Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2023-009

Дотичне коло і рівність кутів у трикутнику

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, яке дотикається до сторони ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і DD та EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-007

Коло через B і D, дотичне до AB

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, дотичне до прямої ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і що DD і EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-013

Точки D, E, F на колах в рівнобедреному трикутнику

Нехай △ABC\triangle A B C — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|A B|=|A C|. Дано точку PP всередині △ABC\triangle A B C, відмінну від центра описаного кола. Нехай ω\omega — коло, що проходить через CC і має центр PP. Відомо, що коло ω\omega перетинає відрізки BCB C і ACA C вдруге відповідно в DD і EE. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника △AEP\triangle A E P, а FF — друга точка перетину кіл ω\omega і Γ\Gamma. Доведіть, що центр описаного кола трикутника △BDF\triangle B D F лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від центра зовнівписаного кола і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-033

Умова описаного кола для рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC і AMNAMN — два подібні трикутники з однаковою орієнтацією, які не накладаються один на одного, такі, що AB=ACAB = AC і AM=ANAM = AN. Нехай OO — центр описаного кола трикутника MABMAB. Доведіть, що точки OO, CC, NN і AA лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2023-034

Інцидентна структура проєктивної площини

Токійське метро — одне з найефективніших у світі. Існує деяке непарне натуральне число kk таке, що кожна лінія метро проходить рівно через kk станцій, а кожна станція обслуговується рівно kk лініями метро. З будь-якої станції до будь-якої іншої можна дістатися однією лінією метро, до того ж єдиною. Крім того, будь-які дві лінії метро мають рівно одну спільну станцію. Давид планує екскурсію для команди IMO і хоче відвідати множину SS з kk станцій. Він зауважує, що жодні три станції з SS не лежать на одній лінії метро. Доведіть, що існує станція, яка не належить SS і сполучена зі станціями з SS попарно різними лініями метро.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-006

Площа сердечка з дотичних дуг

Аліса малює сердечко в зошиті з математики так: спочатку вона малює два кола радіуса 1 см1~\text{см} з центрами O1O_1, O2O_2, які дотикаються зовні. Позначивши через rr спільну дотичну до двох кіл, що проходить через точку дотику, вона далі вибирає на прямій rr точку PP так, щоб O1PO2^=60∘\widehat{O_1 P O_2}=60^\circ, і проводить через PP дотичні до двох кіл. Чому дорівнює площа отриманого сердечка (тобто площа заштрихованої на рисунку фігури) в см2\text{см}^2? (A) 23+43π2 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi (B) 3+π\sqrt{3}+\pi (C) 73π\frac{7}{3} \pi (D) 32+2π\frac{3}{2}+2 \pi (E) Жодна з попередніх
10–11 класиПлоща кола і його частин
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-008

Площа перетину прямокутників зі спільною діагоналлю

Лучо має дві однакові картки прямокутної форми зі сторонами 66 і 99; він кладе їх на стіл так, щоб вони мали спільну діагональ, але не збігалися повністю. Яка площа частини першої картки, яку накриває друга? (A) 2727 (B) 3636 (C) 3737 (D) 3838 (E) 3939
10–11 класиПлоща чотирикутника
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-011

Об’єм частини куба між двома площинами

Дано куб з ребром 1010, розглянемо площину, яка проходить рівно через 66 середин його ребер; позначимо ці точки A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F і припустимо, що сторони шестикутника ABCDEFABCDEF лежать кожна на грані куба. Розглянемо далі другу площину, яка містить відрізок ABAB і перпендикулярна до грані, що містить ABAB. Чому дорівнює об’єм частини куба, обмеженої цими двома площинами? (A) 250250 (B) 10003\frac{1000}{3} (C) 375375 (D) 16253\frac{1625}{3} (E) Не існує площини з описаними властивостями
10–11 класиСиметрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-013

Паралелограм з бісектрисою і серединою сторони

Нехай ABCDABCD — паралелограм такий, що бісектриса, проведена з BB, перетинає сторону CDCD у її середині MM. Сторона BCBC завдовжки 66, а діагональ ACAC завдовжки 1414. Знайдіть довжину AMAM. (A) 2192 \sqrt{19} (B) 14−3314-3 \sqrt{3} (C) 454 \sqrt{5} (D) 99 (E) 2222 \sqrt{22}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-014

Дроби з початком десяткового запису 3,14

Архімед добре знав, що π≈3,1416\pi \approx 3,1416 можна наблизити зверху дробом 22/7≈3,142922 / 7 \approx 3,1429 і що принаймні перші дві цифри після коми є правильними. Для скількох пар цілих чисел (m,n)(m, n), де 1<n<1001<n<100, десятковий запис дробу mn\frac{m}{n} починається саме з 3,14? (A) 14 (B) 21 (C) 48 (D) 50 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-016

Найбільша площа прямокутника з розеткою на стіні

Вітальня в будинку Філіппо має прямокутний план. Філіппо помітив, що якщо ввімкнути пилосос у розетку біля вхідних дверей, то можна прибрати всю підлогу: це означає, що всі точки підлоги перебувають на відстані, меншій за 5 м5~\text{м}, від точки стіни, де знаходиться розетка. Яку найбільшу площу може мати вітальня (у м2\text{м}^{2})?
10–11 класиНерівність Коші
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-017

Максимальний прямокутник з фіксованою відстанню

Вітальня будинку Філіппо має прямокутну форму. Філіппо помітив, що якщо ввімкнути пилосос у розетку біля вхідних дверей, то можна прибрати всю підлогу: це означає, що всі точки підлоги знаходяться на відстані менше ніж 5 м5~\mathrm{м} від точки стіни, де розташована розетка. Яка максимальна площа вітальні (у м2\mathrm{м}^{2})?
10–11 класиНерівність Коші
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-001

Бісектриси кутів рівнобічної трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з більшою основою ABAB така, що бісектриса кута при DD проходить через BB. Припустімо, що бісектриса кута при AA перетинає сторону BCBC у точці PP. Доведіть, що AB=APAB = AP тоді й лише тоді, коли бісектриса кута PAD^\widehat{PAD} проходить через CC.
10–11 класиБісектриса кута
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-014

Перпендикулярність у конфігурації з медіаною та проєкціями

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай DD, EE і FF — середини сторін BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай XX і YY — основи перпендикулярів, проведених із DD до сторін ABAB і ACAC відповідно. Пряма, що проходить через FF і паралельна прямій XYXY, перетинає пряму DYDY в точці PP, відмінній від EE. Доведіть, що пряма ADAD і пряма EPEP перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-003

Рівносторонній трикутник з кутовими умовами

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 33, а точки DD, EE і FF лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно. Відомо, що BD=1BD = 1 і ∠ADE=∠DEF=60∘\angle ADE = \angle DEF = 60^\circ. Знайдіть довжину відрізка AFAF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-006

Площа правильного шестикутника, вписаного в прямокутник

Правильний шестикутник вписано в прямокутник, як показано на рисунку. Площі зафарбованих трикутника й чотирикутника дорівнюють 2020 і 2323 відповідно. Знайдіть площу правильного шестикутника.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-010

Пошук кута в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, DD — основа перпендикуляра з AA на BCBC, а MM — середина сторони ACAC. Нехай PP — точка на відрізку BMBM така, що ∠PAM=∠MBA\angle PAM = \angle MBA. Відомо, що ∠BAP=41∘\angle BAP = 41^\circ і ∠PDB=115∘\angle PDB = 115^\circ. Знайдіть величину кута BACBAC.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-001

Точки на сторонах трикутника і відрізки PX та PY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Точки D,ED, E лежать усередині відрізків AB,ACAB, AC відповідно. Нехай PP — точка, для якої PB=PD,PC=PEPB = PD, PC = PE. Нехай XX — внутрішня точка дуги ACAC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить точку BB. Пряма XAXA вдруге перетинає описане коло трикутника ADEADE у точці YY. Доведіть, що PX=PYPX = PY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-004

Співвідношення площ у паралелограмі з паралельною прямою

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а PP — точка на стороні ABAB. Нехай пряма через PP, паралельна стороні BCBC, перетинає діагональ ACAC у точці QQ. Доведіть, що ∣DAQ∣2=∣PAQ∣×∣BCD∣,|DAQ|^{2} = |PAQ| \times |BCD|, де ∣XYZ∣|XYZ| позначає площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-005

Колінеарність у вкладених квадратах

Нехай ABCDABCD — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою). Нехай ZZ — довільна точка на діагоналі ACAC між AA і CC така, що AZ>ZCAZ > ZC. Нехай XX і YY — такі точки, що AXYZAXYZ — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою), а точка BB лежить усередині квадрата AXYZAXYZ. Нехай MM — точка перетину прямих BXBX і DZDZ (за потреби продовжених). Доведіть, що CC, MM і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-011

Бісектриса в прямокутному трикутнику

Нехай трикутник ABCABC прямокутний у вершині AA. Нехай DD — точка на стороні ACAC така, що BDBD є бісектрисою кута ∠ABC\angle ABC. Доведіть, що BC−BD=2ABBC - BD = 2AB тоді й лише тоді, коли 1BD−1BC=12AB\frac{1}{BD} - \frac{1}{BC} = \frac{1}{2AB}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-015

Симетричний образ MA на колі трикутника IMBMC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з інцентром II. Нехай MAM_{A}, MBM_{B} і MCM_{C} — середини менших дуг BCBC, CACA і ABAB його описаного кола відповідно. Доведіть, що образ точки MAM_{A} при симетрії відносно прямої IMBIM_{B} лежить на описаному колі трикутника IMBMCIM_{B}M_{C}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.