Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-022

Мінімальна площа покриття кратних 7 на решітці

Сто точок з мітками від 11 до 100100 розташовано у вигляді решітки 10×1010 \times 10 так, що сусідні точки розміщені на відстані одиниці одна від одної. Мітки зростають зліва направо, зверху вниз (тобто перший рядок має мітки від 11 до 1010, другий рядок має мітки від 1111 до 2020 і так далі). Опуклий многокутник P\mathcal{P} такий, що кожна точка з міткою, кратною 77, лежить на його межі або всередині нього. Обчисліть найменшу можливу площу P\mathcal{P}.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-102

Хорди вписаного кола і сума сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC в точці DD і перетинає серединний перпендикуляр до відрізка BCBC у двох різних точках XX і YY. Прямі AXAX і AYAY перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що якщо DP⋅DQ=(AC−AB)2DP \cdot DQ = (AC - AB)^2, то AB+AC=3BCAB + AC = 3 BC.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-133

Положення центроїда на сторонах трикутника

Точка YY лежить на відрізку XZX Z так, що XY=5X Y=5 і YZ=3Y Z=3. Точка GG лежить на прямій XZX Z так, що існує трикутник ABCA B C з центроїдом GG такий, що XX лежить на прямій BCB C, YY лежить на прямій ACA C, а ZZ лежить на прямій ABA B. Обчисліть найбільше можливе значення довжини відрізка XGX G.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-024

Випадкове число і сторони трикутника

Дійсне число xx вибирають рівномірно випадково з інтервалу (0,10)(0,10). Обчисліть ймовірність того, що x\sqrt{x}, x+7\sqrt{x+7} і 10−x\sqrt{10-x} є довжинами сторін невиродженого трикутника.
10–11 класиНерівність трикутника2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-103

Увігнуті чотирикутники з вершинами у цілочисельній решітці

Обчисліть кількість способів накреслити на площині несамоперетинний увігнутий чотирикутник так, щоб дві його вершини були (0,0)(0,0) і (1,0)(1,0), а дві інші вершини були двома різними точками цілочисельної решітки (a,b),(c,d)(a, b),(c, d), де 0≤a,c≤590 \leq a, c \leq 59 і 1≤b,d≤51 \leq b, d \leq 5. (Увігнутий чотирикутник — це чотирикутник з кутом, строго більшим за 180∘180^{\circ}. Точка цілочисельної решітки — це точка, обидві координати якої є цілими числами.)
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-084

Найменша відстань у прямокутній трапеції

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція така, що ∠ABC=∠BCD=90∘\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}, AB=3AB = 3, BC=6BC = 6 і CD=12CD = 12. Серед усіх точок XX всередині трапеції, для яких ∠XBC=∠XDA\angle XBC = \angle XDA, обчисліть найменше можливе значення довжини відрізка CXCX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-134

Радіус вписаного кола за відстанями від інцентра

Трикутник ABCABC має інцентр II. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай XX — така точка, що відрізок AXAX є діаметром описаного кола трикутника ABCABC. Відомо, що ID=2ID = 2, IA=3IA = 3 та IX=4IX = 4. Обчисліть радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-027

Концентричні квадрати з колінеарними точками

Нехай ABCDABCD і WXYZWXYZ — два квадрати зі спільним центром такі, що WX∥ABWX \parallel AB і WX<ABWX < AB. Прямі CXCX і ABAB перетинаються в точці PP, а прямі CZCZ і ADAD перетинаються в точці QQ. Якщо точки PP, WW і QQ лежать на одній прямій, обчисліть відношення AB/WXAB / WX.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-032

Бісектриса та висота в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC точка OO — центр описаного кола. Бісектриса ∠ABC\angle ABC і висота з CC на сторону ABAB перетинаються в точці XX. Припустімо, що існує коло, яке проходить через BB, OO, XX і CC. Якщо ∠BAC=n∘\angle BAC = n^{\circ}, де nn — натуральне число, обчисліть найбільше можливе значення nn.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-033

Бісектриса кута та відстані до перпендикулярної прямої

Нехай точка DD лежить на стороні BCBC трикутника ABCABC так, що ADAD — бісектриса ∠BAC\angle BAC, а ℓ\ell — пряма, що проходить через AA перпендикулярно до ADAD. Якщо відстані від BB і CC до прямої ℓ\ell дорівнюють 55 і 66 відповідно, обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-035

Найбільший куб у перетині куль

Нехай AA і BB — точки в просторі, для яких AB=1AB = 1. Нехай R\mathcal{R} — область точок PP, для яких AP≤1AP \leq 1 і BP≤1BP \leq 1. Обчисліть найбільшу можливу довжину ребра куба, що міститься в області R\mathcal{R}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-038

Рівносторонній трикутник з коренями як абсцисами вершин

Рівносторонній трикутник лежить на координатній площині так, що абсциси його вершин попарно різні й усі задовольняють рівняння x3−9x2+10x+5=0x^{3}-9 x^{2}+10 x+5=0. Обчисліть довжину сторони трикутника.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-039

Коло, дотичне до відрізків у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 1515. Нехай AbA_b і BaB_a — точки на стороні ABAB, AcA_c і CaC_a — точки на стороні ACAC, а BcB_c і CbC_b — точки на стороні BCBC такі, що △AAbAc\triangle AA_bA_c, △BBcBa\triangle BB_cB_a і △CCaCb\triangle CC_aC_b — рівносторонні трикутники зі сторонами 33, 44 і 55 відповідно. Обчисліть радіус кола, дотичного до відрізків AbAc‾\overline{A_bA_c}, BaBc‾\overline{B_aB_c} і CaCb‾\overline{C_aC_b}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-040

Згинання трикутника з умовою про середину

Елісенда має аркуш паперу у формі трикутника з вершинами AA, BB і CC такого, що AB=42AB = 42. Вона вибирає точку DD на відрізку ACAC і згинає папір уздовж прямої BDBD так, що AA потрапляє в точку EE на відрізку BCBC. Потім вона згинає папір уздовж прямої DEDE. При цьому BB потрапляє в середину відрізка DCDC. Обчисліть периметр початкового розгорнутого трикутника.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-044

Площа чотирикутника в квадраті із зовнішніми точками

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 1010. Точка EE лежить на промені AB→\overrightarrow{AB} так, що AE=17AE = 17, а точка FF — на промені AD→\overrightarrow{AD} так, що AF=14AF = 14. Пряма через BB, паралельна прямій CECE, і пряма через DD, паралельна прямій CFCF, перетинаються в точці PP. Обчисліть площу чотирикутника AEPFAEPF.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-050

Довжина хорди гіперболи

Точки A=(4,14)A=\left(4, \frac{1}{4}\right) і B=(−5,−15)B=\left(-5,-\frac{1}{5}\right) лежать на гіперболі xy=1x y=1. Коло з діаметром ABA B перетинає цю гіперболу ще раз у точках XX і YY. Обчисліть довжину відрізка XYX Y.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-052

Квадрат діагоналі AB вписаного чотирикутника AXBY

Нехай AXBYA X B Y — вписаний чотирикутник, а пряма ABA B і пряма XYX Y перетинаються в точці CC. Припустімо, що AX⋅AY=6A X \cdot A Y = 6, BX⋅BY=5B X \cdot B Y = 5 і CX⋅CY=4C X \cdot C Y = 4. Обчисліть AB2A B^{2}.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-054

Прямокутний трикутник із дотичним колом і відрізками гіпотенузи

Накреслено прямокутний трикутник і коло так, що коло дотикається до катетів прямокутного трикутника. Коло розбиває гіпотенузу на три відрізки завдовжки 11, 2424 і 33, причому відрізок завдовжки 2424 є хордою кола. Обчисліть площу трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-055

Тетраедр із прямими кутами при вершині

Нехай PABCPABC — тетраедр такий, що ∠APB=∠APC=∠BPC=90∘\angle APB = \angle APC = \angle BPC = 90^{\circ}, ∠ABC=30∘\angle ABC = 30^{\circ}, а AP2AP^{2} дорівнює площі трикутника ABCABC. Обчисліть tg⁡∠ACB\operatorname{tg} \angle ACB.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-060

Чотирикутник з фіксованими кутами і сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому ∠ABD=105∘\angle ABD = 105^{\circ}, ∠ADB=15∘\angle ADB = 15^{\circ}, AC=7AC = 7 і BC=CD=5BC = CD = 5. Обчисліть суму всіх можливих значень довжини діагоналі BDBD.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-062

Вкладені шестикутники з паралельними сторонами

Нехай A1A2…A6A_{1} A_{2} \ldots A_{6} — правильний шестикутник зі стороною 11311 \sqrt{3}, а B1B2…B6B_{1} B_{2} \ldots B_{6} — інший правильний шестикутник, який повністю міститься всередині A1A2…A6A_{1} A_{2} \ldots A_{6}, такий, що для всіх i∈{1,2,…,5}i \in \{1,2, \ldots, 5\}, AiAi+1A_{i} A_{i+1} паралельна BiBi+1B_{i} B_{i+1}. Відомо, що відстань між прямими A1A2A_{1} A_{2} і B1B2B_{1} B_{2} дорівнює 77, відстань між прямими A2A3A_{2} A_{3} і B2B3B_{2} B_{3} дорівнює 33, а відстань між прямими A3A4A_{3} A_{4} і B3B4B_{3} B_{4} дорівнює 88. Обчисліть довжину сторони шестикутника B1B2…B6B_{1} B_{2} \ldots B_{6}.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-068

Відстань від B до прямої AM за рівності кутів

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BCBC і BDBD відповідно. Припустимо, що AC=2AC = 2, ∠BAN=∠MAC\angle BAN = \angle MAC і AB⋅BC=AMAB \cdot BC = AM. Обчисліть відстань від BB до прямої AMAM.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-069

Відстань між центрами кіл за довжинами дотичних

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які не перетинаються. Припустімо, що виконуються такі три умови: - Довжина спільної внутрішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 1919. - Довжина спільної зовнішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 3737. - Якщо точки XX і YY вибрано на колах ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} відповідно рівномірно навмання, то математичне сподівання XY2XY^{2} дорівнює 20232023. Обчисліть відстань між центрами кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-003

Діаметрально протилежна точка як центр описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣<∣BC∣|AB| < |AC| < |BC|, а Γ\Gamma — його описане коло з центром OO. Нехай ω1\omega_1 — коло з центром BB і радіусом ∣AC∣|AC|, а ω2\omega_2 — коло з центром CC і радіусом ∣AB∣|AB|. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точці EE такій, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC. Кола Γ\Gamma і ω1\omega_1 перетинаються в точці FF, а кола Γ\Gamma і ω2\omega_2 перетинаються в точці GG так, що FF і GG лежать по той самий бік від прямої BCBC, що й EE. Доведіть, що точка KK, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma, є центром описаного кола трикутника EFGEFG. Точка KK, діаметрально протилежна точці AA, — це єдина точка на колі така, що AKAK — діаметр.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-020

Трикутник із центроїдом та кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник із центроїдом GG. Точки RR і SS вибрано на променях GBGB та GCGC відповідно так, що ∠ABS=∠ACR=180∘−∠BGC.\angle ABS = \angle ACR = 180^\circ - \angle BGC. Доведіть, що ∠RAS+∠BAC=∠BGC\angle RAS + \angle BAC = \angle BGC.
10–11 класиТочка перетину медіан

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.