Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

503 задачі
Теорія чиселОсновні функції теорії чисел
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-005

Дільники суми послідовних простих чисел

Нехай p≥5p \geq 5 — просте число, нехай qq — найменше просте число таке, що q>pq>p, і нехай nn — кількість додатних дільників числа p+qp+q (1 і p+qp+q включно). a) Доведіть, що незалежно від того, яке просте число pp обрано, число nn більше або дорівнює 4. b) Знайдіть найменше можливе значення mm, якого nn може набувати при всіх можливих виборах pp. Тобто: b1b_{1}) Наведіть приклад простого числа pp, для якого досягається значення mm. b2b_{2}) Доведіть, що не існує простого числа pp, для якого значення nn менше за mm.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-018

Сума з функцією Ейлера

Нехай a0,a1,…,ada_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d} — цілі числа такі, що НСД(a0,a1)=1\text{НСД}(a_{0}, a_{1})=1. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо un=∑k=0dakφ(n+k)u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k) Доведіть, що 1 — єдине натуральне число, яке ділить усі цілі числа unu_{n}. Нагадаємо, що φ(n+k)\varphi(n+k) — це кількість натуральних чисел ℓ<n+k\ell<n+k таких, що НСД(ℓ,n+k)=1\text{НСД}(\ell, n+k)=1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-010

Періодичні функції з модульним функціональним рівнянням

Нехай p=2017p=2017 — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — цілі числа за модулем pp. Функція f:Z→Fpf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p називається хорошою, якщо існує α∈Fp\alpha \in \mathbb{F}_p, α≢0( mod p)\alpha \not \equiv 0 (\bmod p), таке, що f(x)f(y)=f(x+y)+αyf(x−y)( mod p)f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p) для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Скільки існує хороших функцій з найменшим періодом 20162016?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-070

Функція кількості дільників з непарним значенням

Для натурального числа nn нехай τ(n)\tau(n) — кількість натуральних дільників числа nn. Скільки існує цілих чисел 1≤n≤501 \leq n \leq 50 таких, що τ(τ(n))\tau(\tau(n)) є непарним?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-079

Рівність значень функції Ейлера при множенні на 2019

Для заданого натурального числа nn визначимо φ(n)\varphi(n) як кількість натуральних чисел, не більших за nn, які не мають з nn спільних простих дільників. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких φ(2019n)=φ(n2)\varphi(2019 n)=\varphi\left(n^{2}\right)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-089

Порядок за модулем і функція Ейлера

Для натуральних чисел aa і bb, таких, що aa взаємно просте з bb, визначимо ord⁡b(a)\operatorname{ord}_{b}(a) як найменше натуральне число kk таке, що b∣ak−1b \mid a^{k}-1, а φ(a)\varphi(a) — як кількість натуральних чисел, не більших за aa, які взаємно прості з aa. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ord⁡n(m)<φ(n)10\operatorname{ord}_{n}(m)<\frac{\varphi(n)}{10} для всіх натуральних чисел mm, взаємно простих з nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-003

Однакова кількість дільників кратних

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких існує натуральне число nn таке, що кількість дільників чисел nan a і nbn b однакова.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-028

Бієкції на кільці лишків з лінійними зсувами

Нехай Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел за модулем nn (отже, Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} має nn елементів). Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує бієктивна функція g:Z/nZ→Z/nZg: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, така, що 101 функція g(x), g(x)+x, g(x)+2x, …, g(x)+100xg(x),\ g(x) + x,\ g(x) + 2x,\ \dots,\ g(x) + 100x є бієкціями на Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-043

Функція з інваріантністю НСД

Нехай f:Z→{1,2,…,10100}f: \mathbb{Z} \rightarrow \{1, 2, \dots, 10^{100}\} — функція, що задовольняє рівність НСД(f(x),f(y))=НСД(f(x),x−y)\text{НСД}(f(x), f(y)) = \text{НСД}(f(x), x - y) для всіх цілих чисел xx і yy. Доведіть, що існують натуральні числа mm і nn такі, що f(x)=НСД(m+x,n)f(x) = \text{НСД}(m + x, n) для всіх цілих чисел xx.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-008

Числа з 4 дільниками і сумою дільників 42

Алессандра записує в зошит (Луїджі) всі натуральні числа nn, які мають обидві такі властивості: nn має рівно 4 додатні дільники (включно з 1 і самим nn), а сума додатних дільників числа nn дорівнює 42. Чому дорівнює сума всіх чисел, записаних Алессандрою? (A) 0 (B) 12 (C) 20 (D) 26 (E) 42
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-054

Розв’язки рівняння з оберненими числами в натуральних числах

a) Доведіть, що для будь-якого натурального числа aa, де a>1a>1, рівняння 1x+1y=1a\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} має принаймні три розв'язки вигляду (x,y)(x, y), де xx і yy — натуральні числа. Наприклад, для a=3a=3 пари (6,6),(4,12)(6,6),(4,12) і (12,4)(12,4) є розв'язками. b) Знайдіть кількість пар натуральних чисел (x,y)(x, y), які є розв'язками цього рівняння при a=2019a=2019. Підказка: Якщо розклад натурального числа nn на прості множники має вигляд p1α1⋅p2α2⋅…⋅pkαkp_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}, то воно має (α1+1)(α2+1)…(αk+1)\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right) додатних дільників.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-003

Кругове розташування просто-пов'язаних дільників

Два додатні цілі числа aa і bb є «просто-пов'язаними», якщо a=pba = p b або b=pab = p a для деякого простого числа pp. Знайдіть усі додатні цілі числа nn, такі, що nn має щонайменше три дільники, і всі дільники можуть бути розташовані без повторень по колу так, що будь-які два сусідні дільники є просто-пов'язаними. Зауважимо, що 11 і nn включені як дільники.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-044

Показник найменшого простого дільника досконалого числа

Ціле число nn називається досконалим, якщо сума його дільників дорівнює 2n2n. Нехай nn — досконале ціле число, а pp — його найменший простий дільник. Доведіть, що показник pp у розкладі nn на добуток степенів простих чисел є парним.
8–10 класиСума дільників σ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-038

Мультиплікативна функція на раціональних числах з обмеженням

Знайти всі можливі значення f(2018)f(2018), де ff — функція з Q\mathbb{Q} в R+\mathbb{R}_{+}, що задовольняє три такі умови: - f(2)=1/2f(2)=1 / 2; - для будь-якого раціонального xx, якщо f(x)⩽1f(x) \leqslant 1, то f(x+1)⩽1f(x+1) \leqslant 1; - f(xy)=f(x)f(y)f(x y)=f(x) f(y) для будь-яких раціональних xx і yy.
9–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-023

Факторіал як значення функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що n!=φ(m)n! = \varphi(m), де φ\varphi — функція Ейлера. (Нагадаємо, що якщо m=p1α1⋯pkαkm = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}} де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — попарно різні прості числа, то φ(m)=m(1−1p1)⋯(1−1pk)\varphi(m) = m \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_{k}}\right).)
9–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-011

Кількість дільників і розклад у суму

Для натурального числа mm позначимо через d(m)d(m) кількість додатних дільників числа mm (враховуючи 1 і mm). Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що nn має рівно kk різних простих дільників і що для будь-яких натуральних чисел a,ba, b, для яких n=a+bn=a+b, число d(n)d(n) не ділить d(a2+b2)d\left(a^{2}+b^{2}\right).
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-087

Утричі більше дільників після множення на 10

Для скількох натуральних чисел n≤100n \leq 100 виконується, що 10n10 n має рівно втричі більше додатних дільників, ніж nn?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-024

НСД квадратів і кубів

Нехай натуральне число nn називається кубічним квадратом, якщо існують натуральні числа a,ba, b такі, що n=НСД(a2,b3)n = \text{НСД}\left(a^{2}, b^{3}\right). Знайдіть кількість кубічних квадратів від 1 до 100 включно.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2018-044

Прості многочлени з подільними значеннями

Простим многочленом назвемо многочлен P(x)P(x), коефіцієнти якого належать множині {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Нехай nn — натуральне число, n>1n > 1. Знайдіть найменшу можливу кількість ненульових коефіцієнтів у простому многочлені nn-го степеня, значення якого при всіх цілих аргументах діляться на nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2018-025

Парність суми біноміальних коефіцієнтів за модулем два

Знайти всі натуральні числа n≥2n \geq 2 такі, що для всіх цілих чисел 0≤i,j≤n0 \leq i, j \leq n: i+j≡(ni)+(nj)( mod 2)i+j \equiv \binom{n}{i}+\binom{n}{j} \quad(\bmod 2)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-031

Симетрія десяткового періоду простих чисел

а) Нехай pp — просте число, яке ділить 10n+110^{n}+1 для деякого цілого додатного nn. Наприклад, p=7p=7 ділить 103+110^{3}+1. Аналізуючи головний період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p}, доведіть, що кількість появ цифри ii дорівнює кількості появ цифри 9−i9-i для кожного i∈{0,1,2,…,9}i \in\{0,1,2, \ldots, 9\}. б) Розглянемо просте число pp, яке не ділить 10, і припустимо, що період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p} дорівнює 2k2k. Чи завжди можна розбити період на два числа, які в сумі дають 10k−110^{k}-1? Наприклад, період числа 17\frac{1}{7} має довжину 6=2k6=2k, оскільки дорівнює 142857. Зауважимо, що 142+857=999=103−1=10k−1142+857=999=10^{3}-1=10^{k}-1. в) Нехай x=11998+119998+1199998+…x=\frac{1}{1998}+\frac{1}{19998}+\frac{1}{199998}+\ldots Якщо записати 2x2x у вигляді десяткового числа, якою буде 5959-та цифра після коми?
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-003

Добуток дільників дорівнює 10⁹

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що якщо перемножити всі дільники числа nn, то отримаємо 10910^{9}. Доведіть, що знайдені вами числа nn справді підходять і що інших таких чисел немає. (Примітка: натуральне число nn — це додатне ціле число, тобто nn — одне з чисел 1, 2, 3, …. Дільник числа nn — це натуральне число, яке ділить nn без остачі. Наприклад, 5 є дільником числа 30, бо 30÷5=630 \div 5=6; але 5 не є дільником числа 47, бо 47÷5=947 \div 5=9 з остачею 2. У цій задачі ми розглядаємо лише додатні цілі числа nn і додатні цілі дільники числа nn. Так, наприклад, перемноживши всі дільники числа 6, отримаємо 36.)
6–8 класиКількість дільників τ(n)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-002

Подвійна ітерація функції як кількість дільників

Нехай ff — функція з множини натуральних чисел у себе така, що для кожного nn кількість додатних цілих дільників числа nn дорівнює f(f(n))f(f(n)). Наприклад, f(f(6))=4f(f(6)) = 4 і f(f(25))=3f(f(25)) = 3. Доведіть, що якщо pp — просте число, то f(p)f(p) також просте.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-009

Числа з однаковою кількістю дільників

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існує натуральне число aa таке, що обидва числа aa і a+735a+735 мають рівно nn додатних дільників.
11 класКількість дільників τ(n)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-004

Дільники в магічному квадраті

Чи існує натуральне число nn, яке має рівно 9 додатних дільників і всі дільники якого можна розмістити в таблиці 3 на 3 так, щоб добутки 3 чисел у кожному рядку, кожному стовпці та на кожній діагоналі були однаковими?
8–10 класиКількість дільників τ(n)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.