й того самого стовпця. Доведіть, що таблицю кнопок керування можна перевести зі стану, коли всі кнопки вимкнені, у стан, коли всі кнопки ввімкнені, послідовно торкаючись кнопок, і визначте найменшу кількість дотиків, потрібну для цього.
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1999-006

Ходи коня з кута в протилежний куток

Яка найменша кількість ходів потрібна коню, щоб дістатися з одного кутка шахової дошки n×nn \times n, де n⩾4n \geqslant 4, у протилежний по діагоналі куток?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-1999-007

Обхід короля з парністю суміжності

Дві клітинки на 8×88 \times 8 шаховій дошці називаються суміжними, якщо вони мають спільну сторону або спільний кут. Чи може король почати з деякої клітинки й відвідати всі клітинки рівно по одному разу так, щоб усі ходи, крім першого, вели в клітинки, суміжні з парною кількістю вже відвіданих клітинок?
10–11 класиПарність і непарність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1999-003

Досяжність ходами узагальненого коня

Нескінченна цілочисельна площина Z×Z=Z2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^{2} складається з усіх пар чисел (x,y)(x, y), де xx і yy — цілі числа. Нехай aa і bb — невід'ємні цілі числа. Будь-який хід з точки (x,y)(x, y) до будь-якої з точок (x±a,y±b)(x \pm a, y \pm b) або (x±b,y±a)(x \pm b, y \pm a) назвемо ходом (a,b)(a, b)-коня. Знайдіть усі числа aa і bb, для яких з довільної початкової точки за допомогою лише ходів (a,b)(a, b)-коня можна дістатися до всіх точок цілочисельної площини.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Балтійський шляхBW-1998-011

Замощення дошки 13 на 13 плитками 4 на 1

Чи можна покрити шахову дошку 13×1313 \times 13 сорока двома плитками розміру 4×14 \times 1 так, щоб непокритою залишилася лише центральна клітинка дошки? (Передбачається, що кожна плитка покриває рівно чотири клітинки шахової дошки, і плитки не накладаються одна на одну.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Балтійський шляхBW-1996-017

Стабілізація процесу виключень із журі

Журі олімпіади на початку складається з 30 членів. Кожен член журі вважає частину своїх колег компетентними, а всіх інших — ні, і ці думки не змінюються. На початку кожного засідання відбувається голосування, і ті члени, яких більше ніж половина учасників голосування вважає некомпетентними, виключаються з журі до кінця олімпіади. Доведіть, що після щонайбільше 15 засідань нових виключень уже не буде. (Зауважимо, що ніхто не голосує щодо власної компетентності.)
10–11 класиМетод математичної індукції
Балтійський шляхBW-1994-018

Нумерація точок перетину прямих

На площині дано nn прямих (n>2)(n>2). Жодні дві прямі не паралельні й жодні три не перетинаються в одній точці. Кожну точку перетину цих прямих позначено натуральним числом від 11 до n−1n-1. Доведіть, що тоді й лише тоді, коли nn парне, можна розставити позначки так, щоб на кожній прямій у її точках перетину з іншими n−1n-1 прямими траплялися всі числа від 11 до n−1n-1.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1994-002

Двосусідні множини цілочисельних точок

Скінченну множину SS точок площини з цілими координатами назвемо двосусідньою множиною, якщо для кожної точки (p,q)(p, q) з SS рівно дві з точок (p+1,q)(p+1, q), (p,q+1)(p, q+1), (p−1,q)(p-1, q), (p,q−1)(p, q-1) належать SS. Для яких цілих чисел nn існує двосусідня множина, яка містить рівно nn точок?
10–11 класиПарність і непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.