Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

480 задач
КомбінаторикаПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1991-010

Інваріантність кольору при перенумерації вершин

Вершини опуклого 1991-кутника занумеровано цілими числами від 11 до 19911991. Кожну сторону й діагональ 19911991-кутника пофарбовано або в червоний, або в синій колір. Доведіть, що для довільної перенумерації вершин можна знайти цілі числа kk і ll такі, що відрізок, який сполучає вершини з номерами kk і ll до перенумерації, має той самий колір, що й відрізок між вершинами з цими номерами після перенумерації.
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1990-016

Ґраткова ламана з непарними ланками

На папері в клітинку намальовано замкнену ламану так, що її ланки лежать на лініях паперу (сторони квадратиків дорівнюють 11). Довжини всіх ланок — непарні числа. Доведіть, що кількість ланок ділиться на 44.
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-070

Розбиття пронумерованих кульок на групи із сусідами

У Бена є 16 кульок з номерами 11, 22, 33, …\ldots, 1616, а також 4 нерозрізнені коробки. Дві кульки є сусідами, якщо їхні номери відрізняються на 11. Обчисліть кількість способів розкласти по 4 кульки в кожну коробку так, щоб кожна кулька була в одній коробці принаймні з одним зі своїх сусідів. (Порядок, у якому кульки кладуть, не має значення.)
10–11 класиКомбінації
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-001

Парування центрів клітинок на відстані 2

Знайдіть усі пари натуральних чисел mm і nn таких, що центри одиничних квадратів у сітці mm на nn з одиничних квадратів можна розбити на пари так, щоб відстань між центрами кожної пари дорівнювала рівно 22. (Одиничний квадрат має довжину сторони 11.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2024-001

Перемикання пентоміно на дошці n×n

Маємо дошку розміром n×nn \times n, де n≥3n \ge 3, кожне поле якої можна розфарбувати в білий або чорний колір окремо. Кожним ходом ми змінюємо колір п'яти обраних полів, що утворюють наступну фігуру пентоміно (її дозволено повертати). На початку всі поля білі. Визначте, для яких nn можливо зробити всі поля чорними за скінченну кількість ходів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-035

Парність кількості збалансованих пострілів

Нехай nn — натуральне число. Жозеф може випустити 2n+12n+1 стріл. Кожен його постріл — це промах або влучання. Постріл називається «збалансованим», якщо кількість промахів до цього пострілу плюс кількість влучань після цього пострілу дорівнює nn. Визначити, чи кількість збалансованих пострілів парна, чи непарна.
8–10 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-002

Замощення доміно з непересічним розрізом

Визначте найбільше парне ціле число nn, що має таку властивість: незалежно від способу замощення сітки n×nn \times n доміно, існує лінія, яка розрізає дошку на дві непорожні частини і не перетинає жодного доміно.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-138

Двоколірне розфарбування дошки з випадковими діагоналями

У кожній клітинці клітинної дошки 4×44 \times 4 одну з двох діагоналей проведено навмання рівномірно. Обчисліть імовірність того, що отримані 32 трикутні області можна пофарбувати в червоний і синій кольори так, щоб будь-які дві області зі спільним ребром мали різні кольори.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-046

Різні абсциси вершин правильного десятикутника

Нехай P\mathcal{P} — правильний десятикутник у координатній площині. Марк підраховує кількість різних координат xx, які мають вершини десятикутника P\mathcal{P}. Для всіх можливих розміщень десятикутника P\mathcal{P} на площині обчисліть суму всіх можливих відповідей, які міг отримати Марк.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-021

Парність розміру симетричної різниці інтервалів

Числа 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 кладуть у капелюх. Клер витягає з капелюха два числа навмання рівноймовірно, a<ba < b, а потім повертає їх у капелюх. Потім Вільям витягає з капелюха два числа навмання рівноймовірно, c<dc < d. Нехай NN — кількість цілих чисел nn, які задовольняють рівно одну з умов a≤n≤ba \leq n \leq b та c≤n≤dc \leq n \leq d. Обчисліть ймовірність того, що NN парне.
10–11 класиПарність і непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-004

Гра на суму діагоналей X-діаграми

Ара та Беа грають у гру, де по черзі поміщають числа від 11 до 55 у клітинки XX-подібної діаграми праворуч. Кожне число має бути використане рівно один раз, і в одній клітинці не може бути більше одного числа. Мета Ари полягає в тому, щоб дві діагоналі XX-діаграми мали однакову суму після закінчення гри; мета Беа полягає в тому, щоб ці дві суми були нерівними. a) Покажіть, що Ара завжди може виграти, якщо він ходить першим. b) Покажіть, що Беа завжди може виграти, якщо вона ходить першою.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2023-034

Інцидентна структура проєктивної площини

Токійське метро — одне з найефективніших у світі. Існує деяке непарне натуральне число kk таке, що кожна лінія метро проходить рівно через kk станцій, а кожна станція обслуговується рівно kk лініями метро. З будь-якої станції до будь-якої іншої можна дістатися лише однією лінією метро — але це сполучення єдине. Ба більше, будь-які дві лінії метро мають рівно одну спільну станцію. Давид планує екскурсію для команди IMO і хоче відвідати множину SS з kk станцій. Він зауважує, що жодні три станції з SS не лежать на спільній лінії метро. Доведіть, що існує деяка станція не з SS, яка сполучена з кожною станцією з SS іншою лінією метро.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-030

Перевертання суміжних монет до всіх аверсів

Банк Піттсбурга випускає монети, які мають аверс і реверс. У Віри є ряд з 20232023 таких монет, розташованих по черзі реверсом догори та аверсом догори, причому крайня ліва монета лежить реверсом догори. За хід Віра може перевернути одну з монет у ряду, дотримуючись таких правил: Першим ходом Віра може перевернути будь-яку з 20232023 монет. Усіма наступними ходами Віра може перевертати лише монету, суміжну з монетою, яку вона перевернула попереднім ходом. (Ми не вважаємо монету суміжною самій собі.) Визначте найменшу можливу кількість ходів, які Віра може зробити, щоб досягти стану, коли всі монети лежать аверсом догори.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-023

Найбільша сума коротких дугових стрибків по колу

На круговій доріжці γ\gamma довжиною 2022 розташовано 2022 рівновіддалені точки. Точки позначено A1,A2,…,A2022A_1, A_2, \dots, A_{2022} у деякому порядку, кожну мітку використано один раз. Спочатку зайченя Банбан перебуває в A1A_1. Воно стрибає вздовж кола γ\gamma з A1A_1 до A2A_2, потім з A2A_2 до A3A_3, доки не досягне A2022A_{2022}, після чого стрибає назад до A1A_1. Стрибаючи з PP до QQ, воно завжди стрибає вздовж коротшої з двох дуг PQ⌢\overarc{PQ} кола γ\gamma; якщо PQ⌢\overarc{PQ} є діаметром кола γ\gamma, воно рухається вздовж будь-якого з півкіл. Визначте найбільшу можливу суму довжин 2022 дуг, які подолало зайченя Банбан, за всіма можливими позначеннями 2022 точок.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-008

Максимальна краса розмітки графа

Розглянемо фігуру, що складається з 15 кіл і 20 відрізків, як показано нижче. Кожне коло позначено числом 0, 1 або 2, і ми визначаємо красу розмітки як кількість відрізків, кінці яких позначено числами, що відрізняються на 1. Нехай MM — найбільша можлива краса, якої можна досягти за допомогою будь-якої розмітки. Скільки існує розміток, що досягають краси MM? Зауважимо, що ми розрізняємо розмітки, які можна отримати одна з одної поворотами чи відбиттями.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-014

Коло дільників з простими відношеннями

Кажуть, що два цілі числа a,b∈N⋆a, b \in \mathbb{N}^{\star} пов'язані, якщо існує просте число pp таке, що a=pba = p b або b=pab = p a. Знайти всі цілі числа n⩾1n \geqslant 1, які мають таку властивість: можна записати всі додатні дільники числа nn (1 і nn включно) рівно по одному разу по колу так, щоб кожен дільник був пов'язаний з кожним зі своїх двох сусідів?
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2022-012

Визначення пар лампа–вимикач

До стелі кімнати підвішено 15 ламп, пронумерованих від 1 до 15. Спочатку всі лампи вимкнені. В іншій кімнаті є 15 вимикачів: вимикач для ламп 1 і 2, вимикач для ламп 2 і 3, вимикач для ламп 3 і 4, і так далі, аж до вимикача для ламп 15 і 1. Якщо перемкнути вимикач такої пари ламп, кожна з цих двох ламп змінює свій стан (з увімкненої на вимкнену або навпаки). Вимикачі висять у довільному порядку й виглядають усі однаково. Раймонд хоче з'ясувати, який вимикач відповідає якій парі ламп. З кімнати з вимикачами ламп він не бачить. Він може перемкнути кілька вимикачів, а потім піти до іншої кімнати, щоб подивитися, які лампи увімкнені. Це він може робити кілька разів. Скільки разів йому потрібно щонайменше сходити до іншої кімнати, щоб про кожен вимикач точно знати, якій парі ламп він відповідає?
10–11 класиСистеми числення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-020

Можливі кількості при розгалуженому розмноженні

π\piхи — це тварини, які живуть у сім'ях з 1, 2 або 3 особин. Спочатку до Італії було завезено одну сім'ю з 3π3 \piхів. Сім'я з nπn \piхів розмножується, збільшуючись на 2n−22n-2 нових особин, утворюючи загалом 3n−23n-2, і поділяючись на нові сім'ї (при цьому не обов'язково дві сім'ї з однаковою кількістю особин діляться однаково). Усі сім'ї розмножуються одночасно в кожному виводку. Наприклад, після першого виводка обов'язково є сім π\piхів, які можуть бути поділені на три сім'ї по дві особини й одну з однієї, або на одну з трьох і дві по дві, або на сім по одній тощо. Скільки існує можливостей для загальної кількості π\piхів після сьомого виводка? (A) 129 (B) 253 (C) 272^{7} (D) 27+37+12\frac{2^{7}+3^{7}+1}{2} (E) 373^{7}
10–11 класиМетод математичної індукції
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-015

Монохроматичність розфарбування сітки

Нік має 16 квадратних карток, білих з одного боку і чорних з іншого. Він викладає картки так, щоб утворився квадрат 4×44 \times 4. Деякі картки показують білий бік, а деякі — чорний. Для кольорового візерунка він обчислює монохроматичність так. Для кожної пари сусідніх карток, що мають спільну сторону, він нараховує +1+1 або −1-1 за таким правилом: +1+1, якщо сусідні картки показують однаковий колір, і −1-1, якщо сусідні картки показують різні кольори. Додавши все разом, отримуємо монохроматичність (яка може бути від’ємною). Наприклад, якщо він викладе картки як нижче, то є 15 пар сусідніх карток, що показують однаковий колір, і 9 таких пар, що показують різні кольори. Отже, монохроматичність цього візерунка дорівнює 15⋅(+1)+9⋅(−1)=615 \cdot (+1) + 9 \cdot (-1) = 6. Нік розглядає всі можливі кольорові візерунки і складає список усіх можливих чисел, які хоча б раз трапляються як значення монохроматичності. Тобто Нік складає список з усіх чисел, для яких існує кольоровий візерунок, що має це число як свою монохроматичність. a. Які три найбільші числа в його списку? (Поясніть свою відповідь. Якщо ваша відповідь, наприклад, 12, 9 і 6, то ви маєте показати, що ці числа справді є в списку, навівши розфарбування для кожного з цих чисел, а також довести, що числа 7, 8, 10, 11 та всі числа, більші за 12, не трапляються.) b. Які три найменші (найбільш від’ємні) числа в його списку? c. Яке найменше додатне число (тобто більше за 0) в його списку?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-027

Гра на парність із ходами сумою та добутком

Пол і Сара грають у гру з цілими числами на дошці, першим ходить Пол. Коли черга Пола, він може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхнім добутком; коли черга Сари, вона може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхньою сумою. Гра триває, доки на дошці не залишиться рівно одне ціле число. Пол перемагає, якщо це число непарне, а Сара перемагає, якщо воно парне. Спочатку на дошці є 2021 ціле число, кожне з яких вибрано рівномірно випадково з множини {0,1,2,3,…,2021}\{0,1,2,3, \ldots, 2021\}. За умови, що обидва гравці грають оптимально, ймовірність того, що Пол переможе, дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть остачу від ділення m+nm+n на 1000.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-036

Маркування вершин куба з обмеженнями на відстань

Обчисліть кількість маркувань f:{0,1}3→{0,1,…,7}f:\{0,1\}^{3} \rightarrow \{0,1, \ldots, 7\} вершин одиничного куба таких, що ∣f(vi)−f(vj)∣≥d(vi,vj)2\left|f\left(v_{i}\right)-f\left(v_{j}\right)\right| \geq d\left(v_{i}, v_{j}\right)^{2} для всіх вершин vi,vjv_{i}, v_{j} одиничного куба, де d(vi,vj)d\left(v_{i}, v_{j}\right) позначає евклідову відстань між viv_{i} і vjv_{j}.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-007

Гра з розміщенням пішаків на дошці

Прікл і Стінг грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому першим ходить Прікл. Прікл своїм ходом повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає. Стінг своїм ходом також повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає, але додатково його пішак повинен стояти на клітинці, сусідній до клітинки, на яку Прікл поставив свого пішака попереднім ходом. Стінг виграє, щойно вся дошка буде повністю заповнена пішаками. Прікл виграє, якщо Стінг не може поставити пішака своїм ходом, тоді як на дошці залишається принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, хто з Прікла та Стінга має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2021-011

Виграшна стратегія гри на прямокутній дошці

Стекел і Прік грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому починає Стекел. Своїм ходом Стекел ставить пішака на клітинку, де ще немає пішака. Прік своїм ходом робить те саме, але його пішак завжди має потрапляти на клітинку, що спільною стороною межує з клітинкою, куди Стекел щойно поставив пішака своїм попереднім ходом. Прік перемагає, якщо вся дошка заповниться пішаками. Стекел перемагає, якщо Прік своїм ходом уже не може поставити пішака, хоча на дошці ще є принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n), хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-003

Чи можна монетами набрати 2020 рівно 2020 способами

Гаманець містить скінченну кількість монет, а номінали всіх монет — різні натуральні числа. Чи можливо, що існує рівно 2020 способів використати монети з гаманця, щоб набрати суму 2020?
10–11 класиКомбінації
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-015

Обміни кольорів через одну точку

На горизонтальній прямій фарбують 2k2k точок у червоний колір, а праворуч від них — 2k2k точок у синій колір. На кожному ході вибирають дві точки різного кольору так, щоб між ними була рівно одна забарвлена точка, і міняють місцями кольори вибраних точок. Скільки різних конфігурацій можна отримати за допомогою цих ходів?
11 класПарність і непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.