Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-008

Попарні збільшення з різними кроками

Нехай aa і bb — різні натуральні числа. На спочатку порожній дошці відбувається такий нескінченний процес. (i) Якщо на дошці є принаймні одна пара рівних чисел, ми вибираємо таку пару і збільшуємо одне з її чисел на aa, а друге — на bb. (ii) Якщо такої пари немає, ми записуємо двічі число 00. Доведіть, що незалежно від того, як ми робимо вибори в (i), операція (ii) буде виконана лише скінченну кількість разів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-010

Арифметична прогресія з різних дробів

Нехай n⩾2018n \geqslant 2018 — ціле число, і нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — попарно різні натуральні числа, що не перевищують 5n5n. Припустимо, що послідовність a1b1,a2b2,…,anbn\frac{a_{1}}{b_{1}}, \frac{a_{2}}{b_{2}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}} утворює арифметичну прогресію. Доведіть, що всі члени послідовності рівні.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-004

Рівність добутку цілих частин і біноміального коефіцієнта

а) Доведіть, що для довільного натурального числа mm існує таке натуральне n⩾mn \geqslant m, що \left[\frac{n}{1}\right] \cdot \left[\frac{n}{2}\right] \cdot \ldots \cdot \left[\frac{n}{m}\right] = C_n^m. \tag{*} б) Позначимо через p(m)p(m) найменше натуральне число n⩾mn \geqslant m, для якого виконується рівність (). Доведіть, що p(2018)=p(2019)p(2018) = p(2019).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-007

Пірати, що ціляться у двох інших

Декілька піратів почали суперечку, і тепер кожен із них націлив пістолети на деяких двох інших. Усіх піратів викликають по черзі в якомусь порядку. Якщо викликаний пірат ще живий, то він одразу стріляє у двох піратів, яких він тримав під прицілом (деякі з них можуть бути вже мертвими). Усі постріли миттєво вбивають. Після того як викликали всіх піратів, виявилося, що рівно 2828 піратів було вбито. Доведіть, що якби піратів викликали в іншому довільному порядку, то принаймні 1010 піратів усе одно було б убито.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-008

Зображення числа з менш ніж 2k ненульовими коефіцієнтами

Дано натуральне число nn і натуральні числа u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n, що не перевищують 2k2^k, для деякого натурального k⩾3k\geqslant 3. Назвемо зображенням числа tt таку послідовність невід'ємних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що t=a1u1+a2u2+…+anun.t=a_1u_1+a_2u_2+\ldots+a_nu_n. Доведіть, що коли ціле невід'ємне число tt має зображення, то воно також має зображення, у якому серед чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n менше ніж 2k2k ненульових.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-011

Послідовність з кубом та подільність члена на просте число

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) така, що a1=1a_1 = 1 і ak+1=ak3+1a_{k+1} = a_k^3 + 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що для будь-якого простого числа pp вигляду 3l+23l + 2, де ll — ціле невід'ємне число, існує таке натуральне число nn, що ana_n ділиться націло на pp.
10–11 класиМала теорема Ферма
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-012

Сілезькі натуральні числа та дріб із квадратів

Натуральне число nn назвемо сілезьким, якщо існують такі натуральні числа aa, bb, cc, що n=a2+b2+c2ab+bc+can = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca}. а) Доведіть, що існує нескінченно багато сілезьких натуральних чисел. б) Доведіть, що не всі натуральні числа є сілезькими.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-004

Значення НСД двох лінійних виразів

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа такі, що ad≠bcad \neq bc та НСД(a,b,c,d)=1(a, b, c, d) = 1. Нехай SS — множина всіх значень, яких набуває вираз НСД(an+b,cn+d)(an + b, cn + d), коли nn пробігає всі натуральні числа. Доведіть, що SS є множиною всіх натуральних дільників деякого натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-002

Розфарбування натуральних чисел з локальною адитивністю

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існують розфарбування натуральних чисел Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів і функція f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} з такими двома властивостями: (i) Для всіх натуральних чисел m,nm, n одного кольору f(m+n)=f(m)+f(n)f(m+n)=f(m)+f(n). (ii) Існують натуральні числа m,nm, n такі, що f(m+n)≠f(m)+f(n)f(m+n) \neq f(m)+f(n). У розфарбуванні Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів кожне число зафарбовано рівно в один із kk кольорів. І в (i), і в (ii) натуральні числа m,nm, n не обов’язково різні.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-005

n-ки зі степенем 2 у добутку

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. nn-ка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) додатних цілих чисел називається дорогою, якщо існує додатне ціле число kk таке, що (a1+a2)(a2+a3)⋯(an−1+an)(an+a1)=22k−1.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3}) \cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})=2^{2k-1}. a) Знайдіть усі додатні цілі числа n≥2n \geq 2, для яких існує дорога nn-ка. b) Доведіть, що для кожного непарного додатного цілого числа mm існує ціле число n≥2n \geq 2 таке, що mm належить до дорогої nn-ки. У добутку в лівій частині рівно nn множників.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-013

Гра з десятковими цифрами за модулем простого числа

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число. Едуардо та Фернандо грають у таку гру, роблячи ходи по черзі: кожним ходом гравець, чия черга ходити, обирає індекс ii з множини {0,1,…,p−1}\{0,1, \ldots, p-1\}, який ще не обирали ні він, ні інший гравець, а потім обирає елемент aia_{i} з множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Едуардо ходить першим. Гра закінчується після того, як усі індекси i∈{0,1,…,p−1}i \in\{0,1, \ldots, p-1\} буде обрано. Тоді обчислюють таке число: M=a0+10⋅a1+⋯+10p−1⋅ap−1=∑j=0p−1aj⋅10jM=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j} Метою Едуардо є зробити число MM кратним pp, а метою Фернандо — завадити цьому. Доведіть, що Едуардо має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-001

Значення параметра для виразів із різницями й сумами

Нехай qq — дійсне число. У Гугу є серветка з десятьма різними дійсними числами, і він записує на дошці такі три рядки дійсних чисел: - У першому рядку Гугу записує кожне число виду a−ba-b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з його серветки. - У другому рядку Гугу записує кожне число виду qabq a b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з першого рядка. - У третьому рядку Гугу записує кожне число виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,c,da, b, c, d — чотири (не обов'язково різні) числа з першого рядка. Визначте всі значення qq такі, що, незалежно від чисел на серветці Гугу, кожне число з другого рядка також є числом у третьому рядку.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-014

Десяткові періоди дробів

Раціональне число назвемо коротким, якщо воно має скінченну кількість цифр у десятковому розкладі. Для натурального числа mm скажемо, що натуральне число tt є mm-тастичним, якщо існує число c∈{1,2,3,…,2017}c \in \{1,2,3, \ldots, 2017\} таке, що 10t−1c⋅m\frac{10^{t}-1}{c \cdot m} є коротким, і таке, що 10k−1c⋅m\frac{10^{k}-1}{c \cdot m} не є коротким для жодного 1⩽k<t1 \leqslant k<t. Нехай S(m)S(m) — множина mm-тастичних чисел. Розглянемо S(m)S(m) для m=1,2,…m=1,2, \ldots. Яка найбільша можлива кількість елементів у S(m)S(m)?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-015

Прості числа, що дають ціле відношення

Знайдіть усі пари (p,q)(p, q) простих чисел з p>qp > q, для яких число (p+q)p+q(p−q)p−q−1(p+q)p−q(p−q)p+q−1\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1} є цілим.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-004

Рекурентна послідовність зі змінним рекурентним співвідношенням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел такі, що a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1, і an+1={anbn+an−1, якщо bn−1=1anbn−an−1, якщо bn−1>1 для n=1,2,…a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} a_{n} b_{n}+a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}=1 \\ a_{n} b_{n}-a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}>1 \end{array} \quad \text{ для } n=1,2, \ldots\right. Доведіть, що принаймні одне з двох чисел a2017a_{2017} і a2018a_{2018} не менше від 20172017.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-016

Однорідний многочлен зі значенням 1 на незвідних точках

Назвемо впорядковану пару (x,y)(x, y) цілих чисел незвідною точкою решітки, якщо xx і yy взаємно прості. Для довільної скінченної множини SS незвідних точок решітки доведіть, що існує однорідний многочлен від двох змінних f(x,y)f(x, y) з цілими коефіцієнтами степеня принаймні 1 такий, що f(x,y)=1f(x, y)=1 для кожної точки (x,y)(x, y) з множини SS. Зауваження: однорідним многочленом степеня nn називається будь-який ненульовий многочлен вигляду f(x,y)=a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn.f(x, y)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1} y+a_{2} x^{n-2} y^{2}+\cdots+a_{n-1} x y^{n-1}+a_{n} y^{n} .
10–11 класиІнтерполяційні многочлени2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-017

Функція на взаємно простих парах і квадратична сума

Нехай pp — непарне просте число, а Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина додатних цілих чисел. Припустимо, що функція f:Z>0×Z>0→{0,1}f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \{0,1\} задовольняє такі властивості: - f(1,1)=0f(1,1)=0; - f(a,b)+f(b,a)=1f(a, b)+f(b, a)=1 для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b), у якій не обидва числа дорівнюють 11; - f(a+b,b)=f(a,b)f(a+b, b)=f(a, b) для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b). Доведіть, що ∑n=1p−1f(n2,p)⩾2p−2.\sum_{n=1}^{p-1} f\left(n^{2}, p\right) \geqslant \sqrt{2 p}-2 .
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-019

Добуток чотирьох чисел — квадрат

Множина AA складається з 2016 натуральних чисел. Усі прості дільники цих чисел менші за 29. Доведіть, що існують чотири різні числа aa, bb, cc і dd з множини AA такі, що abcdabcd є квадратом.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-030

Діофантове рівняння із симетричною сумою

Чи існують натуральні числа a,b,ca, b, c, які не мають спільного дільника і задовольняють рівність ab+bc+ca=(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)?ab + bc + ca = (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)?
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-009

Цілі четвірки з квадратичною та лінійною умовами

Знайдіть усі четвірки цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d), які задовольняють рівняння {−a2+b2+c2+d2=13a+b+c+d=1.\begin{cases} -a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 \\ 3a + b + c + d = 1. \end{cases}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-031

Кубічне рівняння з простим параметром

Знайдіть усі натуральні числа aa і всі прості числа pp, які задовольняють рівняння (a−p)3=a+p.(a - p)^3 = a + p.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-032

Стабільні кінцеві відрізки цифр

Скінченна послідовність dn−1,dn−2,…,d1,d0d_{n-1}, d_{n-2}, \dots, d_1, d_0 цифр називається стабільним кінцевим відрізком довжини nn, якщо вона має таку властивість: якщо mm — довільне натуральне число, таке, що останні nn цифр числа mm — це dn−1dn−2…d1d0d_{n-1}d_{n-2}\dots d_1d_0 (у цьому порядку), то для кожного натурального числа kk останні nn цифр числа mkm^k — це dn−1dn−2…d1d0d_{n-1}d_{n-2}\dots d_1d_0 (у цьому порядку). Доведіть, що для кожного натурального числа nn існує рівно чотири стабільні кінцеві відрізки довжини nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-033

Взаємно прості числа в послідовностях цілих чисел

1. Кожна послідовність принаймні з двох послідовних цілих чисел містить число, яке не ділиться на жодне просте число, менше за кількість членів послідовності. 2. Кожна послідовність принаймні з двох послідовних цілих чисел містить число, взаємно просте з усіма іншими членами послідовності.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-034

Цілочисельні розв'язки зсунутої суми степенів

Для яких цілих n=1,…,6n = 1, \dots, 6 рівняння an+bn=cn+na^n + b^n = c^n + n має розв'язок у цілих числах?
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-036

Ітерації функції, що збігаються зі степеневими відображеннями

Знайдіть усі пари p,qp, q різних простих чисел, множини D⊆RD \subseteq \mathbb{R} і функції f:D→Df: D \to D, які задовольняють fp(x)=xpіfq(x)=xqf^p(x) = x^p \quad \text{і} \quad f^q(x) = x^q для всіх x∈Dx \in D. (Тут fnf^n позначає nn-ту ітерацію функції ff.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.