Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-005

Послідовність із коренями та всі прості числа

Задано натуральне число k⩾2k\geqslant 2. Нехай a1=1a_1=1 та для будь-якого натурального n⩾2n\geqslant 2 позначимо через ana_n найменше x>an−1x>a_{n-1} таке, що x=1+∑i=1n−1⌊xaik⌋x=1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\sqrt[k]{\dfrac{x}{a_i}}\right\rfloor. Доведіть, що у цій послідовності зустрічається будь-яке просте число.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-044

Розфарбування 2012 точок на прямій і кількість способів

На прямій позначили 20122012 точок на рівних відстанях одна від одної. Кожну точку треба пофарбувати у жовтий чи в зелений колір, щоб виконувалася така умова: якщо AA, BB і CC — три позначені точки, AB=BCAB=BC і точка AA має той самий колір, що й CC, то і точку BB пофарбовано в той же колір. Визначте кількість способів розфарбувати точки.
7–9 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-003

Вгадування числа запитаннями про множини з брехнею

Алла та Богдан грають у гру під назвою «Ти ж мене підманула». У правилах гри фігурують два натуральних числа kk й nn, відомих до початку гри обом гравцям. Гра проходить так. Спершу Алла вибирає два натуральних числа xx та NN, які задовольняють умову 1⩽x⩽N1 \leqslant x \leqslant N. Вона повідомляє Богдану число NN, але значення xx тримає в таємниці. Богдан намагається дізнатися щось про число xx у такий спосіб: він називає довільну множину SS натуральних чисел (можливо, уже названу раніше) та питає Аллу, чи належить число xx щойно названій множині. Богдан може змінювати множину SS (і повторювати запитання) як завгодно багато разів. На кожне поставлене Богданом запитання Алла повинна відразу ж відповісти «так» або «ні». При цьому вона може брехати як завгодно багато разів за єдиної умови: серед відповідей Алли на довільне k+1k+1 послідовне запитання хоча б одна відповідь має бути правдивою. Після того як Богдан поставить Аллі стільки запитань, скільки йому потрібно, він повинен назвати деяку множину XX, що містить не більше за nn натуральних чисел. Якщо x∈Xx \in X, то Богдан перемагає, інакше він програє. Доведіть такі твердження: а) Якщо n⩾2kn \geqslant 2^k, то Богдан може забезпечити собі перемогу. б) Для довільного достатньо великого kk знайдеться таке ціле число n⩾1,99kn \geqslant 1{,}99^k, при якому Богдан не зможе забезпечити собі перемогу.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-028

Стабільні знакозмінні кортежі

Назвемо n-набір (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) дійсних чисел стабільним, якщо суми a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \dots + a_k, де 0<k≤n0 < k \le n, а також суми an+an−1+⋯+an−ka_n + a_{n-1} + \dots + a_{n-k}, де 0≤k<n0 \le k < n, або всі від'ємні, або всі невід'ємні. Нехай kk — довільне натуральне число. Розглянемо всі стабільні (2k+1)(2k+1)-набори, що складаються з дійсних чисел, які почергово від'ємні та невід'ємні. Знайдіть найменшу можливу кількість стабільних піднаборів з більш ніж одного елемента, що можуть міститися в такому наборі. (Піднабором (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) називається будь-який набір (ai,…,aj)(a_i, \dots, a_j), 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n, з елементів, послідовних у вихідному наборі.)
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-042

Функція з властивістю подільності сум

Знайдіть усі функції ff з множини всіх натуральних чисел у ту саму множину такі, що для всіх натуральних чисел a1,…,aka_1, \dots, a_k з k>0k > 0 сума a1+⋯+aka_1 + \dots + a_k ділить суму f(a1)+⋯+f(ak)f(a_1) + \dots + f(a_k).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-030

Гра НСД з пороговим відношенням купок

Айно і Вяйно починають грати в гру GCD(m,nm, n), де mm і nn — натуральні числа. На початку на столі лежать дві купки камінців, одна з mm камінцями, інша з nn камінцями. Гравець, чия черга ходити, забирає певну кількість камінців з однієї з купок. Ця кількість кратна кількості камінців в іншій купці. Айно починає, і гравці ходять по черзі, доки одна з купок не стане порожньою. Той, кому вдасться спорожнити купку, перемагає. Доведіть, що існує таке α>1\alpha > 1, що якщо mm і nn — натуральні числа з m>αnm > \alpha n, то Айно має виграшну стратегію в грі GCD(m,nm, n), тоді як якщо αn>m>n\alpha n > m > n, то її має Вяйно.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-004

Степені двійки на шальках терезів без переваги справа

Задано натуральне число nn. Маємо шалькові терези та nn гир, ваги яких дорівнюють 20,21,…,2n−12^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}. Усі гирі послідовно викладають на терези за nn кроків. На першому кроці вибирають довільну гирю та викладають її на ліву шальку терезів. На кожному наступному кроці вибирають одну з гир, що залишились, і додають або на ліву, або на праву шальку терезів. Знайдіть кількість способів виконати ці nn кроків таким чином, щоби права шалька терезів жодного разу не переважила ліву.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-002

Функціональне рівняння з ітерованими функціями

Знайдіть усі пари (f,g)(f, g) функцій з множини натуральних чисел у себе, які задовольняють fg(n)+1(n)+gf(n)(n)=f(n+1)−g(n+1)+1f^{g(n)+1}(n) + g^{f(n)}(n) = f(n+1) - g(n+1) + 1 для кожного натурального числа nn. Тут fk(n)f^{k}(n) означає f(f(…f⏟k(n)…))\underbrace{f(f(\ldots f}_{k}(n) \ldots)).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-007

Сума відношень з обмеженими різницями

Нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n (n≥2n \ge 2) — дійсні числа, більші за 11. Припустимо, що ∣xi−xi+1∣<1|x_i - x_{i+1}| < 1 для i=1,2,…,n−1i = 1, 2, \dots, n-1. Доведіть, що x1x2+x2x3+⋯+xn−1xn+xnx1<2n−1\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n} + \frac{x_n}{x_1} < 2n - 1
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-006

Нерухома точка рекурентної функції

Функція ff визначена на множині натуральних чисел NN і набуває натуральних значень. Відомо, що для всіх n≥3n \ge 3 f(n)=⌈f(n−1)f(n−2)+n⌉f(n) = \lceil \sqrt{f(n-1)f(n-2)} + n \rceil Доведіть, що існує ціле число nn таке, що f(n)=nf(n) = n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-031

Розбиття на підмножини із сумою

Числа від 11 до 20102010 розбито на три підмножини AA, BB і CC, кожна з яких містить рівно 670670 елементів. Доведіть, що існують три числа, по одному з кожної множини, такі, що одне з них є сумою двох інших.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-033

Найменша кількість чорних трикутників у тріангуляції

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Розглянемо всі розбиття опуклого nn-кутника на трикутники за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не мають спільних точок усередині многокутника, та всі розфарбування трикутників у чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною завжди були різного кольору. Знайдіть найменшу можливу кількість чорних трикутників.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-002

Рекурентна послідовність з невід'ємними частковими сумами

Послідовність x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots визначено умовами x1=1x_{1}=1 та x2k=−xkx_{2k}=-x_{k}, x2k−1=(−1)k+1xkx_{2k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} для всіх k≥1k \geq 1. Доведіть, що x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 для всіх n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-008

Покриття цілих чисел арифметичними прогресіями

Нехай P1,…,PsP_{1}, \ldots, P_{s} — арифметичні прогресії цілих чисел, які задовольняють такі умови: (i) кожне ціле число належить принаймні одній з них; (ii) кожна прогресія містить число, яке не належить іншим прогресіям. Позначимо через nn найменше спільне кратне кроків цих прогресій; нехай n=p1α1…pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}} — його розклад на прості множники. Доведіть, що s≥1+∑i=1kαi(pi−1)s \geq 1+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}\left(p_{i}-1\right)
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-003

Функції Єнсена та середні багатьох змінних

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю. Кожна функція f:R→Rf: \mathbf{R} \to \mathbf{R} така, що f(a+b2)=f(a)+f(b)2для всіх a,b∈R,f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{f(a)+f(b)}{2} \quad \text{для всіх } a, b \in \mathbf{R}, задовольняє також умову f(x1+x2+⋯+xnn)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)nf\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} для всіх x1,x2,…,xn∈Rx_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbf{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-009

Симетрія рекурентно заданих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Задано послідовність ε1,…,εn−1\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}, де εi=0\varepsilon_{i}=0 або εi=1\varepsilon_{i}=1 для кожного i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1; послідовності a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} і b0,…,bnb_{0}, \ldots, b_{n} будуються за такими правилами: a0=b0=1,a1=b1=7ai+1={2ai−1+3ai, якщо εi=0,3ai−1+ai, якщо εi=1, для кожного i=1,…,n−1,bi+1={2bi−1+3bi, якщо εn−i=0,3bi−1+bi, якщо εn−i=1, для кожного i=1,…,n−1\begin{gathered} a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\ a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=0, \\ 3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=1, \end{array}\right. \quad \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1, \\ b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=0, \\ 3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=1, \end{array}\right. \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1 \end{gathered} Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-013

Функція розбиття і подвоєння цифр

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 обчислюємо ціле число h(n)h(n), застосовуючи таку процедуру до його десяткового запису. Нехай rr — найправіша цифра числа nn. (1) Якщо r=0r=0, то десятковий запис числа h(n)h(n) одержується з десяткового запису числа nn вилученням цієї найправішої цифри 00. (2) Якщо 1≤r≤91 \leq r \leq 9, розбиваємо десятковий запис числа nn на максимальну праву частину RR, що складається лише з цифр, не менших за rr, і на ліву частину LL, яка або порожня, або закінчується цифрою, строго меншою за rr. Тоді десятковий запис числа h(n)h(n) складається з десяткового запису LL, за яким ідуть дві копії десяткового запису R−1R-1. Наприклад, для числа n=17,151,345,543n=17,151,345,543 матимемо L=17,151L=17,151, R=345,543R=345,543 і h(n)=17,151,345,542,345,542h(n)=17,151,345,542,345,542. Доведіть, що, починаючи з довільного цілого n≥2n \geq 2, ітероване застосування hh дає ціле число 11 за скінченну кількість кроків.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-012

Послідовність з умовою зростання НСД

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел така, що найбільший спільний дільник будь-яких двох сусідніх членів більший за попередній член; символічно НСД(ai,ai+1)>ai−1\text{НСД}\left(a_{i}, a_{i+1}\right)>a_{i-1}. Доведіть, що an≥2na_{n} \geq 2^{n} для всіх n≥0n \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-001

Рекурсивно задана функція на кратних 3

Для цілого mm позначимо через t(m)t(m) єдине число з {1,2,3}\{1,2,3\} таке, що m+t(m)m+t(m) кратне 33. Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=−1f(1)=-1 і f(2n+m)=f(2n−t(m))−f(m) для всіх цілих m,n≥0 при 2n>m.f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ для всіх цілих } m, n \geq 0 \text{ при } 2^{n}>m. Доведіть, що f(3p)≥0f(3p) \geq 0 виконується для всіх цілих p≥0p \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-013

Біноміальні коефіцієнти за модулем степеня двійки

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що числа (2n−10),(2n−11),(2n−12),…,(2n−12n−1−1)\binom{2^{n}-1}{0}, \quad\binom{2^{n}-1}{1}, \quad\binom{2^{n}-1}{2}, \quad \ldots, \quad\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1} конгруентні за модулем 2n2^{n} числам 1,3,5,…,2n−11,3,5, \ldots, 2^{n}-1 у деякому порядку.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-006

Червоні точки перетину прямих

Нехай kk і nn — цілі числа, для яких 0≤k≤n−20 \leq k \leq n-2. Розглянемо множину LL з nn прямих на площині таких, що жодні дві з них не є паралельними і жодні три не мають спільної точки. Позначимо через II множину точок перетину прямих з LL. Нехай OO — точка площини, яка не лежить на жодній прямій з LL. Точку X∈IX \in I пофарбовано в червоний колір, якщо відкритий відрізок OXO X перетинає не більше ніж kk прямих з LL. Доведіть, що II містить принаймні 12(k+1)(k+2)\frac{1}{2}(k+1)(k+2) червоних точок.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2008-001

Мінімальна кількість домінуючих пар на колі

Нехай n≥3n \geq 3 людей з різними іменами сидять навколо круглого столу. Назвемо довільну невпорядковану пару з них, скажімо MM і NN, домінуючою, якщо (i) MM і NN сидять не на сусідніх місцях, і (ii) на одній (або обох) з дуг, що з’єднують MM і NN вздовж краю столу, всі люди мають імена, які йдуть за алфавітом після імен MM і NN. Визначте мінімальну кількість домінуючих пар.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Балтійський шляхBW-2006-003

Подання многочлена у вигляді суми кубів

Доведіть, що для кожного многочлена P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами існують натуральне число mm і многочлени P1(x),P2(x),…,Pm(x)P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots, P_{m}(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)=(P1(x))3+(P2(x))3+⋯+(Pm(x))3.P(x)=\left(P_{1}(x)\right)^{3}+\left(P_{2}(x)\right)^{3}+\cdots+\left(P_{m}(x)\right)^{3} .
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-002

Найбільше рівнобедрених трикутників з добрими сторонами в 2006-кутнику

Діагональ правильного 2006-кутника PP називається добрим відрізком, якщо її кінці поділяють межу PP на дві частини, кожна з яких містить непарну кількість сторін. Сторони PP також вважаються добрими відрізками. Нехай PP розбивається на трикутники 2003 діагоналями, жодні дві з яких не мають спільних точок усередині PP. Яку найбільшу кількість рівнобедрених трикутників, кожен з яких має дві добрі сторони, може містити таке розбиття?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-002

Рекурентно задана додатна послідовність

Послідовність дійсних чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots визначено рекурентно так: a0=−1,∑k=0nan−kk+1=0 при n≥1a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text{ при } \quad n \geq 1 Доведіть, що an>0a_{n}>0 при n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.