Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-004

Симетричні кола в чотирикутнику і перетин на AC

Дано чотирикутник ABCDABCD з рівними кутами при вершинах BB і DD. Відомо, що кола ω1\omega_1, ω2\omega_2 симетричні відносно прямої ACAC, причому коло ω1\omega_1 проходить через точку BB та перетинає вдруге прямі ABAB та BCBC у точках KK та LL відповідно, а коло ω2\omega_2 проходить через точку DD та перетинає вдруге прямі CDCD та ADAD у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що прямі KMKM та LNLN перетинаються на прямій ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-012

Умова на точку T і відношення IP до IQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC знайшлася така точка TT, що BA+BT=CA+CTBA + BT = CA + CT та AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через інцентр II перпендикулярно до прямої AIAI, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ. Знайдіть усі можливі значення відношення IP:IQIP : IQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-009

Рівнобедрений трикутник з проєкціями на бічні сторони

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому BC=CABC = CA. Усередині відрізка ABAB знайшлася така точка DD, що AD<DBAD < DB, і точки PP і QQ — проєкції точки DD на прямі BCBC і CACA відповідно потрапляють точно в середини відрізків BCBC і CACA відповідно. Нехай серединний перпендикуляр до прямої PQPQ перетинає відрізок CQCQ в точці EE та нехай описані кола трикутників ABCABC і CPQCPQ перетинаються вдруге в точці FF, що відмінна від точки CC. Виявилося, що точки PP, EE, FF лежать на одній прямій. Доведіть, що трикутник ABCABC — прямокутний.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-001

Кола трикутників AKH і CLH та бісектриса кута B

Нехай BHBH — висота різностороннього гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і BCBC вибрано точки KK і LL відповідно так, що BK=BH=BLBK = BH = BL. Описані кола трикутників AKHAKH і CLHCLH удруге перетинаються в точці PP і вдруге перетинають промінь BHBH у точках QQ і RR відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQRPQR лежить на бісектрисі кута ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-009

Чотири кола, пов'язані з симетрією відносно середніх ліній

Дано гострокутний трикутник ABCABC і точку PP на його описаному колі. Нехай точки DD, EE, FF — образи точки PP при її симетрії відносно середніх ліній трикутника ABCABC, що паралельні відповідно сторонам BCBC, ACAC і ABAB. Позначимо через wA,wB,wCw_A, w_B, w_C описані кола трикутників ADPADP, BEPBEP, CFPCFP відповідно. Нехай ww — описане коло трикутника, вершини якого є попарними перетинами серединних перпендикулярів до відрізків ADAD, BEBE і CFCF. Доведіть, що всі чотири кола wA,wB,wCw_A, w_B, w_C і ww мають спільну точку.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-011

Перетин прямих A1A2 і B1B2 на висоті трикутника

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC із центром описаного кола в точці OO проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c. Описане коло трикутника AOHaAOH_a перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках B1B_1 та B2B_2 відповідно. Описане коло трикутника BOHbBOH_b перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках A1A_1 та A2A_2 відповідно. Доведіть, що точка перетину прямих A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 лежить на прямій CHcCH_c.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-003

Симетрії внутрішньої точки трикутника відносно сторін

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку TT. Нехай через A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 позначено точки, симетричні точці TT відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Позначимо через Ω\Omega описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. Прямі A1T,B1T,C1TA_1T, B_1T, C_1T удруге перетинають коло Ω\Omega у точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі AA2,BB2,CC2AA_2, BB_2, CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-010

Трикутник з висотою і рівність двох кутів

Дано трикутник ABCABC, AHAH — його висота. Точку KK вибрано на відрізку AHAH таким чином, що AH=3KHAH = 3KH. Нехай точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, точки MM і NN — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Прямі KOKO і MNMN перетинаються в точці ZZ, а перпендикуляр до прямої OKOK, що проходить через точку ZZ, перетинає прямі ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що ∠XKY=∠CKB\angle XKY = \angle CKB.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-012

Паралелограм BPTQ і відношення BT до BM

Точка MM — середина сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC. Коло ω\omega проходить через точки BB і MM та вдруге перетинає сторони ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно. Нехай точка TT така, що чотирикутник BPTQBPTQ — паралелограм. Припустимо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати відношення BT/BMBT/BM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-003

Середини сторін трикутника, коло і симетричні точки

Задано трикутник ABCABC, у якому CA≠CBCA \neq CB. Нехай точки DD, FF і GG — середини сторін ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Коло Γ\Gamma, що проходить через точку CC і дотикається до сторони ABAB у точці DD, перетинає відрізки AFAF і BGBG у точках HH та II відповідно. Точки H′H' і I′I' симетричні HH та II відносно FF і GG відповідно. Пряма H′I′H'I' перетинає CDCD і FGFG у точках QQ і MM відповідно. Пряма CMCM вдруге перетинає коло Γ\Gamma у точці PP. Доведіть, що CQ=QPCQ = QP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-008

Точка перетину кіл та паралельність PM і AK

Задано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<BCAB < BC. Його вписане коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці KK. Пряма AKAK удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці TT. Нехай MM — середина BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. Відрізок NTNT перетинає описане коло трикутника BICBIC у точці PP. Доведіть, що PM∥AKPM \parallel AK.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-011

Прямокутний трикутник з висотою та півколом на BD

Задано трикутник ABCABC, у якому ∠C=90∘\angle C=90^\circ, точка HH — основа висоти, що проведена з точки CC. Точку DD вибрано всередині трикутника CBHCBH таким чином, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Позначимо точку перетину BDBD і CHCH літерою PP. Нехай ω\omega — півколо, що побудоване на BDBD як на діаметрі та перетинає відрізок CBCB у його внутрішній точці. Пряма, що проходить через точку PP, дотикається до ω\omega у точці QQ. Доведіть, що прямі CQCQ і ADAD перетинаються на півколі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-016

Коло на MN як на діаметрі і фіксована точка

Гострокутний трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<∠C\angle A < \angle B < \angle C, вписано в коло ω\omega. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, вибрано довільним чином точку DD. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці EE, а прямі BDBD і ACAC — у точці FF. Нехай O1O_1 — центр кола ω1\omega_1, яке знаходиться всередині трикутника EBDEBD та дотикається до прямих EBEB, EDED і до кола ω\omega. Аналогічно нехай O2O_2 — центр кола ω2\omega_2, яке лежить усередині трикутника FCDFCD й дотикається до прямих FCFC, FDFD і до кола ω\omega. Позначимо точку дотику ω1\omega_1 до прямої BEBE через NN, а точку дотику ω2\omega_2 до прямої CFCF — через MM. Доведіть, що кола, побудовані на MNMN як на діаметрі, проходять через фіксовану точку незалежно від вибору точки DD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-001

Рівність кутів BAM і CAN у трикутнику

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, A′A' — точка, що симетрична точці AA відносно прямої BCBC, XX — довільна точка на промені AA′AA' (X≠A)(X \neq A). Бісектриса кута BACBAC перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (D≠A)(D \neq A). Нехай MM — середина відрізка DXDX. Пряма, що проходить через точку OO паралельно ADAD, перетинає DXDX у точці NN. Доведіть, що кути BAMBAM і CANCAN рівні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-003

Середини сторін, середина дуги та перетин MN і XY

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Позначимо через MM і NN середини сторін ABAB і ACAC відповідно, TT — середина дуги BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA. Описані кола трикутників AMTAMT і ANTANT перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Припустимо, що точки XX і YY лежать усередині трикутника ABCABC. Точку перетину прямих MNMN і XYXY позначимо через KK. Доведіть, що KA=KTKA = KT.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-013

Ортоцентр трикутника ABC на колі трикутника CDE

Задано трикутник ABCABC і точки DD, EE, FF на прямих BCBC, CACA й ABAB відповідно такі, що AF=EFAF = EF і BF=DFBF = DF. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника CDECDE.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-003

Випуклий шестикутник з рівностями сторін і кутів

Задано випуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, у якому AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF, CD=FACD = FA і ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A - \angle D = \angle C - \angle F = \angle E - \angle B. Доведіть, що діагоналі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-004

Геометричне місце точок X при вписаному колі

Вписане в рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC) коло ω\omega дотикається до його сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. На продовженні сторони BCBC за точку BB вибрано довільну точку MM. Пряма MLML удруге перетинає ω\omega у точці NN, пряма BNBN вдруге перетинає ω\omega у точці PP. На прямій PKPK відмічено точку XX, так що KK лежить між PP та XX і KX=KMKX = KM. Визначте геометричне місце точок XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-009

Точка у вписаному чотирикутнику і дотичне коло

Усередині вписаного чотирикутника ABCDABCD відмічено точку PP таку, що ∠PBC=∠PDA\angle PBC = \angle PDA, ∠PCB=∠PAD\angle PCB = \angle PAD. Доведіть, що існує коло, яке дотикається до прямих ABAB і CDCD, а також до кіл, описаних навколо трикутників ABPABP і CDPCDP.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-007

Нерівність для суми сторін трикутника та висоти

Позначимо в трикутнику ABCABC через hh довжину висоти, що проведена з вершини AA, а через α=∠BAC\alpha = \angle BAC. Доведіть, що виконується нерівність AB+AC⩾BC⋅cos⁡α+2hsin⁡αAB + AC \geqslant BC \cdot \cos\alpha + 2h\sin\alpha. Чи існують трикутники, для яких ця нерівність перетворюється в рівність?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-008

Два кола, пряма AB і фіксована точка

Задані два кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 з центрами у точках O1O_1 та O2O_2 відповідно. На колі γ2\gamma_2 вибрали деяку точку KK і побудували два кола – γ3\gamma_3, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці AA, та γ4\gamma_4, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці BB. Довести, що незалежно від вибору точки KK на колі γ2\gamma_2, усі прямі ABAB проходять через фіксовану точку площини.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-010

Точки P і Q всередині опуклого чотирикутника ABCD

Всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрані точки PP та QQ таким чином, що PQDAPQDA та QPBCQPBC – вписані чотирикутники. Припустимо, що існує така точка EE на відрізку PQPQ, що ∠PAE=∠QDE\angle PAE = \angle QDE та ∠PBE=∠QCE\angle PBE = \angle QCE. Довести, що чотирикутник ABCDABCD також вписаний.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-001

Різниця кутів MTB і CTM у рівнобедреному трикутнику

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC). Позначимо через MM середину сторони BCBC. Нехай XX – деяка точка на меншій з дуг MAMA описаного навколо трикутника ABMABM кола. Точка TT, що лежить всередині кута BMABMA, така, що ∠TMX=90∘\angle TMX = 90^\circ та TX=BXTX = BX. Доведіть, що різниця ∠MTB−∠CTM\angle MTB - \angle CTM не залежить від положення точки XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-009

Рівність відношень на прямій B1B2

Заданий △ABC\triangle ABC і точка DD всередині трикутника. Позначимо точки перетину прямих A0=AD∩BCA_0 = AD \cap BC, B0=BD∩ACB_0 = BD \cap AC, C0=CD∩ABC_0 = CD \cap AB. Нехай A1,B1,C1,A2,B2,C2A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 – середини відрізків BCBC, ACAC, ABAB, ADAD, BDBD, CDCD відповідно. Через точку B0B_0 проведено прямі, які паралельні A1A2A_1A_2 та C1C2C_1C_2, які перетинають пряму B1B2B_1B_2 в точках A3A_3 і C3C_3 відповідно. Довести, що A3B1A3B2=C3B1C3B2\frac{A_3B_1}{A_3B_2} = \frac{C_3B_1}{C_3B_2}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-012

Точки перетину дотичних з перпендикулярами в трикутнику

Нехай точка OO — центр описаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Позначимо через A1A_1 середину сторони BCBC. Нехай A2A_2 — друга точка перетину прямої AA1AA_1 з колом ω\omega, пряма ℓa\ell_a дотикається до кола ω\omega в точці A2A_2. Позначимо через PaP_a точку перетину прямої ℓa\ell_a з прямою, яка проходить через точку A1A_1 перпендикулярно до прямої AOAO. Точки PbP_b і PcP_c визначаються аналогічно. Доведіть, що точки PaP_a, PbP_b і PcP_c лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.