Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-011

Розподіл задач між 2n учнями і чесне змагання

У математичному змаганні беруть участь 2n2n учнів. Спочатку кожен з учнів відправляє свою задачу членам журі. Після цього кожен з них отримує від журі одну із запропонованих задач (усі отримані задачі різні). Назвемо змагання чесним, якщо існують nn школярів, які отримали задачі, запропоновані рештою nn учасників. Доведіть, що кількість розподілів задач, за яких змагання чесне, є квадратом натурального числа.
10–11 класиПерестановки
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-002

Однакові числа у квадраті 3×3 після операцій

Натуральні числа від 1 до 9 розставлено деяким чином у комірки квадрата 3×33\times3 (по одному числу в комірку). З ними можна робити такі перетворення: вибрати довільний квадрат 2×22\times2 й додати 1 до кожного з чотирьох чисел цього квадрата або відняти 1 від кожного із цих чисел. Після кількох таких кроків виявилося, що в кожній комірці квадрата 3×33\times3 записано однакові числа. Якими можуть бути ці однакові числа?
7–9 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-006

Найменше n для єдиного розбиття зі 101 синьою клітинкою

101 клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано синім кольором. Відомо, що існує єдине розбиття дошки по лініях сітки на прямокутники таким чином, що кожен прямокутник розбиття містить рівно одну синю клітинку. Знайдіть найменше значення nn, при якому це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-010

Чарівне число дошки і перестановки рядків та стовпчиків

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Числа 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2 за чергою записують у клітинки квадратної дошки розміром n×nn \times n таким чином, що числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n записані зліва направо в першому рядку, числа n+1,n+2,…,2nn + 1, n + 2, \ldots, 2n записані зліва направо в другому й т. д. Чарівним числом дошки назвемо кількість рядків, стовпчиків і головних (найбільших) діагоналей, у яких середнє значення елементів дорівнює n2+12\frac{n^2+1}{2}. Доведіть, що чарівне число дошки залишається незмінним, якщо виконується довільна послідовність таких операцій: 1) перестановка двох рядків; 2) перестановка двох стовпчиків.
7–9 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-013

Папуги у квадраті 5 × 5 про рівну кількість сусідів

Папуги є двох типів — ті, що завжди кажуть правду, і ті, що завжди брешуть. 2525 таких папуг посадили по одній у клітинки, що розташовані у вигляді квадрата 5×55 \times 5. Сусідніми вважають папуг, що сидять у клітинках із суміжними сторонами. У деякий момент кожна папуга крикнула, що серед її сусідів порівну брехунів та правдивих. Скільки брехунів могло бути серед цих 2525 папуг? Укажіть усі можливі відповіді.
7–9 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-017

Множина з рівно 2015 хороших розбиттів

Розбиття скінченної множини AA, яка складається з натуральних чисел, на непорожні множини A1A_1 і A2A_2 назвемо хорошим, якщо A1A_1 і A2A_2 не перетинаються, а найменше спільне кратне елементів з A1A_1 дорівнює найбільшому спільному дільнику елементів з A2A_2. Знайдіть найменше значення nn, для якого існує множина AA, що складається з nn елементів і має рівно 2015 хороших розбиттів.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-019

Двадцять точок і чотирикутники, що не перетинаються

На площині задано 2020 точок загального положення (жодні 33 не лежать на одній прямій). Яку максимальну кількість опуклих чотирикутників, що попарно не перетинаються, можна одержати з вершинами в заданих точках при будь-якому їхньому розташуванні на площині?
7–9 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-022

Найбільша чудова конфігурація точок на площині

Назвемо конфігурацію з nn пофарбованих точок на площині чудовою, якщо жодні три точки не лежать на одній прямій і в довільному трикутнику, який має кут, не менший за 120∘120^\circ, рівно дві вершини пофарбовано в один колір. Знайдіть найбільше можливе значення nn, для якого існує чудова конфігурація.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-001

Три фішки на 6n+3-кутнику з лунками

Полем гри є вершини правильного 6n+36n + 3-кутника, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами 11; 22; …\ldots; 6n+36n + 3. Вершини з номерами 2n+12n + 1; 4n+24n + 2; 6n+36n + 3 називаються лунками. На початку гри на полі розташовано 3 фішки. Два гравці за чергою вибирають будь-яку з трьох фішок та пересувають її в сусідню вершину за рухом годинникової стрілки, якщо та не зайнята іншою фішкою. Перший гравець перемагає, якщо принаймні дві з фішок після ходу будь-якого з гравців попадають у лунки. Чи завжди перший гравець може перемогти, якщо на початку гри фішки розставлені у вигляді правильного трикутника?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-005

Три коники у трикутнику та кількість фінальних позицій

У вершинах правильного трикутника ABCABC зі стороною 1 розташовано три коники. У довільний момент часу рівно один із коників може стрибнути через іншого так, що відстань, яку пролетить коник, буде дорівнювати початковій відстані між ними, помноженій на деяке парне число. На променях ABAB і ACAC вибрано точки MM і NN так, що AM=AN=lAM = AN = l, де ll — деяке натуральне число. Через скінченну кількість стрибків виявилося, що три коники знаходяться в трикутнику AMNAMN (усередині або на його межі), після чого стрибки більше не відбувалися. Знайдіть кількість фінальних позицій, на яких можуть опинитися коники. (Під час стрибків коники можуть опинитися за межами трикутника AMNAMN.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-009

Гра з вибором чисел без сусідніх

Задано натуральне число nn. Двоє гравців А та Б грають у гру за такими правилами: - гравці за чергою вибирають деяке натуральне число k⩽nk \leqslant n; - не можна вибирати число, яке було вибрано раніше; - гравець не може вибрати число, якщо він уже вибрав сусіднє число; - гра закінчується внічию, якщо було використано всі числа; у протилежному разі програє той гравець, який не може зробити наступний хід. Гравець А ходить першим. Визначте результат гри, якщо обидва гравці грають за оптимальною стратегією.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-003

Кількість різних модулів різниці перестановки

Для довільної перестановки σ\sigma чисел із множини {1,2,…,2014}\{1, 2, \ldots, 2014\} розглянемо множину Iσ={∣σ(i)−i∣:i=1,2,…,2014},I_\sigma = \left\{ \left| \sigma(i) - i \right| : i = 1, 2, \ldots, 2014 \right\}, де через σ(i)\sigma(i) позначено ii-й елемент перестановки σ\sigma. Позначимо через ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right| кількість елементів множини IσI_\sigma. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right|.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-005

Числа з рівністю сум і вибір k чисел

Задано натуральне число nn і додатні дійсні числа x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n такі, що x1+x2+…+xn=1x12+1x22+…+1xn2.x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \ldots + \frac{1}{x_n^2}. Доведіть, що для кожного натурального k⩽nk \leqslant n із чисел x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n можна вибрати kk чисел із сумою, не меншою за kk.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-012

Рівні відрізки в центрально-симетричній множині точок

На сторонах опуклого kk-кутника вибрали mm точок таким чином, що множина PP з n=m+kn = m + k точок (kk вершин многокутника і mm вибраних точок) центрально-симетрична. Нехай S(P)S(P) позначає максимальну кількість відрізків однакової довжини в множині PP. Доведіть, що максимальне значення, якого може набувати величина S(P)S(P) при фіксованому nn, дорівнює 2n−32n - 3.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-015

Буси для друзів і ворогів з найменшою кількістю кольорів

На деякому острові проживає nn аборигенів. Кожна пара аборигенів або товаришує, або ворогує між собою. Одного дня вони отримали завдання виготовити собі буси з різнокольорових самоцвітів кількістю бусин від 00 і більше таким чином, щоб: - у кожної пари товаришів у бусах були самоцвіти однакового кольору; - у кожної пари ворогів самоцвітів однакового кольору не було. Яка найменша кількість кольорів має бути, щоб це можна було зробити для довільних відносин між жителями острова?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-002

Неможливий розклад наступного туру футбольного турніру

У футбольному турнірі nn команд грають в одне коло (n⋮2n \vdots 2). У кожному турі мають грати n/2n/2 пар команд, які ще не грали між собою. Розклад кожного туру складається напередодні його проведення. Для якого найменшого натурального kk можлива така ситуація: після проведення kk турів скласти розклад k+1k + 1-го туру вже неможливо, тобто ці nn команд не можна розбити на n/2n/2 пар, у кожній з яких зустрічаються команди, що не грали в попередніх kk турах?
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-005

Нерівність між коштами послідовностей Андрія та Юри

Для довільної послідовності x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, яка складається з дійсних чисел, будемо називати її коштом число max⁡1⩽i⩽n∣x1+x2+…+xi∣\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_1 + x_2 + \ldots + x_i|. Із заданих nn дійсних чисел Андрій та Юра хочуть утворити послідовність, яка має малий кошт. Андрій перебирає всі можливі послідовності й вибирає з них ту, кошт DD якої мінімальний. Юра, у свою чергу, вибирає спочатку x1x_1 таке, що величина ∣x1∣|x_1| мінімальна, далі з решти чисел вибирає x2x_2 таке, що величина ∣x1+x2∣|x_1 + x_2| набуває найменшого значення, і так далі. Іншими словами, на ii-му кроці Юра вибирає xix_i із чисел, які вони ще не використовували, і величина ∣x1+x2+…+xi∣|x_1 + x_2 + \ldots + x_i| є мінімальною. На кожному кроці, якщо існують декілька чисел, для яких досягається мінімальне значення, Юра вибирає довільне з них. Для побудованої послідовності він підраховує її кошт GG. Знайдіть найменше значення константи cc такої, що для довільного натурального nn, для довільних nn дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n і для довільної послідовності, яку може отримати Юра, виконується нерівність G⩽cDG \leqslant cD.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-009

Точки з опуклим семикутником і точками всередині п'ятикутників

Множина MM складається з nn точок на площині й задовольняє умови: - у множині MM існують сім точок, що є вершинами опуклого семикутника; - для довільних п'яти точок із множини MM, що є вершинами опуклого п'ятикутника, існує точка, яка також належить MM і лежить усередині цього п'ятикутника. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати nn.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-012

Трьохелементна арифметична прогресія у великій підмножині

Для заданого натурального nn розглянемо множину A⊂{1,2,…,n}A \subset \{1, 2, \ldots, n\}, яка складається хоча б із [n+12]\left[\dfrac{n+1}{2}\right] елементів. Доведіть, що при n⩾2015n \geqslant 2015 множина AA містить трьохелементну арифметичну послідовність.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-002

Рядок або стовпчик з 10 кольорами на дошці

Клітинки квадратної дошки розміром 100×100100 \times 100 розфарбовано у 100100 різних кольорів. Кожну клітинку пофарбовано рівно одним кольором, і кожен колір використано рівно 100100 разів. Доведіть, що існує рядок або стовпчик, у якому наявні не менше ніж 1010 кольорів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-007

Числа на межі дошки 2013×2013 і суми 3×3

Задано квадратну дошку розміром 2013×20132013 \times 2013. У кожну клітинку на межі дошки записано ціле число. Доведіть, що решту клітинок дошки можна заповнити цілими числами таким чином, що в довільному квадраті розміром 3×33 \times 3 сума чисел дорівнюватиме нулеві.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-009

Числа n-гарні для n ≥ 6

Натуральне число NN назвемо nn-гарним, якщо воно задовольняє умови: - NN має не менше ніж nn різних простих дільників; - існують nn чисел x1=1<x2<…<xnx_1 = 1 < x_2 < \ldots < x_n, які є дільниками числа NN і сума яких дорівнює NN. Доведіть, що для всіх n⩾6n \geqslant 6 існують nn-гарні числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-010

Гра в дільники числа 100! з НСД 1

Двоє грають у таку гру: вони по черзі записують на дошці дільники числа 100!100!, не повторюючи числа, що вже були записані на дошці. Програє той гравець, після ходу якого найбільший спільний дільник усіх чисел, що записані на дошці, буде дорівнювати 11. Хто з гравців переможе при правильній грі?
10–11 класиКласичні ігри

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.