Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-017

Об'єднання двох або трьох підмножин множини

У множині SS, що містить nn елементів, вибрано [2n]+2\left[\sqrt{2n}\right]+2 підмножин таким чином, що об’єднання будь-яких трьох із них — це SS. Доведіть, що об’єднання деяких двох із вибраних множин — це SS.
7–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-001

Сума чисел 2^k у клітинках квадрата 600×600

Квадрат 600×600600 \times 600 поділено на фігурки чотирьох типів (рис. 5.1). У зафарбованих чорних клітинках фігурок двох типів, зображених на рисунку, записано число 2k2^k, де kk — номер стовпця, у якому знаходиться ця клітинка (стовпці пронумеровано зліва направо числами від 11 до 600600). Доведіть, що сума всіх записаних чисел ділиться на 99.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-005

Нумерація 2n точок і кути з рівними сумами

Олеся відмічає на площині 2n2n точок, n⩾2n \geqslant 2, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Після цього Андрій нумерує ці точки A1,A2,…,A2nA_1, A_2, \ldots, A_{2n} таким чином, що величина кожного з 2n2n кутів: A1A2A3A_1A_2A_3, A2A3A4A_2A_3A_4, …\ldots, A2n−2A2n−1A2nA_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, A2n−1A2nA1A_{2n-1}A_{2n}A_1 та A2nA1A2A_{2n}A_1A_2 знаходиться в межах від 0∘0^\circ до 180∘180^\circ. Доведіть, що за будь-якого розташування точок Андрій зможе їх пронумерувати в такий спосіб, що отримані 2n2n кутів можна буде розподілити на дві групи з рівними сумами величин кутів.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-009

Найменша сукупність підмножин множини з 2ⁿ елементів

Дано натуральне число nn. Нехай CC — така сукупність підмножин множини {1,2,…,2n}\{1, 2, \ldots, 2^n\}, що: - усі підмножини множини {1,2,3,…,2n}\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що складаються з (2n−1)(2^n - 1) елементів, містяться в CC; - кожна непорожня множина S∈CS \in C містить такий елемент s∈{1,2,3,…,2n}s \in \{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що множина S\{s}S \backslash \{s\} також належить до CC. Яка найменша кількість елементів може бути в CC?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-010

Учні за круглим столом та обміни неворогуючих сусідів

Деякі пари учнів школи Row у сварці. Але яка б підгрупа учнів цієї школи не була (де є хоча б 33 учні) і як би ми її не посадили за круглий стіл, завжди знайдеться пара сусідніх учнів, які не ворогують між собою. Першого вересня всіх учнів школи всадили за величезний круглий стіл. Якщо два сусіди не у сварці, то вони можуть помінятися місцями. Доведіть, що завдяки таким операціям учні зможуть сісти в будь-якому порядку. Примітка. Уважаємо однаковими порядки, що відрізняються поворотом круглого столу (місця за ним можуть змінюватися, проте діти залишаються сидіти так само одне відносно одного).
10–11 класиДерева
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-004

Розфарбування розбитої на триміно дошки 3n × 3n

Дошку розміром 3n×3n3n \times 3n, де n⩾2018n \geqslant 2018, деяким чином розбили на прямокутники 1×31 \times 3. Доведіть, що обов’язково можна пофарбувати кожну одиничну клітинку 1×11 \times 1 дошки в один із трьох кольорів таким чином, щоб виконувалися умови: - клітинок кожного кольору є однакова кількість; - немає двох сусідніх по стороні клітинок одного кольору; - у кожному прямокутнику розбиття 1×31 \times 3 якогось кольору немає.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-006

Заміна пари цілочисельних точок паралелограмом

На координатній площині дано скінченну множину точок SS, кожна з координат яких є цілим числом. За один крок дозволено замінити пару точок A,B∈SA, B \in S на довільну пару цілочисельних точок C,D∈SC, D \in S так, що чотирикутник ABCDABCD буде паралелограмом, причому AB>CDAB > CD. Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-013

Максимальна кількість ходів гри зі степенями двійки на стрічці

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з 99 одиничних клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може зробити одну з двох дій: - вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід’ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; - вибрати дві (не обов’язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо, 2j2^j, і записати в одній із них число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n (де nn — наперед задане натуральне число), а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, які міг зробити Олексій, залежно від значення nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-017

Пари m, n і розфарбування дошки з непарними сусідами

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), для яких клітчасту дошку розміром m×nm \times n можна розфарбувати в чорний і білий кольори таким чином, щоб для довільної одиничної клітинки дошки кількість сусідніх з нею клітинок, які пофарбовані в такий самий колір, була непарною. Примітка. Дві клітинки називають сусідніми, якщо вони різні та мають хоча б одну спільну вершину.
7–9 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-018

Додатні числа з обмеженим відношенням і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси ii, jj, kk, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
7–9 класиЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-019

Натуральні n з умовою про неподільні циклічні суми

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3, які задовольняють таку умову: для довільних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, сума яких не ділиться на nn, існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що жодне із чисел ai, ai+ai+1, …, ai+ai+1+…+ai+n−1a_i,\ a_i + a_{i+1},\ \ldots,\ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_{i+n-1} не ділиться на nn. Примітка. Вважаємо, що ai=ai−na_i = a_{i-n} при i>ni > n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-002

Тури на трикутниках шестикутника і шахове розфарбування

Правильний шестикутник розрізано прямими на 6n26n^2 правильних трикутників (рис. 5.1). У трикутниках розставлено 2n2n тур, ніякі дві з них не б'ють одна одну. Доведіть, що в разі шахового розфарбування всіх 6n26n^2 правильних трикутників кількість тур, які стоять на чорних трикутниках, дорівнюватиме кількості тур, що стоять на білих трикутниках. Примітка. Тура б'є в напрямках, що паралельні сторонам шестикутника.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-003

Найбільша можлива різниця a2018 - a2017 у послідовності

Нехай a0,a1,a2…a_0, a_1, a_2\ldots — така послідовність дійсних чисел, що a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1 і для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 існує натуральне число kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для якого an=1k(an−1+…+an−k).a_n = \frac{1}{k}(a_{n-1} + \ldots + a_{n-k}). Знайдіть найбільше можливе значення a2018−a2017a_{2018} - a_{2017}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-004

Жуки в пронумерованих коробках, що повзуть праворуч

Дано натуральне число nn. Ганна виставила в ряд (n+1)(n + 1) коробку та, пронумерувавши коробки зліва направо числами 0,1,2,…,n0, 1, 2, \ldots, n, помістила в нульову коробку nn жуків. Ці жуки почали переповзати по коробках. За одну хвилину рівно один із kk жуків, які містилися в коробці, переповзає в не більше ніж kk коробок праворуч. Через деякий час усі жуки опинилися в коробці з номером nn. Доведіть, що минуло не менше ніж [n1]+[n2]+…+[nn]\left[\dfrac{n}{1}\right] + \left[\dfrac{n}{2}\right] + \ldots + \left[\dfrac{n}{n}\right] хвилин від початку до цього моменту.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-007

Два учасники, що разом розв’язали всі задачі

На тестуванні mm учасникам було запропоновано nn задач, при цьому m>1m > 1, n>1n > 1. За кожну задачу кожен учасник одержав результат — «розв’язав» або «не розв’язав». Відомо, що кожну задачу розв’язали принаймні kk учасників. Доведіть, що знайдуться два учасники таких, що кожну задачу розв’язав принаймні один із них, якщо виконується умова km−12+1n⩾1.\frac{k}{m-\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geqslant 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-012

2019 точок загального положення і трикутники найбільшої площі

Нехай на площині дано 20192019 точок загального положення. Серед усіх трикутників, що мають вершинами деякі три точки із даних, виберемо той, що має найбільшу площу SS. Назвемо кожний трикутник з вершинами в даних точках гарним, якщо він також має площу SS. Доведіть, що існує не більше ніж 20192019 гарних трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-004

Максимальна кількість прямокутних трикутників з вершинами в n точках

Нехай f(n)f(n) позначає максимальну кількість прямокутних трикутників з вершинами в nn точках. Доведіть, що f(n)⩽n2nf(n) \leqslant n^2 \sqrt{n}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-005

Відстані від прямокутника розбиття до сторін прямокутника

Прямокутник RR з непарними цілими довжинами сторін поділено на менші прямокутники із цілими довжинами сторін. Доведіть, що існує хоча б один прямокутник розбиття, відстані від сторін якого до сторін прямокутника RR одночасно всі парні або одночасно всі непарні.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-006

Підпослідовність з 2n-1 чисел без різниці a

Задано дійсне число a≠0a \neq 0 й натуральне число nn. Доведіть, що для довільної послідовності a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1} дійсних чисел можна вибрати індекси i1<i2<…<ini_1 < i_2 < \ldots < i_n такі, що ais−air≠aa_{i_s} - a_{i_r} \neq a для довільних 1⩽s,r⩽n1 \leqslant s, r \leqslant n.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-013

Найбільша кількість ходів гри на дев'яти клітинках

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з дев'яти клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може виконати одну з двох дій: а) вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід'ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; б) вибрати дві (не обов'язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо 2j2^j, а після цього записати в одній із цих клітинок число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n, де nn — наперед задане натуральне число, а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, яку міг зробити Олексій залежно від значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-017

Дошка m × n з непарною кількістю одноколірних сусідів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), для яких клітчасту дошку розміром m×nm \times n можна розфарбувати в чорний і білий кольори так, що для довільної клітинки дошки кількість сусідніх з нею клітинок, пофарбованих у такий самий колір, непарна. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають хоча б одну спільну вершину.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-019

Натуральні n з індексом неподільних часткових сум

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3, які задовольняють таку умову: для довільних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, сума яких не ділиться на nn, існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що жодне із чисел ai,ai+ai+1,…,ai+ai+1+…+ai+n−1a_i, \quad a_i + a_{i+1}, \quad \ldots, \quad a_i + a_{i+1} + \ldots + a_{i+n-1} не ділиться на nn. Примітка. Вважаємо, що ai=ai−na_i = a_{i-n} при i>ni > n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-003

Гра з відмічанням точок і n точок на прямій

Розглянемо множину всіх цілочислових точок у Z3\mathbb{Z}^3. Сашко з Марійкою грають у таку гру. Спочатку Марійка відмічає довільну точку. Після цього Сашко відмічає всі точки на деякій площині, яка перпендикулярна до однієї з координатних осей і на якій немає жодної точки, яку відмітила Марійка. Далі вони продовжують робити кроки по черзі: Марійка не може вибирати відмічені раніше точки, а Сашко не може вибирати площини, на яких є точки, що їх відмітила Марійка. При цьому Марійка прагне відмітити nn точок підряд на деякій прямій, що паралельна одній із координатних осей, а Сашко прагне завадити їй. Знайдіть усі nn, при яких Марійка може досягти бажаного результату.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-004

Клітинка з трьома синіми ребрами решітки n × n

Нехай nn — непарне натуральне число. Розглянемо квадратну решітку розміром n×nn \times n, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків і 2n(n+1)2n(n + 1) ребер. Усі ребра пофарбовано в червоний або блакитний колір так, що кількість червоних ребер не перевищує n2n^2. Доведіть, що існує клітинка, яка має не менше ніж три синіх ребра.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-005

Сума квадратів відстаней між дванадцятьма точками

Знайдіть найменше додатне число λ\lambda таке, що для довільних 12 точок P1P_1, P2P_2, …, P12P_{12} на площині (точки можуть збігатися, а відстань між двома довільними з них не перевищує 1) виконується нерівність ∑1⩽i<j⩽12PiPj2⩽λ\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 12} P_iP_j^2 \leqslant \lambda.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.