Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-003

Колінеарні точки в паралелограмі із серединами сторін

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Нехай EE — середина сторони ABAB, а FF — середина сторони CDCD. Точки PP і QQ лежать на відрізках EFEF і CFCF відповідно так, що AA, PP і QQ лежать на одній прямій. Відомо, що EP=5EP = 5, PF=3PF = 3 і QF=12QF = 12. Знайдіть довжину відрізка CQCQ.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-005

Опуклий многокутник із простими кутами

Припустімо, що існує опуклий nn-кутник такий, що градусна міра кожного його кута є непарним простим числом. Обчисліть різницю між найбільшим і найменшим можливими значеннями nn.
10–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-007

Коло, дотичне до сторін прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}. Коло ω\omega з центром на гіпотенузі BCBC дотикається до катета ABAB у точці DD та до катета ACAC у точці EE. Нехай FF і GG — точки перетину кола ω\omega і гіпотенузи BCBC, причому FF лежить між BB і GG. Якщо прямі DGDG і EFEF перетинаються в точці XX, доведіть, що AX=ADAX = AD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути5 розв’язків
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-119

Площа між околами трикутника

Нехай X0X_{0} — внутрішність трикутника зі сторонами 33, 44 і 55. Для всіх натуральних чисел nn визначимо XnX_{n} як множину точок на відстані не більше 11 від деякої точки з Xn−1X_{n-1}. Площу області поза X20X_{20}, але всередині X21X_{21} можна записати у вигляді aπ+ba \pi + b, де aa і bb — цілі числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-120

Середини відрізків у прямокутному трикутнику

Трикутник ABCA B C прямокутний з прямим кутом при CC, а DD — основа висоти, опущеної з CC на ABA B. Точки LL, MM і NN — середини відрізків ADA D, DCD C і CAC A відповідно. Якщо CL=7C L = 7 і BM=12B M = 12, обчисліть BN2B N^{2}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-104

Вписаний шестикутник з рівними сторонами

Нехай nn — відповідь цієї задачі. Шестикутник ABCDEFA B C D E F вписано в коло радіуса 9090. Площа шестикутника ABCDEFA B C D E F дорівнює 8n8 n, AB=BC=DE=EFA B = B C = D E = E F, а CD=FAC D = F A. Знайдіть площу трикутника ABCA B C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-094

Коло, дотичне до сторони квадрата

Нехай ABCDABCD — одиничний квадрат. Коло з радіусом 3249\frac{32}{49} проходить через точку DD і дотикається до сторони ABAB у точці EE. Тоді DE=mnDE=\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-011

Вписане в сектор коло, дотичне до півкола

Півколо радіуса 20212021 має діаметр ABAB і центр OO. Точки CC і DD лежать на півколі так, що ∠AOC<∠AOD=90∘\angle AOC < \angle AOD = 90^\circ. Коло радіуса rr вписано в сектор, обмежений радіусами OAOA та OCOC, і дотикається до півкола в точці EE. Якщо CD=CECD = CE, обчисліть ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-012

Перетин прямих, що сполучають відповідні вершини тетраедрів

Нехай A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} і C1C2C3C4C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} — три правильні тетраедри в тривимірному просторі, попарно нерівні. Припустимо, що для кожного i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точка CiC_{i} є серединою відрізка AiBiA_{i} B_{i}. Визначте, чи повинні чотири прямі A1B1A_{1} B_{1}, A2B2A_{2} B_{2}, A3B3A_{3} B_{3} і A4B4A_{4} B_{4} перетинатися в одній точці.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-121

Перетин описаних кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD, AB=5AB=5, BC=9BC=9, CD=10CD=10 і DA=7DA=7. Прямі BCBC і DADA перетинаються в точці EE. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а NN — точка перетину описаних кіл △BMC\triangle BMC і △DMA\triangle DMA, відмінна від MM. Якщо EN2=abEN^{2}=\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-018

Правильний многокутник з розбиттям кута на рівні частини

Нехай m,n>2m, n > 2 — цілі числа. Один з кутів правильного nn-кутника розбито на mm рівних кутів (m−1)(m-1) променями. Якщо кожен із цих променів перетинає многокутник ще раз в одній з його вершин, то кажемо, що nn є mm-розрізаним. Обчисліть найменше натуральне число nn, яке є одночасно 3-розрізаним і 4-розрізаним.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-122

Чотирикутник ABCD з BC = 3, CD = 4

Нехай AEFAEF — трикутник, у якому EF=20EF=20 і AE=AF=21AE=AF=21. Нехай BB і DD — точки на відрізках AEAE і AFAF відповідно, такі, що BDBD паралельна EFEF. Точку CC вибрано всередині трикутника AEFAEF так, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним. Якщо BC=3BC=3 і CD=4CD=4, то відношення площ [ABCD][AEF]\frac{[ABCD]}{[AEF]} можна записати як ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-021

Диски в метриці таксі у правильному восьмикутнику

Відстань у метриці таксі між точками (x1,y1)(x_{1}, y_{1}) і (x2,y2)(x_{2}, y_{2}) дорівнює ∣x2−x1∣+∣y2−y1∣|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|. Правильний восьмикутник розташовано в площині xyxy так, що одна з його сторін має кінці (0,0)(0,0) і (1,0)(1,0). Нехай SS — множина всіх точок усередині восьмикутника, відстань яких у метриці таксі від деякої вершини восьмикутника не перевищує 23\frac{2}{3}. Площу SS можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-133

Області від траєкторії променя у квадраті

Світловий імпульс стартує з вершини дзеркального квадрата. Він рухається всередині квадрата, відбиваючись від периметра квадрата nn разів, перш ніж потрапити в іншу вершину. Траєкторія світлового імпульсу розбиває квадрат рівно на 2021 область. Обчисліть найменше можливе значення nn.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-123

Трикутник з рівними відстанями від центра описаного кола

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Нехай NN — точка, симетрична MM відносно HH. Припустімо, що OA=ON=11O A = O N = 11 і OH=7O H = 7. Обчисліть BC2B C^{2}.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-063

Бісектриса кута в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм з AB=480AB = 480, AD=200AD = 200 і BD=625BD = 625. Бісектриса ∠BAD\angle BAD перетинає сторону CDCD у точці EE. Знайдіть довжину відрізка CECE.
10–11 класиПаралельні прямі і січна
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-024

Дотичні описані кола за кутових умов

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, а DD — точка на відрізку AMA M. На променях CA→\overrightarrow{C A} і BA→\overrightarrow{B A} відповідно вибрано різні точки YY і ZZ такі, що ∠DYC=∠DCB\angle D Y C = \angle D C B і ∠DBC=∠DZB\angle D B C = \angle D Z B. Доведіть, що описане коло трикутника △DYZ\triangle D Y Z дотикається до описаного кола трикутника △DBC\triangle D B C.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-064

Екстремальні відстані між одиничними квадратами

Два одиничні квадрати S1S_{1} і S2S_{2} мають горизонтальні й вертикальні сторони. Нехай xx — найменша відстань між точкою з S1S_{1} і точкою з S2S_{2}, а yy — найбільша відстань між точкою з S1S_{1} і точкою з S2S_{2}. Якщо x=5x=5, то різниця між найбільшим і найменшим можливими значеннями yy може бути записана як a+bca+b \sqrt{c}, де a,ba, b і cc — цілі числа, причому cc додатне і вільне від квадратів. Знайдіть 100a+10b+c100 a+10 b+c.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-114

Комплексні числа з рівними модулями

Нехай xx, yy і zz — комплексні числа з рівними модулями, які задовольняють x+y+z=−32−i5x + y + z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \sqrt{5} і xyz=3+i5.xyz = \sqrt{3} + i \sqrt{5}. Якщо x=x1+ix2x = x_1 + i x_2, y=y1+iy2y = y_1 + i y_2 і z=z1+iz2z = z_1 + i z_2 для дійсних x1x_1, x2x_2, y1y_1, y2y_2, z1z_1 і z2z_2, то (x1x2+y1y2+z1z2)2\left(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\right)^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-124

Коло з рівнобедреним прямокутним трикутником

Нехай OO та AA — дві точки на площині, причому OA=30OA = 30, а Γ\Gamma — коло з центром OO радіуса rr. Припустімо, що існують дві точки BB і CC на колі Γ\Gamma такі, що ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} і AB=BCAB = BC. Обчисліть найменше можливе значення ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-125

Максимальний прямокутний трикутник у дотичних колах

Два кола з радіусами 7171 і 100100 дотикаються ззовні. Обчисліть найбільшу можливу площу прямокутного трикутника, кожна вершина якого лежить принаймні на одному з кіл.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-031

Шестикутник з відрізків зі спільною серединою

Нехай ADAD, BEBE та CFCF — відрізки зі спільною серединою, причому AB<AEAB < AE і BC<BFBC < BF. Припустимо, що кожна пара відрізків утворює кут 60∘60^{\circ}, а також що AD=7AD = 7, BE=10BE = 10 і CF=18CF = 18. Нехай KK — сума площ шести трикутників △ABC\triangle ABC, △BCD\triangle BCD, △CDE\triangle CDE, △DEF\triangle DEF, △EFA\triangle EFA та △FAB\triangle FAB. Обчисліть K3K \sqrt{3}.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-100

Вписаний п'ятикутник з рівними хордами

ABCDEABCDE — опуклий вписаний п'ятикутник, причому AC=BD=CEAC = BD = CE. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX, а діагоналі BDBD і CECE перетинаються в точці YY. Якщо AX=6AX = 6, XY=4XY = 4 і YE=7YE = 7, то площа п'ятикутника ABCDEABCDE може бути записана у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де a,b,ca, b, c — цілі числа, cc додатне, bb вільне від квадратів, а НСД(a,c)=1\text{НСД}(a, c) = 1. Знайдіть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-126

Трапеція з перетином діагоналі й описаного кола

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і AD=BDAD = BD. Нехай MM — середина сторони ABAB, а P≠CP \neq C — друга точка перетину описаного кола △BCD\triangle BCD з діагоналлю ACAC. Припустимо, що BC=27BC = 27, CD=25CD = 25 і AP=10AP = 10. Якщо MP=abMP = \frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКоло і подібність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.