Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-038

Умова на НСК і подільність добутку

Нехай n≥2n \ge 2 — ціле число. Нехай a1,a2,…,an∈{1,2,3,…,2n}a_1, a_2, \dots, a_n \in \{1, 2, 3, \dots, 2n\} такі, що НСК(ai,aj)>2n\text{НСК}(a_i, a_j) > 2n для будь-яких 1≤i<j≤n1 \le i < j \le n. Доведіть, що a1a2…an∣(n+1)(n+2)…(2n−1)(2n).a_1 a_2 \dots a_n \mid (n+1)(n+2) \dots (2n-1)(2n).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-001

Фантастичність степеня 2021²⁰²¹ за трійками m, 2m+1, 3m

Відомо, що число 20212021 є фантастичним. Для кожного натурального mm справджується таке твердження: якщо хоча б один елемент множини {m, 2m+1, 3m}\{m,\ 2m+1,\ 3m\} є фантастичним, то й усі інші елементи множини є фантастичними. Чи правильно, що число 202120212021^{2021} є фантастичним?
10–11 класиЗв’язність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-006

Мільйон розв'язків рівняння з сумою цілих частин

Чи існує таке ціле невід'ємне число aa, для якого рівняння [m1]+[m2]+[m3]+…+[mm]=n2+a\left[\frac{m}{1}\right]+\left[\frac{m}{2}\right]+\left[\frac{m}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{m}{m}\right]=n^2+a має більше ніж мільйон різних розв'язків (m, n)(m,\,n), де mm і nn — натуральні числа. Примітка. Вираз [x][x] позначає цілу частину числа xx, зокрема, [2]=1\left[\sqrt{2}\right]=1, [π]=[227]=3[\pi]=\left[\frac{22}{7}\right]=3, [42]=42[42]=42, [0]=0[0]=0.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-001

Поділ чисел від n до 2n на дві купки

Нехай дано натуральне число n⩾100n \geqslant 100. Іван записав на окремих картках числа nn, n+1n + 1, n+2n + 2, …\ldots, 2n2n. Він тасує ці n+1n + 1 картку та ділить їх на дві купки. Доведіть, що принаймні одна з тих купок містить дві картки такі, що сума чисел на цих картках є квадратом цілого числа.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-002

Нерівність з сумами коренів з модулів сум і різниць

Доведіть, що нерівність ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣⩽∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} справджується для довільних дійсних x1,…,xnx_1, \ldots, x_n.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-006

Підмножини множини цілих чисел із сумами mᵏ

Дано ціле число m⩾2m \geqslant 2. У скінченній множині AA, що складається із цілих, не обов’язково додатних чисел, знайшлися такі підмножини B1,B2,B3,…,BmB_1, B_2, B_3, \ldots, B_m, що для кожного k=1,m‾k = \overline{1, m} сума елементів множини BkB_k дорівнює mkm^k. Доведіть, що множина AA містить принаймні 12m\frac{1}{2}m елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-001

Сума елементів таблиці з цілими частинами

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 розглянемо таблицю n×nn \times n з елементом ⌊ijn+1⌋\left\lfloor\frac{ij}{n+1}\right\rfloor на перетині рядка ii і стовпця jj, для всіх i=1,…,ni=1, \ldots, n і j=1,…,nj=1, \ldots, n. Визначте всі цілі n⩾1n \geqslant 1, для яких сума всіх n2n^{2} елементів таблиці дорівнює 14n2(n−1)\frac{1}{4} n^{2}(n-1).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-012

Барвисте розфарбування кола з послідовними умовами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Ціле число m⩾n+1m \geqslant n+1 називається nn-барвистим, якщо, маючи нескінченно багато кульок кожного з nn кольорів C1,C2,…,CnC_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}, можна розмістити mm з них по колу так, що в будь-якій групі з n+1n+1 послідовних кульок є принаймні одна кулька кольору CiC_{i} для кожного i=1,…,ni=1, \ldots, n. Доведіть, що існує лише скінченно багато додатних цілих чисел, які не є nn-барвистими. Знайдіть найбільше серед них.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-018

Рухи намистин з раціональним масштабуванням

Алісі дано раціональне число r>1r>1 і пряму з двома точками B≠RB \neq R, причому в точці RR міститься червона намистина, а в точці BB — синя намистина. Аліса грає сама, виконуючи послідовність ходів. У кожному ході вона вибирає ціле число kk (не обов'язково додатне) і намистину, яку рухатиме. Якщо ця намистина стоїть у точці XX, а інша намистина — у точці YY, то Аліса переміщує вибрану намистину в точку X′X^{\prime}, для якої YX′→=rkYX→\overrightarrow{Y X^{\prime}}=r^{k} \overrightarrow{Y X}. Мета Аліси — перемістити червону намистину в точку BB. Знайдіть усі раціональні числа r>1r>1, для яких Аліса може досягти своєї мети не більше ніж за 2021 хід.
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-019

Подільність зваженої суми для перестановок

Знайдіть усі цілі числа n⩾2n \geqslant 2 з такою властивістю: будь-які nn попарно різних цілих чисел, сума яких не ділиться на nn, можна розташувати в деякому порядку a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, щоб nn ділило 1⋅a1+2⋅a2+⋯+n⋅an1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-020

Періодичність послідовності з умовою подільності

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2m} ділить an+an+ma_{n} + a_{n+m} для всіх натуральних чисел nn і mm. Доведіть, що ця послідовність зрештою періодична, тобто існують натуральні числа NN і dd такі, що an=an+da_{n} = a_{n+d} для всіх n>Nn > N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-021

Ітерований многочлен за модулем

Для многочлена P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами покладемо P1(x)=P(x)P^{1}(x)=P(x) і Pk+1(x)=P(Pk(x))P^{k+1}(x)= P\left(P^{k}(x)\right) при k⩾1k \geqslant 1. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує многочлен P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами такий, що для кожного цілого m⩾1m \geqslant 1 числа Pm(1),…,Pm(n)P^{m}(1), \ldots, P^{m}(n) дають рівно ⌈n/2m⌉\left\lceil n / 2^{m}\right\rceil різних остач при діленні на nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-001

Залишок від ділення 2ⁿ на 3ⁿ

Доведіть, що при деякому натуральному nn залишок від ділення числа 2n2^n на число 3n3^n більший за 10202110^{2021}.
10–11 класиОстачі від великих степенів
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-001

Ітеративна побудова простих чисел

На дошці написано скінченну кількість цілих чисел, більших за одиницю. Щохвилини Норді додатково пише на дошці найменше додатне ціле число, більше за всі інші цілі числа на дошці, яке не ділиться на жодне з чисел на дошці. Доведіть, що, починаючи з деякого моменту, Норді писатиме на дошці лише прості числа.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-003

Гра з підмножинами на степенях двійки

Нехай nn — натуральне число. Аліса та Боб грають у таку гру. Спочатку Аліса вибирає n+1n+1 підмножин A1,…,An+1A_{1}, \ldots, A_{n+1} множини {1,…,2n}\{1, \ldots, 2^{n}\}, кожна розміру 2n−12^{n-1}. Потім Боб вибирає n+1n+1 довільних цілих чисел a1,…,an+1a_{1}, \ldots, a_{n+1}. Нарешті, Аліса вибирає ціле число tt. Боб виграє, якщо існує ціле число 1≤i≤n+11 \leq i \leq n+1 і s∈Ais \in A_{i} такі, що s+ai≡t(mod2n)s+a_{i} \equiv t\pmod{2^{n}}. Інакше виграє Аліса. Знайдіть усі значення nn, для яких Аліса має виграшну стратегію.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-002

Кількість ходів для визначення загаданого числа

Ксенія та Сергій грають у таку гру. Ксенія загадує натуральне число N⩽5000N \leqslant 5000. Потім вона вибирає попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a20a_1, a_2, \ldots, a_{20}, такі, що для k=1,20‾k = \overline{1, 20} числа NN та aka_k мають однакові залишки від ділення на kk. На кожному ході Сергій називає Ксенії множину SS, що складається з натуральних чисел, які не перевищують 2020, а вона називає йому множину {ak:k∈S}\{a_k : k \in S\}, але не каже, яке число відповідає якому індексу. Скільки ходів потрібно Сергію, щоб гарантовано визначити число, яке загадала Ксенія?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-003

Призначення бригадирів для бригад із 17 робітників

Група із 1717 робітників вишикувалася в шеренгу. Будь-яку групу із хоча б двох робітників, що стоять підряд, назвемо бригадою. Керівник хоче призначити бригадира для кожної бригади (він має бути членом цієї бригади), щоб для кожного робітника кількість бригад, бригадиром якої він є, ділилася на 44. Доведіть, що кількість способів призначити бригадирів таким чином ділиться на 1717.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-004

Числа від 1 до n і два числа

Дано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n записано на дошці. Під час ходу дозволено стерти з дошки деякі два числа aa та bb, після чого кожне із чисел a+ba + b, ∣a−b∣|a - b| записати на дошці, якщо його там немає (якщо одне із цих чисел уже наявне, то записати лише друге число, а якщо є обидва — жодне нове число не записувати). З’ясуйте для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2, чи можуть на дошці бути записані рівно два числа після скінченної кількості ходів.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-032

Гра з добутками за модулем простого числа

Річард і Каарел по черзі вибирають числа з множини {1,…,p−1}\{1, \dots, p-1\}, де p>3p > 3 — просте число. Першим вибирає Річард. Жодне число, яке вже було вибране одним із гравців, не може бути вибране повторно жодним із гравців. Кожне число, вибране Річардом, множиться на те число, яке Каарел вибирає безпосередньо після нього. Каарел виграє гру, якщо в деякий момент гри сума всіх отриманих добутків ділиться на pp. Річард виграє, якщо цього не станеться, тобто гравці використають усі числа раніше, ніж будь-яка із сум поділиться на pp. Чи може хтось із гравців гарантувати собі перемогу незалежно від ходів суперника і якщо так, то хто саме?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-033

Повні квадрати з показникових виразів

(a) Чи існує натуральне число aa таке, що ((a2−2)3+1)a−1((a^2 - 2)^3 + 1)^a - 1 є повним квадратом? (b) Чи існує натуральне число aa таке, що ((a2−2)3+1)a+1−1((a^2 - 2)^3 + 1)^{a+1} - 1 є повним квадратом?
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-025

Пакування цеглин у ящик заданих розмірів

Мулярка має цеглини з розмірами 2×5×82 \times 5 \times 8 та інші цеглини з розмірами 2×3×72 \times 3 \times 7. Вона також має ящик, внутрішні розміри якого становлять 10×11×1410 \times 11 \times 14. Цеглини та внутрішня частина ящика — прямокутні паралелепіпеди. Мулярка запаковує цеглини в ящик, заповнюючи весь об’єм його внутрішньої частини. Скільки цеглин вона запакувала в ящик?
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-027

Знайомства обмінами у двочастковому графі

Кожну вершину повного двочасткового графа K128,128K_{128,128} займає одна людина. На початку всі люди незнайомі між собою. Якщо люди перебувають у суміжних вершинах, вони одразу знайомляться. Дозволено взяти кілька ребер без спільних вершин і поміняти місцями людей у кінцевих вершинах кожного ребра. Яка найменша кількість таких операцій потрібна, щоб усі люди познайомилися між собою?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-034

Показник простого числа у факторіалі за модулем

Для простого числа pp і натурального числа nn позначимо через f(p,n)f(p, n) найбільше ціле число kk таке, що pk∣n!p^k \mid n!. Нехай pp — задане просте число, а mm і cc — задані натуральні числа. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що f(p,n)−cf(p, n) - c ділиться на mm.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-028

Максимальна кількість гостей з різними четвірками

Нехай nn — натуральне число. Ресторан пропонує на вибір nn закусок, nn основних страв, nn десертів та nn вин. Весела компанія вечеряє в ресторані, причому кожен гість обирає закуску, основну страву, десерт і вино. Жодні двоє гостей не зробили повністю однакового замовлення. Виявилося, що немає такої групи з nn гостей, чиї замовлення збігаються за трьома позиціями, а за четвертою — усі різні. (Наприклад, немає nn людей, які замовили ті самі три страви, але nn різних вин.) Яка найбільша можлива кількість гостей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.