Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-005

Цілі частини кратних пі та арифметичні прогресії

Доведіть, що множина S={[nπ] ⁣:n=0,1,2,3,…}S=\{[n\pi]\colon n=0,1,2,3,\ldots\} містить арифметичну прогресію довільної скінченної довжини, але не містить нескінченної арифметичної прогресії.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-003

Многочлени з невід’ємними коефіцієнтами і подільність радикалів

Функцію rad⁡:N∪{0}→N\operatorname{rad} : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} визначено таким чином: rad⁡(0)=rad⁡(1)=1;\operatorname{rad}(0) = \operatorname{rad}(1) = 1; якщо n=p1α1p2α2⋅…⋅pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} — канонічний розклад натурального числа n⩾2n \geqslant 2 на прості множники, то rad⁡(n)=p1p2⋅…⋅pk\operatorname{rad}(n) = p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_k. Знайдіть усі такі многочлени f(x)f(x) із цілими невід’ємними коефіцієнтами, що для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} число rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)})) націло ділиться на rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)).
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-005

Нерівність з кубічними коренями при xyz = 1

Для додатних чисел xx, yy та zz, які задовольняють умову xyz=1xyz = 1, доведіть нерівність x+y2z3+y+z2x3+z+x2y3⩽5(x+y+z)+98.\sqrt[3]{\frac{x+y}{2z}} + \sqrt[3]{\frac{y+z}{2x}} + \sqrt[3]{\frac{z+x}{2y}} \leqslant \frac{5(x+y+z)+9}{8}.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-009

Функціональне рівняння з квадратами f²(x+y) та f(xy)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних дійсних чисел xx і yy задовольняють співвідношення f2(x+y)=f2(x)+2f(xy)+f2(y).f^2(x+y) = f^2(x) + 2f(xy) + f^2(y).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-001

Нерівність для суми коренів з 2a²+bc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2a2+bc+2b2+ca+2c2+ab⩾3ab+bc+ca.\sqrt{2a^2+bc}+\sqrt{2b^2+ca}+\sqrt{2c^2+ab}\geqslant 3\sqrt{ab+bc+ca}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-006

Ірраціональність числа з k-тих цифр степенів двійки

Для натурального числа kk позначимо через ana_n kk-ту цифру зліва в десятковому записі числа 2n2^n (an=0a_n = 0, якщо в записі числа 2n2^n менше kk цифр). Розглянемо нескінченний десятковий дріб α=0,a1a2a3…\alpha = 0{,}a_1a_2a_3\ldots. Доведіть, що число α\alpha ірраціональне.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-008

Перетворення від’ємного розташування по колу в себе

Розташування по колу m⩾3m \geqslant 3 чисел −1-1 назвемо mm-від’ємним (інших чисел на колі немає). На першому кроці відмінник Андрійко вибирає одне з чисел на колі та множить його на −1-1. Далі на кожному кроці він, замість наступного за ходом годинникової стрілки числа на колі, записує його добуток з числом, записаним на попередньому кроці. Доведіть, що коли для деякого nn за kk кроків nn-від’ємне розташування перетворюється в себе, то за 2k−12^k-1 кроків (2n−1)(2^n-1)-від’ємне розташування також перетворюється в себе.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-011

Розбиття чисел 1 до n на m рівносумних підмножин

Нехай PP — многочлен з цілими коефіцієнтами степеня dd. Для множини A={a1,a2,…,ak}A=\{a_1, a_2, \ldots, a_k\} натуральних чисел позначимо S(A)=P(a1)+P(a2)+…+P(ak)S(A)=P(a_1)+P(a_2)+\ldots+P(a_k). Про натуральні числа mm, nn відомо, що md+1∣nm^{d+1} \mid n. Доведіть, що множину {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} можна розбити на mm неперетинних підмножин A1A_1, A2A_2, …\ldots, AmA_m з однаковою кількістю елементів так, що S(A1)=S(A2)=…=S(Am)S(A_1)=S(A_2)=\ldots=S(A_m).
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-012

Добуток двох відбірних трійок чисел

Трійку чисел aa, bb, cc з відрізка [−1;1][-1; 1] назвемо відбірною, якщо ці числа задовольняють нерівність 1+2abc>a2+b2+c21 + 2abc > a^2 + b^2 + c^2. Доведіть, що коли трійки чисел aa, bb, cc і xx, yy, zz є відбірними, то трійка axax, byby, czcz також є відбірною.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-003

n чисел між сусідніми n-ми степенями з добутком-степенем

Задано натуральне число n>2n > 2. Доведіть, що існує натуральне KK таке, що для всіх цілих k⩾Kk \geqslant K на відкритому інтервалі (kn,(k+1)n)(k^n, (k + 1)^n) існують nn різних цілих чисел, добуток яких є nn-м степенем цілого числа.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-004

Найбільша і найменша суми після замін у наборі

Нехай задано впорядкований набір (a1;a2;…;an)(a_1; a_2; \ldots; a_n) дійсних чисел, n⩾3n \geqslant 3. Дозволяється замінити число aia_i, i=2,n−1‾i = \overline{2, n - 1} на таке число ai∗a_i^*, що ai+ai∗=ai−1+ai+1a_i + a_i^* = a_{i - 1} + a_{i + 1}. Нехай (b1;b2;…;bn)(b_1; b_2; \ldots; b_n) — набір з найбільшою сумою чисел, який можна отримати з даного, а (c1;c2;…;cn)(c_1; c_2; \ldots; c_n) — аналогічний набір з найменшою сумою. Для непарного n⩾3n \geqslant 3 і набору (1;3;…;n;2;4;…;n−1)(1; 3; \ldots; n; 2; 4; \ldots; n - 1) знайдіть значення виразів b1+b2+…+bnb_1 + b_2 + \ldots + b_n і c1+c2+…+cnc_1 + c_2 + \ldots + c_n.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-005

Функціональне рівняння f(f²(x)y) = x³f(xy)

Нехай Q+\mathbb{Q}^+ позначає множину додатних раціональних чисел. Знайдіть усі функції f:Q+→Q+f : \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+, які при всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+, y∈Q+y \in \mathbb{Q}^+ задовольняють рівняння f(f2(x)y)=x3f(xy).f\left(f^2(x) y\right) = x^3 f(xy).
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-008

Існування зростаючої послідовності з сумами і оцінкою

Чи існує зростаюча послідовність цілих чисел 0=a0<a1<a2<…0 = a_0 < a_1 < a_2 < \ldots, для якої одночасно виконуються такі дві умови: 1) будь-яке натуральне число можна подати у вигляді ai+aja_i + a_j для деяких (можливо, рівних) i⩾0i \geqslant 0, j⩾0j \geqslant 0; 2) an>n216a_n > \dfrac{n^2}{16} для всіх натуральних nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-011

Нерівність для многочленів з невід'ємними коефіцієнтами добутку

Нехай P(x)P(x) та Q(x)Q(x) — многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P(0)>0P(0) > 0 і всі коефіцієнти многочлена S(x)=P(x)⋅Q(x)S(x) = P(x) \cdot Q(x) невід'ємні. Доведіть, що для довільного додатного xx справджується нерівність S(x2)−S2(x)⩽14(P2(x3)+Q(x3)).S(x^2) - S^2(x) \leqslant \frac{1}{4}(P^2(x^3) + Q(x^3)).
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-003

Функціональне рівняння з виразами x f(x + y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, такі, що для усіх xx, yy виконується рівність f(xf(x+y))=f(yf(x))+x2.f(xf(x+y)) = f(yf(x)) + x^2.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-004

Нерівність із сумою a/(b + c) та коренем

Для невід'ємних чисел aa, bb, cc доведіть нерівність ab+c+bc+a+ca+b+ab+bc+caa2+b2+c2⩾52.\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-008

Послідовні послідовності натуральних чисел, відмінні від n

Розглядатимемо нескінченні послідовності натуральних чисел, у яких кожне натуральне число трапляється рівно один раз. Нехай {an}\{a_n\}, де n⩾1n \geqslant 1, — така послідовність. Назвемо її «послідовною», якщо для довільного натурального kk та кожних натуральних nn і mm, таких, що an<ama_n < a_m, справджується також нерівність akn<akma_{kn} < a_{km}. Наприклад, послідовність an=na_n = n — «послідовна». а) Доведіть, що існують «послідовні» послідовності, відмінні від an=na_n = n. б) Чи існують «послідовні» послідовності, для яких an≠na_n \neq n, де n⩾2n \geqslant 2? в) Чи існують «послідовні» послідовності, для яких an≠na_n \neq n, де n⩾1n \geqslant 1?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-002

Найменше k для нерівності зі сторонами трикутника

Нехай a,b,ca, b, c – сторони деякого трикутника. Знайти найменше значення kk, для якого завжди виконується нерівність ∣a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a∣<k\left|\frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}\right| < k.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-004

Функціональне рівняння з сумою xⁿ f(x) + yⁿ f(y)

Нехай nn – деяке натуральне число. Знайти всі функції f:R+→Rf : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} (тобто функції, визначені на множині усіх додатних дійсних чисел з дійсними значеннями), для яких виконується рівність f(xn+1+yn+1)=xnf(x)+ynf(y)f\left(x^{n+1} + y^{n+1}\right) = x^{n}f\left(x\right) + y^{n}f\left(y\right) для будь-яких додатних дійсних чисел x,yx, y.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-009

Існування іспанської пари для двох множин

Нехай SS – це деяка підмножина дійсних чисел. Назвемо пару функцій (f,g)(f, g) – іспанською парою для множини SS, якщо вони задовольняють такі умови: 1) обидві функції є строго зростаючими, тобто ∀x,y∈S\forall x, y \in S f(x)<f(y)f(x) < f(y), g(x)<g(y)g(x) < g(y); 2) ∀x∈S\forall x \in S справджується нерівність: f(g(g(x)))<g(f(x))f\left(g\left(g(x)\right)\right) < g\left(f(x)\right). З'ясувати, чи існує іспанська пара, якщо: а) множина S=NS = \mathbb{N} – множина натуральних чисел; б) множина S={a−1b  |  a,b∈N}S = \left\{ a - \frac{1}{b} \;\middle|\; a, b \in N \right\}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-012

Нерівність з висотами та відрізками в гострокутному трикутнику

Позначимо у гострокутного △ABC\triangle ABC зі сторонами a,b,ca, b, c відповідно через Ha,Hb,HcH_a, H_b, H_c основи висот ha,hb,hch_a, h_b, h_c. Довести нерівність: ha2a2−CHa2+hb2b2−AHb2+hc2c2−BHc2≥3.\frac{h_a^2}{a^2 - CH_a^2} + \frac{h_b^2}{b^2 - AH_b^2} + \frac{h_c^2}{c^2 - BH_c^2} \ge 3.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-003

Нерівність з добутком a+b, b+c, c+d, d+a

Для додатних чисел a,b,c,da, b, c, d довести нерівність: (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(1+abcd4)4≥16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\left(1 + \sqrt[4]{abcd}\right)^4 \ge 16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-005

Функціональне рівняння f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y)

Знайти усі функції f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y) для усіх x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+. (Символом R+\mathbb{R}^+ тут позначено множину усіх додатних дійсних чисел).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-008

Функції з нерівністю та значення f(2008)

Розглянемо функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f (m + n) \ge f (m) + f (f (n)) - 1 для усіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2008)f (2008).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-012

Многочлен із біноміальними коефіцієнтами та дійсні корені

Довести, що для будь-яких натуральних m,nm, n многочлен ∑i=0mCn+in⋅xi\sum\limits_{i=0}^{m} C_{n+i}^{n} \cdot x^i має не більше одного дійсного кореня.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.