Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-129

Тупокутний трикутник з умовою на центр описаного кола

Нехай ABCABC — тупокутний трикутник з центром описаного кола OO такий, що ∠ABC=15∘\angle ABC = 15^{\circ} і ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Припустимо, що AOAO перетинає BCBC у точці DD і що OD2+OC⋅DC=OC2OD^{2} + OC \cdot DC = OC^{2}. Знайдіть ∠C\angle C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-096

Хорда вписаного кола рівностороннього трикутника

У рівносторонньому трикутнику ABCABC проведено коло ω\omega, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника. З вершини AA проведено пряму до точки DD на відрізку BCBC так, що ADAD перетинає ω\omega в точках EE і FF. Якщо EF=4EF = 4 і AB=8AB = 8, знайдіть ∣AE−FD∣|AE - FD|.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-040

Конкурентність через середини сторін і основи висот

У різносторонньому трикутнику ABCABC нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — основи перпендикулярів, опущених з AA на BCBC, з BB на CACA і з CC на ABAB відповідно. Позначимо через A2A_2 точку перетину прямих BCBC і B1C1B_1C_1. Аналогічно визначимо B2B_2 і C2C_2. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з DD на пряму AA2AA_2, з EE на пряму BB2BB_2 і з FF на пряму CC2CC_2, перетинаються в одній точці.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-021

Конкурентність прямих у трикутнику з колами на діаметрах

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Коло ω1\omega_1 з діаметром ACAC перетинає сторону BCBC у точці FF (відмінній від CC). Коло ω2\omega_2 з діаметром BCBC перетинає сторону ACAC у точці EE (відмінній від CC). Промінь AFAF перетинає ω2\omega_2 у точках KK і MM, причому AK<AMAK < AM. Промінь BEBE перетинає ω1\omega_1 у точках LL і NN, причому BL<BNBL < BN. Доведіть, що прямі ABAB, MLML, NKNK перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-005

Перетин кіл з діаметрами сторін чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, такий, що прямі (AD)(AD) і (BC)(BC) не паралельні. Припустимо, що кола з діаметрами [AB][AB] і [CD][CD] перетинаються у двох точках EE і FF, розташованих усередині чотирикутника ABCDABCD. Нехай ΓE\Gamma_{E} — коло, яке проходить через ортогональні проєкції точки EE на прямі (AB)(AB), (BC)(BC) і (CD)(CD), а ΓF\Gamma_{F} — коло, яке проходить через ортогональні проєкції точки FF на прямі (CD)(CD), (DA)(DA) і (AB)(AB). Доведіть, що середина відрізка [EF][EF] належить прямій, яка проходить через дві точки перетину кіл ΓE\Gamma_{E} і ΓF\Gamma_{F}.
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-096

Кола, що перетинаються, та відношення дотичних

Є кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Вони перетинаються у двох точках, одна з яких — точка AA. Точка BB лежить на колі ω1\omega_{1} так, що пряма ABA B дотикається до кола ω2\omega_{2}. Дотична до кола ω1\omega_{1} у точці BB перетинає ω2\omega_{2} у точках CC і DD, причому DD ближча до BB. Пряма ADA D знову перетинає ω1\omega_{1} у точці EE. Якщо BD=3B D=3 і CD=13C D=13, знайдіть відношення EB/EDE B / E D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-053

Продовження висоти до описаного кола

ABCABC — трикутник зі сторонами AB=15AB = 15, BC=14BC = 14 і CA=13CA = 13. Висоту з AA на сторону BCBC продовжено до перетину з описаним колом трикутника ABCABC у точці DD. Знайдіть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-014

Рівновіддалені точки на продовженнях сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=6BC = 6 і AC=7AC = 7, а OO — центр його описаного кола. Промінь ABAB продовжено до точки DD такої, що BD=5BD = 5, а промінь BCBC — до точки EE такої, що OD=OEOD = OE. Знайдіть довжину відрізка CECE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2012-010

Вписані точки з паралельної побудови

Нехай ABCABC — трикутник, а XX — точка всередині трикутника. Прямі XAXA, XBXB і XCXC перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге відповідно в точках P,QP, Q і RR. Нехай UU — точка на промені XPXP (тобто на прямій XPXP така, що PP і UU лежать з одного боку від XX). Пряма через UU, паралельна до ABAB, перетинає BQBQ в точці VV. Пряма через UU, паралельна до ACAC, перетинає CRCR в точці WW. Доведіть, що точки Q,R,VQ, R, V і WW лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2012-013

Вписаний чотирикутник і середина діагоналі

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з описаним колом kk. Нехай SS — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а TT — точка перетину дотичних до кола kk в точках AA і CC. Доведіть, що ADTSADTS є вписаним чотирикутником тоді й лише тоді, коли BDBD ділить відрізок ACAC навпіл.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-037

Перпендикулярність через середини сторін і ортоцентр

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай HH і OO — його ортоцентр і центр описаного кола відповідно. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Промені MHMH і NHNH перетинають ω\omega у точках PP і QQ відповідно. Прямі MNMN і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що OA⊥RAOA \perp RA.
10–11 класиРадикальна вісь
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-016

Ортоцентр і середина центрів кіл

Трикутники PABPAB і PCDPCD розміщено на площині. Припустимо, що виконуються рівності PA=PBPA = PB, PC=PDPC = PD і що 3 точки PP, AA, CC лежать на одній прямій у цьому порядку, і те саме справджується для 3 точок BB, PP, DD. Припустимо далі, що коло S1S_1, яке проходить через AA, CC, і коло S2S_2, яке проходить через BB, DD, перетинаються у 2 різних точках XX і YY. Доведіть, що ортоцентр трикутника PXYPXY збігається із серединою відрізка, що сполучає центри кіл S1S_1 і S2S_2. Тут для відрізка ZWZW його довжину також позначаємо через ZWZW.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-007

Центр описаного кола як середина відрізка

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка DEDE збігається з точкою OO. Якщо AD=8AD = 8, BD=3BD = 3 і AO=7AO = 7, визначте значення CECE. Тут для відрізка XYXY через XYXY також позначаємо його довжину.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-112

Площа кола за дотичною та січною

Точки DD, EE, FF лежать на колі OO так, що пряма, дотична до кола OO в точці DD, перетинає промінь EF→\overrightarrow{E F} у точці PP. Відомо, що PD=4P D = 4, PF=2P F = 2 та ∠FPD=60∘\angle F P D = 60^{\circ}. Знайдіть площу круга, обмеженого колом OO.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-082

Дотичні кола з відношенням хорд

Нехай PP і QQ — точки на прямій ll, причому PQ=12PQ = 12. Два кола, ω\omega і Ω\Omega, обидва дотикаються до прямої ll у точці PP і дотикаються одне до одного зовні. Пряма через QQ перетинає ω\omega у точках AA і BB, причому AA ближча до QQ, ніж BB, так що AB=10AB = 10. Аналогічно, інша пряма через QQ перетинає Ω\Omega у точках CC і DD, причому CC ближча до QQ, ніж DD, так що CD=7CD = 7. Знайдіть відношення AD/BCAD / BC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-121

Колінеарні точки з відношенням на прямих

Колінеарні точки AA, BB і CC задано на декартовій площині так, що A=(a,0)A=(a, 0) лежить на осі xx, BB лежить на прямій y=xy=x, CC лежить на прямій y=2xy=2x, а AB/BC=2AB / BC = 2. Якщо D=(a,a)D=(a, a), описане коло трикутника ADCADC перетинає пряму y=xy=x знову в точці EE, а промінь AEAE перетинає пряму y=2xy=2x у точці FF, обчисліть AE/EFAE / EF.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-060

Трикутник з рівними кутами та відношенням відрізків

Нехай ABCABC — трикутник з AB=4AB = 4, BC=8BC = 8 і CA=5CA = 5. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — точка на описаному колі трикутника ABCABC така, що відрізок ADAD перетинає внутрішність трикутника ABCABC і ∠BAD=∠CAM\angle BAD = \angle CAM. Нехай відрізок ADAD перетинає сторону BCBC в точці XX. Обчисліть відношення AX/ADAX / AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2011-008

Бісектриса кута в трикутнику з діаметром

У гострокутному трикутнику ABCA B C кут ∠C\angle C більший за ∠A\angle A. Нехай EE — така точка, що AEA E — діаметр описаного кола Γ\Gamma трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай KK — точка перетину прямої ACA C і дотичної в точці BB до кола Γ\Gamma. Нехай LL — основа перпендикуляра, проведеного з точки KK на пряму AEA E, а DD — точка перетину прямих KLK L і ABA B. Доведіть, що пряма CEC E — бісектриса кута ∠BCD\angle B C D.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-016

Найбільший кут з точки на промені

З точки LL виходять дві прямолінійні дороги, що утворюють гострий кут α\alpha. Вздовж однієї з двох доріг стоять два ліхтарі, розташовані в PP і QQ, такі, що LP=40 мL P=40~\text{м} і LQ=90 мL Q=90~\text{м}. Єва перебуває в EE на іншій дорозі й бачить два ліхтарі під кутом PE^QP \widehat{E} Q. На якій відстані від LL перебуває Єва, якщо PE^QP \widehat{E} Q має найбільшу можливу величину? (A) 40 м40~\text{м} (B) 60 м60~\text{м} (C) 65 м65~\text{м} (D) 90 м90~\text{м} (E) відстань залежить від α\alpha.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-014

Рівні відрізки з побудови з ортоцентром

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а DD — перетин двох прямих AHAH, BCBC. Нехай EE — точка перетину описаного кола трикутника ABDABD і прямої CHCH, що лежить поза трикутником ABCABC. А нехай FF — точка перетину описаного кола трикутника ACDACD і прямої BHBH, що лежить поза трикутником ABCABC. Доведіть, що відрізки AEAE і AFAF мають однакову довжину.
7–9 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.