Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

683 задачі
ГеометріяАлгебраїчні методи в геометрії
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-029

Примітивні піфагорові трикутники з сумою кутів

Величини найменших кутів трьох різних прямокутних трикутників у сумі дають 90∘90^\circ. Довжини сторін усіх трьох трикутників утворюють примітивні піфагорові трійки. Дві з них — 33-44-55 і 55-1212-1313. Чому дорівнює периметр третього трикутника? (A) 4040 (B) 126126 (C) 154154 (D) 176176 (E) 208208
10–11 класиПіфагорові трійки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-030

Трикутник, один кут якого вдвічі більший за інший

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник із цілими довжинами сторін, для якого виконується ∠B=2∠A\angle B = 2\angle A. Який найменший периметр може мати такий трикутник? (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-031

Сума добутків квадратів тангенсів

Обчисліть значення виразу tg⁡2π16⋅tg⁡23π16+tg⁡2π16⋅tg⁡25π16+tg⁡23π16⋅tg⁡27π16+tg⁡25π16⋅tg⁡27π16\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16}
10–11 класиТеорема Вієта
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-032

Висота піраміди з восьмикутною основою

Пряма піраміда має за основу правильний восьмикутник ABCDEFGHABCDEFGH зі стороною 11 і вершину VV. Відрізки AV‾\overline{AV} і DV‾\overline{DV} перпендикулярні. Чому дорівнює квадрат висоти піраміди? (A) 11 (B) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (C) 2\sqrt{2} (D) 32\frac{3}{2} (E) 2+23\frac{2+\sqrt{2}}{3}
10–11 класиМетод координат
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-028

Паралелограми в трикутнику та паралельність прямих

Точки EE і FF вибрано відповідно на сторонах CACA і ABAB трикутника ABCABC. Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці PP. Нехай QQ — точка, така, що PBQCPBQC — паралелограм, а RR — точка, така, що AERFAERF — паралелограм. Доведіть, що PR∥AQPR \parallel AQ.
10–11 класиВекторний метод2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-117

Система з коренями та оберненими величинами

Обчисліть єдину впорядковану пару (x,y)(x, y) дійсних чисел, що задовольняє систему рівнянь xx2+y2−1x=7 і yx2+y2+1y=4.\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{1}{x}=7 \quad \text{ і } \quad \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{1}{y}=4 .
10–11 класиВекторний метод2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-096

Тангенси кутів з внутрішньої точки правильного шестикутника

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а PP — точка в його внутрішності. Доведіть, що з трьох значень tg⁡∠APD\operatorname{tg} \angle A P D, tg⁡∠BPE\operatorname{tg} \angle B P E і tg⁡∠CPF\operatorname{tg} \angle C P F два в сумі дають третє.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-120

Сума коренів тринадцятого степеня з фіксованим модулем

Нехай ζ=cos⁡2π13+isin⁡2π13\zeta = \cos \frac{2\pi}{13} + i \sin \frac{2\pi}{13}. Припустімо, що a>b>c>da > b > c > d — натуральні числа, які задовольняють ∣ζa+ζb+ζc+ζd∣=3\left|\zeta^{a} + \zeta^{b} + \zeta^{c} + \zeta^{d}\right| = \sqrt{3} Обчисліть найменше можливе значення 1000a+100b+10c+d1000a + 100b + 10c + d.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-131

Трикутник з кутом 60° та перпендикуляром

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай XX — точка на стороні AB‾\overline{AB} така, що ∠BXC=60∘\angle BXC = 60^{\circ}. Нехай PP — точка на відрізку CX‾\overline{CX} така, що BP⊥ACBP \perp AC. Відомо, що AB=6AB = 6, AC=7AC = 7 і BP=4BP = 4, обчисліть довжину відрізка CPCP.
10–11 класиПаралельний перенос
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-056

Перетин після повороту прямокутника

Нехай ABCDABCD — прямокутник, вершини якого занумеровано проти годинникової стрілки, причому AB=32AB=32 і AD=60AD=60. Прямокутник AB′C′D′AB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} побудовано поворотом прямокутника ABCDABCD проти годинникової стрілки навколо AA на 60∘60^{\circ}. Відомо, що прямі BB′BB^{\prime} і DD′DD^{\prime} перетинаються в точці XX. Обчисліть довжину відрізка CXCX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-057

Рівносторонній трикутник і хорда з відрізками 55, 121, 55

Рівносторонній трикутник вписано в коло ω\omega. Хорду кола ω\omega периметр трикутника розбиває на три відрізки завдовжки 5555, 121121 і 5555 у вказаному порядку. Обчисліть суму всіх можливих довжин сторони трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-027

Ітеровані проєкції між мимобіжними прямими

Нехай ℓ\ell і mm — дві мимобіжні прямі у просторі, а P1P_{1} — точка на прямій ℓ\ell. Нехай P2P_{2} — точка на прямій mm, найближча до P1P_{1}, P3P_{3} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P2P_{2}, P4P_{4} — точка на прямій mm, найближча до P3P_{3}, а P5P_{5} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P4P_{4}. Відомо, що P1P2=5P_{1}P_{2}=5, P2P3=3P_{2}P_{3}=3 і P3P4=2P_{3}P_{4}=2. Обчисліть довжину відрізка P4P5P_{4}P_{5}.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-029

Квадрат із кутом і відстанями

Точка PP лежить усередині квадрата ABCDABCD так, що ∠APB=135∘\angle APB = 135^\circ, PC=12PC = 12 і PD=15PD = 15. Обчисліть площу цього квадрата.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-063

Правильний шестикутник у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Правильний шестикутник PXQYRZP X Q Y R Z зі стороною 22 розміщено так, що PP, QQ і RR лежать на відрізках BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Якщо точки AA, XX і YY лежать на одній прямій, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-067

Сума квадратів відстаней до вершин квадрата

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 і ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^{\circ}. Квадрат BCDEBCDE побудовано зовні трикутника ABCABC. Обчисліть AD2+AE2AD^{2} + AE^{2}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-070

Основа висоти і точки з рівними кутами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти з AA на BC‾\overline{BC}. Нехай XX і YY — точки на відрізку BC‾\overline{BC} такі, що ∠BAX=∠YAC\angle BAX = \angle YAC, BX=2BX = 2, XY=6XY = 6 і YC=3YC = 3. Відомо, що AD=12AD = 12, обчисліть довжину відрізка BDBD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-010

Попарно перпендикулярні прямі з точки до трикутника

У просторі дано три різні точки X,YX, Y і ZZ; питається, чи існує точка PP, відмінна від X,YX, Y і ZZ, така, що прямі PX,PYP X, P Y і PZP Z попарно перпендикулярні. Четверо друзів роблять такі твердження: Альберто: «Існують X,Y,ZX, Y, Z і PP, що належать одній площині, які задовольняють ці умови.» Барбара: «Не існує 4 точок X,Y,ZX, Y, Z і PP, які задовольняють ці умови.» Карло: «Для того щоб PP існувала, необхідно, щоб трикутник XYZX Y Z був гострокутним.» Дарія: «Для того щоб PP існувала, достатньо, щоб трикутник XYZX Y Z не був тупокутним.» Хто має рацію? (A) Лише Альберто (B) Лише Барбара (C) Лише Карло (D) Лише Дарія (E) Жодне з попередніх.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-010

Трикутник із рівним поділом кута

Маємо трикутник △ABC\triangle ABC і дві точки DD та EE на відрізку BCBC, такі, що ∠BAD=∠DAE=∠EAC\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC. Крім того, ∣AB∣=6|AB| = 6, ∣BD∣=4|BD| = 4, ∣DE∣=2|DE| = 2 і ∣EA∣=3|EA| = 3. Дивіться рисунок праворуч: зауважте, його намальовано не в масштабі! Чому дорівнює довжина відрізка CECE? A) 2 B) 2142\frac{1}{4} C) 2122\frac{1}{2} D) 2342\frac{3}{4} E) 3
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-047

Концентричні описані кола з середин дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай A1A_{1} — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA; B1B_{1} — середина дуги CA⌢\overparen{CA}, що не містить BB; C1C_{1} — середина дуги AB⌢\overparen{AB}, що не містить CC. Нарешті, нехай A2A_{2} — точка, для якої AB1A2C1AB_{1}A_{2}C_{1} є паралелограмом; B2B_{2} — точка, для якої BC1B2A1BC_{1}B_{2}A_{1} є паралелограмом; C2C_{2} — точка, для якої CA1C2B1CA_{1}C_{2}B_{1} є паралелограмом. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і A2B2C2A_{2}B_{2}C_{2} концентричні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-083

Дотичні, що перетинаються, і хорда кола

Нехай A,B,C,DA, B, C, D — чотири точки, розташовані в цьому порядку на колі ω\omega. Нехай PP і QQ — дві точки на прямій (AB)(A B) такі, що точки Q,A,B,PQ, A, B, P лежать на одній прямій у цьому порядку, коло, описане навколо трикутника ADQA D Q, дотикається до прямої (AC)(A C), а коло, описане навколо трикутника BCPB C P, дотикається до прямої (BD)(B D). Нехай MM і NN — середини відрізків [BC][B C] і [AD][A D] відповідно. Доведіть, що дотична в AA до кола, описаного навколо трикутника ANQA N Q, дотична в BB до кола, описаного навколо трикутника BMPB M P, і пряма (CD)(C D) перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-011

Описаний чотирикутник і центри вписаних кіл трикутників

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_a, IbI_b, IcI_c і IdI_d — центри вписаних кіл трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні дотичні до описаних кіл трикутників AIbIdAI_bI_d і CIbIdCI_bI_d перетинаються в точці XX і що зовнішні спільні дотичні до описаних кіл трикутників BIaIcBI_aI_c і DIaIcDI_aI_c перетинаються в точці YY. Доведіть, що XIY^=90∘\widehat{XIY} = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-113

П'ятикутник з рівними відрізками у трикутнику

П'ятикутник SPEAKS P E A K вписано в трикутник NOWN O W так, що SS і PP лежать на відрізку NON O, KK і AA лежать на відрізку NWN W, а EE лежить на відрізку OWO W. Припустімо, що NS=SP=PON S = S P = P O і NK=KA=AWN K = K A = A W. Відомо, що EP=EK=5E P = E K = 5 і EA=ES=6E A = E S = 6, обчисліть довжину відрізка OWO W.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-038

Рівносторонній трикутник з коренями як абсцисами вершин

Рівносторонній трикутник лежить у декартовій площині так, що координати xx його вершин попарно різні й усі задовольняють рівняння x3−9x2+10x+5=0x^{3}-9 x^{2}+10 x+5=0. Обчисліть довжину сторони трикутника.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-040

Згинання трикутника з умовою про середину

Елісенда має аркуш паперу у формі трикутника з вершинами AA, BB і CC такого, що AB=42AB = 42. Вона вибирає точку DD на відрізку ACAC і згинає папір уздовж прямої BDBD так, що AA потрапляє в точку EE на відрізку BCBC. Потім вона згинає папір уздовж прямої DEDE. При цьому BB потрапляє в середину відрізка DCDC. Обчисліть периметр початкового розгорнутого трикутника.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-050

Довжина хорди гіперболи

Точки A=(4,14)A=\left(4, \frac{1}{4}\right) і B=(−5,−15)B=\left(-5,-\frac{1}{5}\right) лежать на гіперболі xy=1x y=1. Коло з діаметром ABA B перетинає цю гіперболу ще раз у точках XX і YY. Обчисліть довжину відрізка XYX Y.
10–11 класиМетод координат

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.