Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-019

Трикутник зі сторонами, помноженими на степені

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для кожної трійки (a,b,c)(a, b, c) додатних дійсних чисел існує трійка (k,ℓ,m)(k, \ell, m) невід’ємних цілих чисел така, що ank,bnℓ,cnman^k, bn^\ell, cn^m є довжинами сторін (невиродженого) трикутника.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C, у якому ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-005

Трикутник з медіаною, що дорівнює стороні

Про трикутник з вершинами A,B,CA, B, C відомо, що AB=5AB = 5, BC=4BC = 4 і AC=AMAC = AM, де MM — середина сторони BCBC. Чому дорівнює довжина сторони ACAC? (A) 4 (B) 17\sqrt{17} (C) 323\sqrt{2} (D) 252\sqrt{5} (E) 21\sqrt{21}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-018

Дотик кіл і точки, симетричні інцентру

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка, симетрична II відносно сторони ABAB, а EE — точка, симетрична II відносно сторони ACAC. Доведіть, що описані кола трикутників BIDBID і CIECIE дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-021

Описані кола і перпендикулярні чевіани

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, нехай MM — середина сторони BCBC, а HH — основа висоти, проведеної з BB. Позначимо через QQ центр описаного кола трикутника ABMABM, а через XX — перетин висоти BHBH із серединним перпендикуляром до сторони BCBC. Доведіть, що такі два твердження рівносильні: (i) описане коло трикутника ACMACM, описане коло трикутника AXHAXH і пряма CQCQ проходять через одну точку; (ii) прямі BQBQ і CQCQ перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-010

Прямокутний трикутник, у якому HD перпендикулярна до BC: відношення сторін

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при BB. Нехай HH — основа висоти, проведеної з BB, а DD — перетин бісектриси кута при AA зі стороною BCBC. Припустімо, що відрізок HDHD перпендикулярний до BCBC. Чому дорівнює (ABBC)2\left(\frac{AB}{BC}\right)^2? (A) 52\frac{\sqrt{5}}{2} (B) 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} (C) 5\sqrt{5} (D) 5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2} (E) Такої конфігурації не існує.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-014

Мінімізація площі в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник з одиничною стороною, а PP — точка, розташована по інший бік від прямої ABAB, ніж точка CC, і така, що кут APB^\widehat{APB} дорівнює 60∘60^{\circ}. Припустимо, що бісектриса кута APB‾\overline{APB} перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках XX і YY відповідно. Яке найменше можливе значення площі трикутника AXYAXY? (A) 133\frac{1}{3 \sqrt{3}} (B) 123\frac{1}{2 \sqrt{3}} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 38\frac{\sqrt{3}}{8} (E) Жоден із попередніх.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-001

Проєкції у прямокутнику та вписані чотирикутники

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — довільна точка, відмінна від CC, на стороні DCDC. Нехай HH — проєкція EE на діагональ ACAC, а KK — проєкція CC на промінь AEAE. a. Доведіть, що KK лежить на колі, описаному навколо прямокутника ABCDABCD, і що чотирикутник CKEHCKEH є вписаним, тобто навколо нього можна описати коло. b. Доведіть, що CKB^+CKH^=90∘\widehat{CKB} + \widehat{CKH} = 90^\circ. c. Доведіть, що точки K,H,BK, H, B лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли ABCDABCD є квадратом.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-001

Рівнобедрений трикутник з основами перпендикулярів

Нехай PP — точка всередині рівнобедреного трикутника ABCABC, у якому AB=ACAB = AC, а D,E,FD, E, F — основи перпендикулярів, опущених з PP на сторони BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Якщо BD=9BD = 9, CD=5CD = 5, PE=2PE = 2, PF=5PF = 5, знайдіть довжину сторони ABAB.
10–11 класиОзнаки подібності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-012

Сума кутів у трикутнику з рівними відрізками

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно та задовольняють рівність BD=CEBD = CE. Точка PP лежить на відрізку DEDE, а точка QQ лежить на дузі BCBC, яка не містить AA, описаного кола трикутника ABCABC. Ці точки задовольняють рівність BP:PC=EQ:QDBP : PC = EQ : QD, причому точки A,B,C,D,E,P,QA, B, C, D, E, P, Q усі різні. Доведіть, що ∠BPC=∠BAC+∠EQD\angle BPC = \angle BAC + \angle EQD. Вище через XYXY позначено довжину відрізка XYXY.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-005

Ортоцентри трикутників, що збігаються

У трикутнику ABCABC нехай PP і QQ — точки на стороні BCBC, причому ортоцентр трикутника ACPACP і ортоцентр трикутника ABQABQ збігаються. Відомо, що AB=10AB = 10, AC=11AC = 11, BP=5BP = 5, CQ=6CQ = 6. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-008

Відношення у вписаному чотирикутнику з рівністю кутів

У трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно. Нехай DD, BB, CC, EE лежать на одному колі, а точка PP лежить всередині чотирикутника DBCEDBCE, причому ∠BDP=∠BPC=∠PEC\angle BDP = \angle BPC = \angle PEC. Обчисліть BPCP\frac{BP}{CP}, якщо AB=9AB = 9, AC=11AC = 11, DP=1DP = 1 і EP=3EP = 3.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-002

Чотирикутник з рівними сторонами та прямими кутами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB+BC=2021AB + BC = 2021 і AD=CDAD = CD. Відомо також, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ} Знайдіть довжину діагоналі BDBD.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-004

Бісектриса кута в трапеції перпендикулярна до бічної сторони

Нехай ABCDABCD — трапеція, така, що AB∥CDAB \parallel CD. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Припустімо, що AB=BEAB = BE і AC=DEAC = DE. Доведіть, що бісектриса кута BACBAC перпендикулярна до сторони ADAD.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-008

Кути у конструкції з дотичним колом

Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma. Нехай OO — центр кола, яке дотикається до хорди ABAB у точці CC і внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Точка CC лежить між AA і BB. Нехай описане коло трикутника POCPOC перетинає Γ\Gamma у різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠AQP=∠CQB\angle AQP = \angle CQB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-010

Паралельний відрізок у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=ACAB = AC. Точка DD лежить на стороні ACAC так, що BDBD — бісектриса ∠ABC\angle ABC. Точка EE лежить на стороні BCBC між BB і CC так, що BE=CDBE = CD. Доведіть, що пряма DEDE паралельна прямій ABAB.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-002

Два кола в рівнобедреному трикутнику ABC і чотирикутник PDXY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AB=ACAB = AC, а DD — точка на стороні BCBC. Коло з центром DD, що проходить через CC, перетинає описане коло трикутника ABDABD у точках PP і QQ, де QQ — точка, ближча до BB. Пряма BQBQ перетинає ADAD у точці XX, а ACAC — у точці YY. Доведіть, що PDXYPDXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-007

Проєкції та середина в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з BC>ACBC > AC. Серединний перпендикуляр до сторони ABAB перетинає пряму BCBC у точці XX і пряму ACAC у точці YY. Нехай PP — проєкція точки XX на пряму ACAC, а QQ — проєкція точки YY на пряму BCBC. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає відрізок ABAB у його середині.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-006

Рівнобедрений трикутник з обчисленням кутів

Нехай ABCABC — трикутник із AB=ACAB = AC і ∠BAC=20∘\angle BAC = 20^{\circ}. Нехай DD — точка на стороні ABAB така, що ∠BCD=70∘\angle BCD = 70^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні ACAC така, що ∠CBE=60∘\angle CBE = 60^{\circ}. Знайдіть величину кута ∠CDE\angle CDE.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-005

Згинання трикутників для рівномірної товщини

Розглянемо аркуш паперу у формі рівностороннього трикутника, зі згинами вздовж штрихових ліній, як на малюнку нижче ліворуч. Якщо загнути кожен із трьох кутів уздовж штрихових ліній, утвориться нова фігура рівномірної товщини у чотири шари, як на малюнку нижче праворуч. Число в кожній області позначає товщину цієї області (у шарах паперу). Ми щойно побачили один приклад того, як плоску фігуру можна скласти у фігуру з рівномірною товщиною. У цій задачі потрібно навести кілька інших прикладів. У кожному випадку можна згинати вздовж будь-яких ліній. Частини, що згинаються, можуть бути як рівними, так і нерівними. Припустімо, що папір можна згинати будь-яку кількість разів без розривів і без того, щоб він став занадто товстим для згинання. За потреби можна скористатися будь-яким із таких інструментів: - чарівною лінійкою, за допомогою якої можна провести пряму через будь-які дві задані точки, а також поділити будь-який відрізок на будь-яку кількість рівних частин; і - прямокутним косинцем, за допомогою якого можна опускати перпендикуляри з точок на прямі та будувати перпендикуляри до прямих у точках, що лежать на них. За цих правил: a) Покажіть, як скласти рівносторонній трикутник у фігуру з рівномірною товщиною у 3 шари. b) Покажіть, як скласти трикутник з кутами 30∘30^{\circ}, 60∘60^{\circ}, 90∘90^{\circ} у фігуру з рівномірною товщиною у 3 шари. c) Доведіть, що будь-який трикутник можна скласти у фігуру з рівномірною товщиною у 2020 шарів.
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-003

Симетрія хорд кола та рівнобедрений трикутник

На колі з центром MM є три різні точки AA, BB і CC такі, що ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|. Точка DD лежить усередині кола так, що △BCD\triangle BCD є рівностороннім. Другу точку перетину прямої ADAD з колом позначено FF. Доведіть, що ∣FD∣=∣FM∣|FD| = |FM|.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-002

Трикутник сталої площі в ромбі

У ромб ABCDA B C D вписано коло. Точки PP і QQ рухаються по відрізках AB‾\overline{A B} і AD‾\overline{A D} відповідно так, що PQ‾\overline{P Q} дотикається до кола. Доведіть, що для всіх таких відрізків PQ‾\overline{P Q} площа трикутника CPQC P Q є сталою.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-006

Прямокутник, що накриває три чверті квадрата

У Франциски є квадратний аркуш паперу зі стороною 1010 см. Також у неї є прямокутний аркуш паперу з такою самою площею, як у квадратного. Вона кладе прямокутник поверх квадрата так, щоб їхні ліві нижні кути збігалися. Рівно чверть квадрата залишається непокритою прямокутником. Яка довжина в сантиметрах довгої сторони прямокутника? A) 1212 B) 121412\frac{1}{4} C) 121212\frac{1}{2} D) 123412\frac{3}{4} E) 131313\frac{1}{3}
10–11 класиПлоща чотирикутника
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-020

Рівносторонній трикутник з кіл восьмикутника

Три послідовні вершини AA, BB і CC правильного восьмикутника є центрами кіл, які проходять через сусідні вершини восьмикутника. Точки перетину PP, QQ і RR цих трьох кіл утворюють трикутник (див. рисунок). Доведіть, що трикутник PQRPQR є рівностороннім.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.