Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

689 задач
КомбінаторикаПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-006

Усі n, для яких кожен многочлен є n-гарним

Нехай nn — натуральне число. Ми скажемо, що поліном PP із цілими коефіцієнтами є nn-гарним, якщо існує такий многочлен QQ із цілими коефіцієнтами степеня 22, що для кожного цілого числа kk число Q(k)(P(k)+Q(k))Q(k)(P(k)+Q(k)) не ділиться націло на nn. Знайдіть усі такі натуральні числа nn, для яких кожен многочлен із цілими коефіцієнтами є nn-гарним поліномом.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-011

Гарні функції та рівність f(a, a) = a

Дано натуральне число nn, нехай S={1,2,…,n}S=\{1, 2, \ldots, n\}. Назвемо функцію f(x,y) ⁣:S×S→Sf(x, y)\colon S\times S\to S, що відображає два цілих числа від 11 до nn в число від 11 до nn, гарною, якщо: f(a,b)=f(b,a) ∀a,b∈S;f(a, b)=f(b, a)\ \forall a, b\in S; f(a,f(a,b))=b ∀a,b∈S.f(a, f(a, b))=b\ \forall a, b\in S. При яких nn для кожної гарної функції ff знайдеться таке a∈Sa\in S, що f(a,a)=af(a, a)=a?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-004

Дівчата і хлопці по колу та сусіди-дівчата

Нехай nn і kk — два натуральних числа, n>k⩾1n > k \geqslant 1. По колу стоїть 2n+12n + 1 студент. У кожного зі студентів є 2k2k сусідів — kk найближчих студентів праворуч від нього та kk найближчих студентів ліворуч від нього. Нехай серед студентів є n+1n + 1 дівчина та nn хлопців. Доведіть, що є дівчина, у якої серед сусідів є принаймні kk дівчат.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-003

Мінімальні блокувальні множини для жаби на дошці 3m × 3m

Розглянемо дошку розміром 3m×3m3m \times 3m, де mm є натуральним числом, більшим за 11. Жаба, що сидить у лівому нижньому кутку (позначимо його літерою SS), хоче дістатися правого верхнього кутка (який ми позначимо літерою FF). За один стрибок жаба може пересунутися в сусідню клітинку праворуч або зверху. Деякі клітинки дошки можуть бути липкі, і якщо жаба стрибне на одну з таких клітинок, то вона там й застрягне. Множину XX клітинок назвемо блокувальною, якщо жаба не може дістатися клітинки FF, починаючи з клітинки SS, та якщо всі клітинки XX є липкими. Блокувальну множину клітинок уважатимемо мінімальною, якщо будь-яка її підмножина не є блокувальною. а) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, у якій кількість клітинок не менша від 3m2−3m3m^2 - 3m. б) Доведіть, що кількість клітинок у будь-якій блокувальній множині не більша за 3m23m^2.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-002

Відрізки замкненої ламаної на межі прямокутника 20 на 19

Дано клітчастий прямокутник розміром 20×1920 \times 19. По межах клітинок цього прямокутника намалювали якусь замкнену ламану без самоперетинів. Далі в кожній із 380380 клітинок прямокутника записали одне число — кількість сторін цієї клітинки, що належать намальованій ламаній. Так сталося, що виписали однакову кількість чисел 00, 11, 22 і 33. Доведіть, що на межі цього прямокутника 20×1920 \times 19 є принаймні два одиничних відрізки, що належать ламаній.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-017

Пари m, n і розфарбування дошки з непарними сусідами

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), для яких клітчасту дошку розміром m×nm \times n можна розфарбувати в чорний і білий кольори таким чином, щоб для довільної одиничної клітинки дошки кількість сусідніх з нею клітинок, які пофарбовані в такий самий колір, була непарною. Примітка. Дві клітинки називають сусідніми, якщо вони різні та мають хоча б одну спільну вершину.
7–9 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-002

Тури на трикутниках шестикутника і шахове розфарбування

Правильний шестикутник розрізано прямими на 6n26n^2 правильних трикутників (рис. 5.1). У трикутниках розставлено 2n2n тур, ніякі дві з них не б'ють одна одну. Доведіть, що в разі шахового розфарбування всіх 6n26n^2 правильних трикутників кількість тур, які стоять на чорних трикутниках, дорівнюватиме кількості тур, що стоять на білих трикутниках. Примітка. Тура б'є в напрямках, що паралельні сторонам шестикутника.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-004

Жуки в пронумерованих коробках, що повзуть праворуч

Дано натуральне число nn. Ганна виставила в ряд (n+1)(n + 1) коробку та, пронумерувавши коробки зліва направо числами 0,1,2,…,n0, 1, 2, \ldots, n, помістила в нульову коробку nn жуків. Ці жуки почали переповзати по коробках. За одну хвилину рівно один із kk жуків, які містилися в коробці, переповзає в не більше ніж kk коробок праворуч. Через деякий час усі жуки опинилися в коробці з номером nn. Доведіть, що минуло не менше ніж [n1]+[n2]+…+[nn]\left[\dfrac{n}{1}\right] + \left[\dfrac{n}{2}\right] + \ldots + \left[\dfrac{n}{n}\right] хвилин від початку до цього моменту.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-007

Два учасники, що разом розв’язали всі задачі

На тестуванні mm учасникам було запропоновано nn задач, при цьому m>1m > 1, n>1n > 1. За кожну задачу кожен учасник одержав результат — «розв’язав» або «не розв’язав». Відомо, що кожну задачу розв’язали принаймні kk учасників. Доведіть, що знайдуться два учасники таких, що кожну задачу розв’язав принаймні один із них, якщо виконується умова km−12+1n⩾1.\frac{k}{m-\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geqslant 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-004

Максимальна кількість прямокутних трикутників з вершинами в n точках

Нехай f(n)f(n) позначає максимальну кількість прямокутних трикутників з вершинами в nn точках. Доведіть, що f(n)⩽n2nf(n) \leqslant n^2 \sqrt{n}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-017

Дошка m × n з непарною кількістю одноколірних сусідів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), для яких клітчасту дошку розміром m×nm \times n можна розфарбувати в чорний і білий кольори так, що для довільної клітинки дошки кількість сусідніх з нею клітинок, пофарбованих у такий самий колір, непарна. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають хоча б одну спільну вершину.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-004

Клітинка з трьома синіми ребрами решітки n × n

Нехай nn — непарне натуральне число. Розглянемо квадратну решітку розміром n×nn \times n, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків і 2n(n+1)2n(n + 1) ребер. Усі ребра пофарбовано в червоний або блакитний колір так, що кількість червоних ребер не перевищує n2n^2. Доведіть, що існує клітинка, яка має не менше ніж три синіх ребра.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-002

Рядок або стовпчик з 10 кольорами на дошці

Клітинки квадратної дошки розміром 100×100100 \times 100 розфарбовано у 100100 різних кольорів. Кожну клітинку пофарбовано рівно одним кольором, і кожен колір використано рівно 100100 разів. Доведіть, що існує рядок або стовпчик, у якому наявні не менше ніж 1010 кольорів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-007

25 людей і спільна мова з десятьма

Є 25 людей, кожні двоє з яких спілкуються деякою мовою. Причому будь-які двоє людей спілкуються між собою тільки однією мовою, навіть якщо вони знають і інші спільні мови. Відомо, що серед будь-яких трьох людей знайдеться принаймні одна людина, яка спілкується з двома іншими з цих трьох однією й тією ж самою мовою. Доведіть, що знайдеться людина, яка спілкується однією й тією ж самою мовою з деякими 10 іншими людьми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-007

Вартість задач і підсумкові оцінки учасників олімпіади

У олімпіаді з математики взяли участь 30 учнів. Їм було запропоновано 8 задач. Спочатку журі перевірило роботи учасників, виставивши по кожній задачі оцінку “розв'язано” чи “не розв'язано”. Потім для кожної задачі було визначено її вартість — натуральне число, що дорівнює кількості учасників, які її не розв'язали. Сума вартостей усіх задач, розв'язаних тим чи іншим учнем, склала його підсумкову оцінку. З'ясувалося, що Петрик П'яточкін одержав оцінку, нижчу за всіх інших. Яку найбільшу оцінку він міг одержати?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-003

Найбільше та найменше значення суми дискваліфікацій у турнірі

У футбольному турнірі TT беруть участь nn команд. Турнір відбувається в одне коло. За перемогу нараховується 3 очки, за нічию — 1 очко, за поразку — 0 очок. Після турніру деякі команди можуть бути дискваліфіковані; тоді результати всіх матчів за їх участю анулюються. Після цього результати команд, що залишилися, перераховуються, а новий переможець визначається як команда, котра набрала найбільшу кількість очок серед команд, що залишилися (якщо лише одна команда залишилася недискваліфікованою, то вона й визнається переможцем). Нехай fi(T)f_i(T) (i=1,2,…,n)(i = 1, 2, \ldots, n) — найменша кількість команд, які можуть бути дискваліфікованими в турнірі TT так, щоб команда з номером ii стала переможцем. Позначимо суму f1(T)+f2(T)+…+fn(T)f_1(T) + f_2(T) + \ldots + f_n(T) через F(T)F(T). Для будь-якого n≥5n \ge 5 знайдіть найбільше та найменше значення величини F(T)F(T).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-009

Чотири мови конференції та спільна мова учасників

На міжнародній конференції офіційними є чотири мови. Будь-які двоє учасники можуть спілкуватися принаймні однією з цих мов. Доведіть, що не менше від 60% учасників можуть спілкуватися однією й тією ж самою мовою.
10–11 класиРозбиття на випадки
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-005

Перестановки з різними різницями та різниця крайніх чисел

Дано натуральне число nn. Розглядаються всілякі перестановки (a1,a2,…,a2n)\left(a_1, a_2, \ldots, a_{2n}\right) набору (1,2,…,2n)(1, 2, \ldots, 2n) такі, що всі числа ∣ai+1−ai∣\left|a_{i+1} - a_i\right|, 1≤i≤2n−11 \le i \le 2n - 1, різні. Доведіть, що a1−a2n=na_1 - a_{2n} = n тоді й тільки тоді, коли 1≤a2k≤n1 \le a_{2k} \le n, 1≤k≤n1 \le k \le n.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-003

Кількість ідеалів невід’ємних чисел для p і q

Нехай pp і qq — задані взаємно прості натуральні числа. Підмножина S⊂{0;1;2;…}S \subset \{0; 1; 2; \ldots\} називається ідеалом множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}, якщо 0∈S0 \in S та для будь-якого n∈Sn \in S числа n+pn + p та n+qn + q обидва належать SS. Для даних pp і qq знайдіть кількість ідеалів множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-006

Плитки з однією вільною клітинкою в рядках і стовпцях

Клітчаста дошка має розміри 2025×20252025 \times 2025. Настя розкладає на дошці прямокутні плитки, можливо різних розмірів, у такий спосіб, щоб сторони кожної плитки лежали на лініях дошки і кожна комірка 1×11 \times 1 була накрита щонайбільше однією плиткою. Знайдіть найменшу кількість плиток, які має покласти Настя, щоб у кожному рядку і кожному стовпчику непокритою залишилася рівно одна комірка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-006

Підсім'я попарно перетинних монохромних на блоках множин

Нехай kk і mm — цілі числа, більші за 11. Розглянемо kk попарно неперетинних множин S1,S2,…,SkS_1, S_2, \ldots, S_k, кожна з яких має рівно m+1m+1 елементів: один червоний і mm синіх. Нехай ff — сім'я всіх підмножин FF множини S1∪S2∪…∪SkS_1 \cup S_2 \cup \ldots \cup S_k, таких, що для кожного ii перетин F∩SiF \cap S_i є монохромним. Визначте найбільшу можливу кількість множин у підсім'ї g⊆fg \subseteq f, такій, що перетин будь-яких двох множин GG не є порожньою множиною. Примітка. Множина є монохромною, якщо всі її елементи мають один і той самий колір. Зокрема, порожня множина є монохромною.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-007

Максимальна сума балів за забіги

Нехай nn — натуральне число. Клас з nn учнів проводить nn забігів, у кожному з яких учні посідають місця без нічиїх. Учень може претендувати на рейтинг (a,b)(a, b) для натуральних чисел aa і bb, якщо він потрапляє до перших bb місць принаймні в aa забігах. Його підсумковий бал — це найбільше можливе значення a−ba-b серед усіх рейтингів, на які він може претендувати. Знайдіть найбільшу можливу суму всіх балів nn учнів.
10–11 класиПідрахунок двома способами4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-003

Перестановка з різницями сусідніх членів

Нехай a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — натуральні числа такі, що - a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — перестановка чисел 1,2,…,20231,2, \ldots, 2023, і - ∣a1−a2∣,∣a2−a3∣,…,∣a2022−a2023∣\left|a_{1}-a_{2}\right|,\left|a_{2}-a_{3}\right|, \ldots,\left|a_{2022}-a_{2023}\right| — перестановка чисел 1,2,…,20221,2, \ldots, 2022. Доведіть, що max⁡(a1,a2023)⩾507\max \left(a_{1}, a_{2023}\right) \geqslant 507.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-006

S-гарне слово з однаковою кількістю перестановок

Розглянемо 26 літер латинського алфавіту A,…,ZA, \ldots, Z. Словом назвемо будь-яку скінченну послідовність цих літер. Назвемо слово ss-гарним, якщо воно містить кожну з 26 літер цього алфавіту й кожна перестановка літер A,…,ZA, \ldots, Z трапляється в ньому як підпослідовність одну й ту саму кількість разів. Доведіть, що: а) гарне слово існує; б) будь-яке гарне слово містить принаймні 2022 літери. Примітка. Тут перестановка 26 літер π\pi трапляється як підпослідовність у слові s=s1s2s3…s = s_1 s_2 s_3 \ldots, якщо існують 26 таких індексів i1<i2<…<i26i_1 < i_2 < \ldots < i_{26}, що π=si1si2…si26\pi = s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_{26}}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-002

Парні підсистеми доріг та загальна кількість доріг у списку

У Дивокраї міста сполучені дорогами, причому коли між двома містами є пряма дорога, то між цими двома містами існує також маршрут, який не використовує цю дорогу. (Між будь-якими двома містами є не більше однієї прямої дороги.) Чирвова Королева наказала Пікам скласти список усіх «парних» підсистем системи доріг, тобто систем, утворених підмножинами множини доріг, у яких кожне місто сполучене з парною кількістю доріг (можливо, з жодною). Для кожної такої підсистеми вони мають перелічити її дороги. Якщо загалом у Дивокраї є nn доріг і у списку Пік є xx підсистем, то скільки доріг є у їхньому списку, якщо кожну дорогу рахувати стільки разів, скільки разів вона перелічена?
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.