Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2003-002

Покриття множини доповненнями підмножин

Нехай SS — множина з nn елементів, а kk — натуральне число. Нехай A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k — довільні попарно різні підмножини множини SS. Для кожного ii виберемо Bi=AiB_i = A_i або Bi=S−AiB_i = S - A_i. Знайдіть найменше kk таке, що за будь-якого вибору підмножин A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k можна вибрати BiB_i так, щоб ⋃1≤i≤kBi=S\bigcup_{1 \le i \le k} B_i = S.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-003

Сума найбільших непарних дільників

Для n≥1n \geq 1 нехай ana_{n} — найбільший непарний дільник числа nn, а bn=a1+a2+⋯+anb_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}. Доведіть, що bn≥n2+23b_{n} \geq \frac{n^{2}+2}{3}, і визначте, для яких nn справджується рівність. Наприклад, a1=1, a2=1, a3=3, a4=1, a5=5, a6=3a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=3,\ a_{4}=1,\ a_{5}=5,\ a_{6}=3 отже b6=1+1+3+1+5+3=14≥62+23=1223.b_{6}=1+1+3+1+5+3=14 \geq \frac{6^{2}+2}{3}=12 \frac{2}{3} .
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-004

Розфарбування станцій для перевірки простоти

Професор Моріарті придумав «стежку для перевірки простоти». Стежка має 2002 станції, позначені 1,…,20021, \ldots, 2002. Кожна станція пофарбована в червоний або зелений колір і містить таблицю, яка для кожної з цифр 0,…,90, \ldots, 9 вказує номер іншої станції. Учень отримує натуральне число nn і проходить стежкою, починаючи зі станції 11. Учень читає першу (крайню ліву) цифру числа nn і шукає цю цифру в таблиці станції 11, отримуючи номер нової станції. Потім учень іде до цієї нової станції, читає другу цифру числа nn і шукає її в таблиці цієї станції, отримуючи ще один номер станції, і так далі, доки останню (крайню праву) цифру числа nn не буде прочитано і знайдено в таблиці, що й приводить учня до його кінцевої станції. Нижче наведено приклад можливих значень деяких із таблиць. Нехай n=19n=19: | Станція | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 1 (червона) | 15 | 29 | 314 | 16 | 2002 | 97 | 428 | 1613 | 91 | 24 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 29 (червона) | 98 | 331 | 1918 | 173 | 15 | 41 | 17 | 631 | 1211 | 1429 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 1429 (зелена) | 7 | 18 | 31 | 43 | 216 | 1709 | 421 | 53 | 224 | 1100 | За цими таблицями станція 11, цифра 11 веде до станції 2929; станція 2929, цифра 99 веде до станції 14291429; станція 14291429 — зелена. Професор Моріарті стверджує, що для будь-якого натурального числа nn кінцева станція (у прикладі 14291429) буде зеленою тоді і тільки тоді, коли nn просте. Чи це можливо?
Мала теорема Ферма
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2002-001

Суми підмножин без точних степенів

Доведіть, що існує множина з 20022002 різних натуральних чисел така, що сума одного або кількох елементів цієї множини ніколи не є квадратом, кубом або вищим степенем.
Функція vₚ(n) та її властивості
Математичний гурток БеркліBMC-2001-002

Рукостискання із забороненими парами

5 подружніх пар зібралися на вечірці. Вітаючись, різні люди обмінюються рукостисканнями — але, звісно, ніхто не тисне руку собі самому чи власному подружжю. Наприкінці вечірки одна жінка обходить усіх і запитує, скільки рук кожен потиснув, і отримує дев'ять різних відповідей. Скільки рук потисла вона сама?
Степені вершин
Математичний гурток БеркліBMC-2001-004

Розбиття зв'язного графа на групи малого діаметра

В Антарктиді є 3,999,9993,999,999 міст, і деякі пари з них сполучені дорогами. Відомо, що для будь-яких двох міст існує послідовність доріг, яка веде від одного до іншого. Доведіть, що міста можна поділити на 19991999 груп (по 20012001 міст у кожній) так, щоб для будь-яких двох міст з однієї групи можна було дістатися від одного до іншого, використавши не більше ніж 40004000 доріг.
Дерева
Математичний гурток БеркліBMC-2001-009

Послідовність з a1 = 3 та подільність на степені трійки

Нехай a1=3a_{1}=3 і an+1=(3an2+1)/2−ana_{n+1} = \left(3 a_{n}^{2} + 1\right) / 2 - a_{n} при n≥1n \geq 1. Якщо nn — степінь числа 33, доведіть, що ana_{n} ділиться на nn.
Теорема Ейлера
Математичний гурток БеркліBMC-2001-005

Послідовність, обмежена НСД індексів

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — послідовність натуральних чисел з такою властивістю: якщо SS — довільна непорожня множина натуральних чисел, то існує s∈Ss \in S таке, що as≤НСД(S)a_{s} \leq \text{НСД}(S). Доведіть, що n!n! ділиться на a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} для кожного натурального числа nn.
Бієкції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2001-002

Послідовність із взаємною простотою і степенями простих чисел

Для заданого цілого a0>1a_0 > 1 визначають послідовність (an)n≥0(a_n)_{n \ge 0} так: для кожного k≥0k \ge 0 визначають ak+1a_{k+1} як найменше ціле число, більше за aka_k, таке, що НСД(ak+1,a0a1⋯ak)=1\text{НСД}(a_{k+1}, a_0 a_1 \cdots a_k) = 1. Знайдіть усі значення a0a_0, для яких усі члени aka_k є простими числами або степенями простих чисел.
Прості числа (базові властивості)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-001

Сума двох взаємно простих чисел, більших за 1

Доведіть, що кожне ціле число, не менше від 77, можна подати у вигляді суми двох взаємно простих цілих чисел, обидва з яких більші за 11. (Два цілі числа взаємно прості, якщо вони не мають спільного додатного дільника, відмінного від 11. Наприклад, числа 2222 і 1515 взаємно прості, і тому рівність 37=22+1537=22+15 подає число 3737 у бажаному вигляді.)
Дільники та кратні (базові власти…4 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-002

Нерівність для циклічного добутку сум

Нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — додатні числа, причому n≥2n \geq 2. Доведіть, що (x1+1x1)(x2+1x2)⋯(xn+1xn)≥(x1+1x2)(x2+1x3)⋯(xn−1+1xn)(xn+1x1).\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdots\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right) \geq\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdots\left(x_{n-1}+\frac{1}{x_{n}}\right)\left(x_{n}+\frac{1}{x_{1}}\right) .
Нерівність Коші2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2000-014

Взаємно проста пара у підмножині

Дано n+1n+1 різних цілих чисел із множини {1,2,…,2n}\{1,2, \ldots, 2n\} (n≥1n \geq 1), доведіть, що деякі два з них є взаємно простими.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний гурток БеркліBMC-2000-006

Члени рекурентної послідовності як квадрати

Нехай x1=x2=1x_{1} = x_{2} = 1 і xn+2=2xn+1+8xn−1x_{n+2} = 2 x_{n+1} + 8 x_{n} - 1 для n≥1n \geq 1. Доведіть, що xnx_{n} є квадратом для всіх nn.
Метод математичної індукції
Математичний гурток БеркліBMC-2000-020

Золоті матриці з об'єднаннями рядка і стовпця

Матриця n×nn \times n з цілих чисел називається «золотою», якщо для кожного рядка і кожного стовпця їхнє об'єднання містить усі числа 1,2,3,…,2n−11,2,3, \ldots, 2 n-1. Знайдіть усі золоті матриці (усіх розмірів).
Підрахунок двома способами2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2000-016

Прості числа з квадратними попарними сумами

Чи існують три різні прості числа такі, що сума будь-яких двох з них є квадратом?
Міркування за модулем
Математичний гурток БеркліBMC-2000-003

Тридцять співробітників з червоними та зеленими печатками

На математичному факультеті Каліфорнійського університету в Берклі є 30 співробітників. Злий Гастропод ставить червону або зелену печатку на лоб кожного з них, а потім розміщує всіх по окремих кімнатах. Щодня Гастропод збирає всіх співробітників в одній кімнаті й просить кожного, хто остаточно встановив, що його печатка червона, підняти руку. Жодне інше спілкування між ними не дозволене. Як виявилося, в усіх стоїть червона печатка (але оскільки кожен бачить лише печатки інших, спочатку ніхто з них цього не усвідомлює). Першого дня Гастропод зауважує: «Принаймні в одного з вас печатка червона». Відомо, що всі співробітники факультету в Берклі — досконалі логіки, і кожен знає, що всі інші — досконалі логіки. Доведіть, що зрештою кожен встановить, що його печатка червона.
Метод математичної індукції
Математичний гурток БеркліBMC-2000-008

Показникове діофантове рівняння з простими числами

Нехай pp — непарне просте число, а a,ba, b — натуральні числа, які задовольняють (p+1)a−pb=1(p+1)^{a} - p^{b} = 1. Доведіть, що a=b=1a = b = 1.
Міркування за модулем
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-001

Надлишкове число серед послідовних цілих чисел

Доведіть, що серед будь-яких 12 послідовних натуральних чисел знайдеться принаймні одне число, яке менше за суму своїх власних дільників. (Власними дільниками натурального числа nn називаються всі натуральні числа, відмінні від 1 і nn, які ділять nn. Наприклад, власні дільники числа 14 — це 2 і 7.)
Дільники та кратні (базові власти…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-009

Стоси карток і перетасування за іменами

Скінченну кількість карток розкладено в два стоси, причому в лівому стосі карток більше, ніж у правому. На кожній картці написано одне або кілька різних імен, хоча різні картки можуть мати спільні імена. Для кожного імені визначимо «перетасування»: усі картки, на яких написане це ім'я, перекладаються в протилежний стос. Доведіть, що завжди можна, вибравши кілька різних імен і виконавши по черзі перетасування, що відповідає кожному з них, отримати більше карток у правому стосі, ніж у лівому.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-001

Множина попарно взаємно простих чисел містить просте

15 натуральних чисел, більших за 11 і менших за 19981998, попарно взаємно прості (жодна пара не має спільного дільника, більшого за 11). Доведіть, що принаймні одне з них має бути простим.
Прості числа (базові властивості)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-003

Гра з очками за НСД та обмеженими ходами

Двоє гравців грають у гру за такими правилами. Є n>1n > 1 раундів, а число d≥1d \ge 1 фіксоване. У першому раунді A вибирає натуральне число m1m_1, а потім B вибирає натуральне число n1≠m1n_1 \ne m_1. У раунді kk (для k=2,…,nk = 2, \dots, n) A вибирає ціле число mkm_k таке, що mk−1<mk≤mk−1+dm_{k-1} < m_k \le m_{k-1} + d. Потім B вибирає ціле число nkn_k таке, що nk−1<nk≤nk−1+dn_{k-1} < n_k \le n_{k-1} + d. У цьому раунді A отримує НСД(mk,nk−1)\text{НСД}(m_k, n_{k-1}) очок, а B отримує НСД(mk,nk)\text{НСД}(m_k, n_k) очок. Після nn раундів A перемагає, якщо він має щонайменше стільки ж очок, скільки B, інакше він програє. Для кожних n,dn, d визначте, який гравець має виграшну стратегію.
НСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-005

Функціональне рівняння зі зсувом на 1998

Нехай N={0,1,2,3,… }N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}. Знайдіть усі функції f:N→Nf: N \to N, які задовольняють f(2f(n))=n+1998f(2f(n)) = n + 1998 для всіх nn.
Властивості ін'єктивність або сюр…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1997-004

Раціональні передперіодичні точки квадратичного відображення

Нехай cc — раціональне число. Нехай f(x)=x2+cf(x) = x^2 + c. Визначимо f(0)(x)=xf^{(0)}(x) = x, f(n+1)(x)=f(f(n)(x))f^{(n+1)}(x) = f(f^{(n)}(x)). Доведіть, що існує лише скінченно багато раціональних чисел xx, таких, що послідовність f(0)(x),f(1)(x),f(2)(x),…f^{(0)}(x), f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), \dots набуває лише скінченно багато значень.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1996-003

Подання числа одиницями за допомогою додавання і множення

Нехай f(n)f(n) — найменша кількість цифр 11, потрібна для подання натурального числа nn з використанням лише цифр 11, знаків ++, знаків ×\times і дужок. Наприклад, число 8080 можна подати за допомогою 1313 цифр 11 так: (1+1+1+1+1)×(1+1+1+1)×(1+1+1+1)(1+1+1+1+1) \times (1+1+1+1) \times (1+1+1+1). Доведіть, що 3log⁡3n≤f(n)≤5log⁡3n3\log_3 n \le f(n) \le 5\log_3 n для n>1n > 1.
Метод математичної індукції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1996-006

Ітерація многочлена за модулем 101

Нехай p(x)p(x) — многочлен x3+14x2−2x+1x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Нехай p(n)(x)p^{(n)}(x) позначає p(p(n−1)(x))p(p^{(n-1)}(x)). Доведіть, що існує ціле число NN таке, що p(N)(x)−xp^{(N)}(x) - x ділиться на 101101 для всіх цілих xx.
Квадратичні лишки і символ Лежанд…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.