Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-017

Рекурентне співвідношення з парністю та параметром

Нехай hh — натуральне число і нехай ana_{n} — послідовність, визначена рекурентно у такий спосіб: a0=1an+1={an2 якщо an парне an+h якщо an непарне.\begin{aligned} a_{0} & =1 \\ a_{n+1} & = \begin{cases}\frac{a_{n}}{2} & \text{ якщо } a_{n} \text{ парне } \\ a_{n}+h & \text{ якщо } a_{n} \text{ непарне.}\end{cases} \end{aligned} (Наприклад, якщо h=27h=27, маємо: a1=28,a2=14,a3=7,a4=34,a5=17,a6=44,…a_{1}=28, a_{2}=14, a_{3}=7, a_{4}=34, a_{5}=17, a_{6}=44, \ldots) Для яких значень hh існує n>0n>0, для якого an=1a_{n}=1?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Інші змаганняMISC-0000-134

Трицифровий добуток трьох різних простих чисел

Кажемо, що натуральне трицифрове число є тризірковим, якщо воно є добутком трьох різних простих чисел. Наприклад, 286=2⋅11⋅13286=2 \cdot 11 \cdot 13 є тризірковим числом, а 30=2⋅3⋅530=2 \cdot 3 \cdot 5 і 275=5⋅5⋅13275=5 \cdot 5 \cdot 13 не є тризірковими числами, оскільки перше має лише дві цифри, а друге не є добутком трьох різних простих чисел. a) Яке найменше тризіркове число? b) Доведіть, що кожне тризіркове число має з 3030 спільний дільник, більший за 11.
8–9 класиПрості числа (базові властивості)
Інші змаганняMISC-0000-187

Добуток чисел від 1 до 21 як повний квадрат

Карла написала на дошці цілі числа від 11 до 2121. Діана хоче стерти деякі з них так, щоб добуток чисел, що залишилися, був повним квадратом. a) Покажіть, що Діана обов’язково має стерти числа 1111, 1313, 1717 і 1919, щоб досягти своєї мети. b) Яку найменшу кількість чисел має стерти Діана, щоб досягти своєї мети?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Інші змаганняMISC-0000-152

Попарні НСД і добуток трьох чисел

Павліньйо вивчав у школі найбільший спільний дільник (НСД) і вирішив потренуватися вдома. Він позначив через a,ba, b і cc вік трьох людей, які живуть разом з ним. Потім він виконав деякі дії з їхніми простими множниками й отримав найбільші спільні дільники трьох пар чисел. Через кілька днів він забув вік a,ba, b і cc, але знайшов записані такі результати: a⋅b⋅c=24⋅32⋅53НСД(a,b)=15НСД(a,c)=5НСД(b,c)=20\begin{aligned} a \cdot b \cdot c & =2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \\ \text{НСД}(a, b) & =15 \\ \text{НСД}(a, c) & =5 \\ \text{НСД}(b, c) & =20 \end{aligned} Допоможіть Павліньйо визначити значення a,ba, b і cc.
8–9 класиНСД та НСК
Інші змаганняMISC-0000-189

Поділ монет з умовами на остачі

Піратський закон встановлює, що для поділу монет зі скарбу капітан повинен вибрати групу піратів (не враховуючи себе). Далі капітан повинен роздати кожному з піратів цієї групи однакову кількість монет так, щоб було неможливо дати кожному з них жодної іншої з монет, що залишилися (з огляду на те, що кожен пірат отримує однакову кількість). Решту монет віддають капітану. На кораблі капітана Барбарохи є 100 піратів (не враховуючи капітана). Барбароха повинен поділити скарб, який містить менше ніж 1000 монет. Якщо він вибере 99 піратів, він залишить собі 51 монету, але якщо вибере 77 піратів, він залишить собі 29 монет. a) Скільки монет містить скарб? b) Скількох піратів повинен вибрати Барбароха, щоб залишити собі найбільшу можливу кількість монет?
10–11 класиНСД та НСК
Інші змаганняMISC-0000-154

Сума простих чисел до 1000

Чому щонайбільше дорівнює сума простих чисел від 1 до 1000? Багато років тому вчитель, який не хотів проводити урок, наказав своїм учням обчислити суму чисел від 1 до 100. Дуже кмітливий учень на ім'я Гаусс знайшов дуже простий спосіб виконати завдання, відкривши формулу: 1+2+3+…+n=n(n+1)21+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} Оскільки ця історія давня, сьогодні учням дають складніші завдання. a. Перевірте, що кожне просте число, більше за 3, дає остачу 1 або 5 при діленні на 6. b. Перевірте, що сума простих чисел, більших за 1 і менших за 1000, менша за 166338. c. В оцінці вище, щоб мати менше технічних складнощів, ми не вилучили деякі числа, які точно не є простими. Вилучіть деякі з цих чисел і перевірте, що сума простих чисел, більших за 1 і менших за 1000, менша за 166000.
8–9 класиПрості числа (базові властивості)
Інші змаганняMISC-0000-156

Частки та остачі при діленні на дільники числа

Юлія готується до математичних олімпіад. Одного дня вона вирішує поділити 20142014 на кожен з натуральних дільників числа 20152015. Для кожного ділення вона записує частку в зошит, а остачу — на дошку. a. Допоможімо Юлії. Запишіть вісім натуральних дільників числа 20152015. b. Для кожного з дільників виконайте ділення та запишіть список отриманих часток і список отриманих остач. c. Закінчивши, Юлія помітила великий «збіг»: числа, записані в зошиті, збігалися з числами на дошці, лише були записані в іншому порядку. Чи це збіг? Покажіть, що для будь-якого числа nn, яке обере Юлія, якщо вона обчислить частку й остачу від ділення n−1n-1 на кожен з дільників числа nn, то числа в зошиті й на дошці будуть точно однаковими, хіба що, можливо, записаними в іншому порядку.
8–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Інші змаганняMISC-0000-160

Розбиття множини на ієрархічні підмножини

Розглянемо множину A={1,2,3,4,…,n}A=\{1,2,3,4, \ldots, n\}. Підмножина множини AA називається ієрархічною, якщо вона задовольняє такі дві властивості: - Підмножина містить більше одного числа. - Є число в підмножині, яке збігається із сумою інших чисел підмножини. Потрібно розбити множину AA на ієрархічні підмножини. a) Для n=13n=13 покажіть, що таке розбиття неможливе. b) Для n=12n=12 покажіть, що таке розбиття можливе.
8–9 класиПарність та непарність
Інші змаганняMISC-0000-093

Перетини діагоналі з лініями сітки

На аркуші паперу нижче було намальовано сітку 4×64 \times 6, а потім проведено діагональ від AA до BB. Зауважте, що діагональ ABA B перетинає сітку в 9 точках: Якби сітка була розміром 12×1712 \times 17, скільки точок перетину мала б діагональ ABA B із сіткою?
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Інші змаганняMISC-0000-161

Розбиття квадрата на поліміно з однаковою сумою

Поліміно — це послідовність квадратиків 1×11 \times 1, які прилягають до сусідніх спільними сторонами й утворюють єдину фігуру. Поліміно з двох квадратиків називаються доміно, а поліміно з чотирьох квадратиків називаються тетраміно — фігурками відомої гри Тетріс. На рисунку нижче показано квадрат 3×33 \times 3 з числами від 1 до 9, записаними в кожному з його квадратиків 1×11 \times 1. | 1 | 2 | 3 | |:--- |:--- |:--- | | 4 | 5 | 6 | | 7 | 8 | 9 | Знаючи, що 1+2+…+9=451+2+\ldots+9=45, можна спробувати поділити квадрат на 3 поліміно з однаковою сумою, кожне із сумою 453=15\frac{45}{3}=15. Один зі способів зробити це: поліміно з клітинок 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5, поліміно з клітинок 6,96, 9 і поліміно з клітинок 7,87, 8. a. Доведіть, що неможливо поділити квадрат 3×33 \times 3 на більш ніж три поліміно з однаковою сумою. b. Нехай у квадраті 4×44 \times 4 числа від 1 до 16 записано в порядку зростання, як показано на рисунку нижче: | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---: |:---: |:---: |:---: | | 5 | 6 | 7 | 8 | | 9 | 10 | 11 | 12 | | 13 | 14 | 15 | 16 | Покажіть, як поділити цей квадрат на два поліміно так, щоб сума чисел у кожному з них була однаковою. c. Нехай у квадраті 5×55 \times 5 числа від 1 до 25 записано в порядку зростання за зразком попереднього рисунка. Доведіть, що неможливо поділити цей квадрат на два або більше поліміно з однаковою сумою чисел у кожному з них.
8–9 класиДільники та кратні (базові власти…
Інші змаганняMISC-0000-167

Упорядкована послідовність із цілими середніми

Педріньйо вибрав 8 різних чисел від 1 до 11 і записав їх у певному порядку. Жоаозінью, побачивши числа, які записав Педріньйо, помітив такий цікавий факт: якщо взяти середнє арифметичне nn перших чисел, записаних Педріньйо, n=1,…,8n=1, \ldots, 8, то результатом завжди буде ціле число. Тобто якщо взяти середнє арифметичне двох перших чисел, трьох перших, чотирьох перших чисел і так далі, то всі ці середні будуть цілими. Які можливі послідовності чисел міг записати Педріньйо? (Підказка: спочатку з'ясуйте, якими можуть бути суми цих 8 чисел, а потім спробуйте відновити вибрані числа з кінця до початку.)
8–9 класиДільники та кратні (базові власти…
Інші змаганняMISC-0000-195

Подвоєний добуток двох чисел і число 21

Педріньйо написав на папірці два цілі додатні числа і показав Жоаозіньйо. Після цього Педріньйо обчислив подвоєний добуток цих двох чисел. Жоаозіньйо додав 21 до подвоєного першого числа, а потім до отриманого результату додав друге число. На подив обох результат виявився однаковим. Які можливі числа написав Педріньйо на папірці?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-001

Умова подільності для функцій на натуральних числах

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} f(m)+f(n)∣m+nf(m)+f(n) \mid m+n
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-006

Розподіл каменів на шахівниці з обмеженнями на ходи

Нехай nn — додатне ціле число. Розглянемо таку гру: спочатку kk каменів розподілено по n2n^{2} клітинках шахівниці розміром n×nn \times n. Хід полягає у виборі клітинки, що містить принаймні стільки ж каменів, скільки її сусідніх клітинок (дві клітинки є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону), і переміщенні одного каменя з цієї клітинки до кожної з її сусідніх клітинок. Визначте всі додатні цілі числа kk такі, що: (a) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій жоден хід неможливий. (b) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій можлива нескінченна послідовність ходів.
10–11 класиБієкції
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-029

Цілочисельні розв’язки з умовами подільності

Добуток abcabc натуральних чисел aa, bb і cc ділиться на 33, і виконуються рівності a=b22=c4a = \frac{b^2}{2} = \frac{c}{4}. Знайдіть найменшу можливу суму чисел aa, bb і cc за цих умов.
Дільники та кратні (базові власти…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-008

Підбір цифр для повного квадрата

Цифрам AA, BB, CC надано різних значень від 11 до 99 так, щоб значення виразу 2024⋅AB⋅CC⋅BA2024 \cdot AB \cdot CC \cdot BA було повним квадратом. Скільки різних значень може набувати вираз A+B+CA+B+C?
Основна теорема арифметики
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-033

Зменшення у 25 разів після викреслення першої цифри

Знайдіть усі натуральні числа, остання цифра яких не нуль і викреслення першої цифри яких дає число рівно у 25 разів менше.
Розклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-010

НСК і різниця натуральних чисел

Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) натуральних чисел, які задовольняють m−n=96m - n = 96 і НСК(m,n)=2024\text{НСК}(m, n) = 2024.
НСД та НСК2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-017

Рівняння з факторіалами

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел, таких, що 3⋅x!+4⋅y!=5⋅z!.3 \cdot x! + 4 \cdot y! = 5 \cdot z!.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-042

Унікальні суми сусідніх клітинок у квадратній таблиці

Нехай nn — довільне натуральне число. Знайдіть найменше натуральне число kk таке, що в кожну клітинку таблиці n×nn \times n можна записати натуральне число від 11 до kk так, щоб сума чисел у будь-яких двох клітинках зі спільною стороною відрізнялася від усіх інших таких сум. Числа в різних клітинках не обов’язково мають бути різними.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-026

Послідовні числа, кратні квадратам простих чисел

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що: а. і nn, і n+1n+1 діляться на квадрати двох різних простих чисел; б. і nn, і n+3n+3 діляться на квадрати двох різних простих чисел.
Дільники та кратні (базові власти…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-049

Геометрична прогресія, що містить задані члени

Чи існує геометрична прогресія, серед членів якої є a. 33, 4545 та 20252025; b. 33, 4553\frac{45}{\sqrt[3]{5}} та 20252025?
Геометрична прогресія
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-003

Подільність трикутних чисел

Скільки існує цілих чисел kk, для яких 1≤k≤n1 \le k \le n і сума 1+2+⋯+k1 + 2 + \dots + k ділиться на nn, якщо a) n=20232024n = 2023^{2024}; b) n=20242023n = 2024^{2023}?
Китайська теорема про остачі
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-004

Порівняння швидко зростаючих послідовностей

Послідовність (an)(a_n) задовольняє a1=2a_1 = 2, a2=3a_2 = 3, a3=5a_3 = 5 і an=an−12a_n = a_{n-1}^2 для будь-якого n≥4n \ge 4. Послідовність (bn)(b_n) задовольняє b1=2b_1 = 2, b2=3b_2 = 3, b3=5b_3 = 5 і bn=bn−1⋅bn−2⋅bn−32b_n = b_{n-1} \cdot b_{n-2} \cdot b_{n-3}^2 для будь-якого n≥4n \ge 4. Послідовність (cn)(c_n) задовольняє c1=2c_1 = 2, c2=3c_2 = 3, c3=5c_3 = 5 і cn=c1⋅c2⋯cn−1c_n = c_1 \cdot c_2 \cdots c_{n-1} для будь-якого n≥4n \ge 4. Упорядкуйте числа a1000a_{1000}, b1000b_{1000} і c1000c_{1000} за величиною.
Метод математичної індукції3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-006

Регулярні функції із заданими кількостями значень

Фіксуємо натуральне число nn. Функцію f:{0,1,…,n}→{0,1,…,n}f : \{0, 1, \dots, n\} \to \{0, 1, \dots, n\} називаємо регулярною, якщо f(0)=0f(0) = 0 і f(i)∈{i−1,f(i−1),f(f(i−1)),… }f(i) \in \{i-1, f(i-1), f(f(i-1)), \dots\} для кожного i=1,…,ni = 1, \dots, n. Наприклад, якщо n=3n = 3, то функція f(0)=f(1)=0,f(2)=f(3)=1f(0) = f(1) = 0, f(2) = f(3) = 1 є регулярною, а функція f(0)=f(1)=f(2)=0,f(3)=1f(0) = f(1) = f(2) = 0, f(3) = 1 — ні (в останньому випадку f(3)f(3) порушує умову регулярності). Юку вибирає регулярну функцію ff і повідомляє Міку для кожного числа k=0,1,…,nk = 0, 1, \dots, n, скільки існує різних аргументів ii таких, що f(i)=kf(i) = k. Чи зможе Міку за цією інформацією завжди визначити, яку саме регулярну функцію вибрав Юку?
Метод математичної індукції4 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.