Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-003

Кількість ідеалів невід’ємних чисел для p і q

Нехай pp і qq — задані взаємно прості натуральні числа. Підмножина S⊂{0;1;2;…}S \subset \{0; 1; 2; \ldots\} називається ідеалом множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}, якщо 0∈S0 \in S та для будь-якого n∈Sn \in S числа n+pn + p та n+qn + q обидва належать SS. Для даних pp і qq знайдіть кількість ідеалів множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-004

Функціональне рівняння з різницею квадратів

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x2−y2)=(x−y)(f(x)+f(y)) для всіх x∈R і y∈R.f\left(x^2 - y^2\right) = (x - y)\left(f(x) + f(y)\right) \text{ для всіх } x \in \mathbb{R} \text{ і } y \in \mathbb{R}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-006

Раціональна комбінація двох коренів кубічного многочлена

Нехай P(x)P(x) — многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами, який має три різні дійсні корені x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Відомо, що існують ненульові раціональні нерівні числа aa і bb такі, що ax1+bx2ax_1 + bx_2 — раціональне число. Доведіть, що числа x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 раціональні.
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-007

n-цифрове монотонне число, що є точним квадратом

Натуральне число a1a2…an‾\overline{a_1 a_2 \ldots a_n} називається монотонним, якщо в ньому a1≤a2≤…≤ana_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n (розглядається десятковий запис). Доведіть, що для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} існує nn-цифрове монотонне число, яке є точним квадратом.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-010

Нерівність для чисел з різницею сусідніх не більше 1

Нехай n≥3n \ge 3 непарне, та x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — дійсні числа такі, що ∣xk+1−xk∣≤1\left|x_{k+1} - x_k\right| \le 1 для всіх k=1,2,…,n−1k = 1, 2, \ldots, n - 1. Доведіть, що ∑k=1n∣xk∣−∣∑k=1nxk∣≤n2−14\sum_{k=1}^{n} |x_k| - \left|\sum_{k=1}^{n} x_k\right| \le \dfrac{n^2 - 1}{4}.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-012

Натуральні числа як суми різних квадратів

Доведіть, що існує лише скінченна кількість натуральних чисел таких, що їх не можна подати у вигляді суми кількох квадратів різних натуральних чисел (можливо, у вигляді квадрата одного натурального числа).
10–11 класиСистеми числення
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-001

Найбільше і найменше значення виразу з a²+b²=ac+bd

Нехай aa, bb, cc, dd — невід'ємні дійсні числа, для яких справджується рівність a2+b2=ac+bda^2+b^2=ac+bd, при цьому cc, dd не дорівнюють нулю одночасно. Знайдіть найбільше й найменше значення виразу: ad+bc−cdc2+d2\dfrac{ad+bc-cd}{c^2+d^2}.
10–11 класиНерівності та системи другого сте…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-006

Функціональне рівняння f(x + yf(x)) = f(x)f(x+y)

Знайдіть усі функції f:(0,∞)→[0,∞)f:(0, \infty) \to [0, \infty), для яких для всіх x,y∈(0,∞)x, y \in (0, \infty) справджується рівність f(x+yf(x))=f(x)f(x+y)f(x + yf(x)) = f(x)f(x+y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-002

Послідовність зі спільними членами всіх центральних

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots називається центральною, якщо для довільного натурального числа nn, середнє арифметичне перших ana_n членів послідовності дорівнює ana_n. Доведіть, що існує така нескінченна послідовність натуральних чисел b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, що для довільної центральної послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що an=bna_n = b_n.
10–11 класиСуми послідовностей
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-006

Найбільше значення відношення сум максимумів рядків і стовпців

У кожній комірці дошки 2025×20252025 \times 2025 записано дійсне невід'ємне число так, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 11, і сума чисел у кожному стовпчику також дорівнює 11. Через rir_i позначимо найбільше число в рядку ii, і нехай R=r1+r2+…+r2025R = r_1 + r_2 + \ldots + r_{2025}. Аналогічно, через cic_i позначимо найбільше число в стовпчику ii, і нехай C=c1+c2+…+c2025C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2025}. Якого найбільшого значення може набувати вираз RC\dfrac{R}{C}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-004

Рівняння f(xy + c) = f(x) + f(y)

Нехай Z\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел, а S⊂ZS \subset \mathbb{Z} — множина цілих чисел, не менших за 1010010^{100}. Нехай cc — фіксоване додатне ціле число. Знайдіть усі функції f:S→Zf : S \to \mathbb{Z}, що задовольняють рівняння f(xy+c)=f(x)+f(y)f(xy+c) = f(x)+f(y) для всіх x,y∈Sx, y \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Балтійський шляхBW-2024-001

Функції з рівнянням xf(x+y) і параметром α

Нехай α\alpha — ненульове дійсне число. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що xf(x+y)=(x+αy)f(x)+xf(y)xf(x+y) = (x+\alpha y)f(x) + xf(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Балтійський шляхBW-2024-002

Функції з сумою дробів при abc = 1

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина всіх додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що f(a)1+a+ca+f(b)1+b+ab+f(c)1+c+bc=1\dfrac{f(a)}{1+a+ca} + \dfrac{f(b)}{1+b+ab} + \dfrac{f(c)}{1+c+bc} = 1 для всіх a,b,c∈R+a, b, c \in \mathbb{R}^+ таких, що abc=1abc = 1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Балтійський шляхBW-2024-003

Перетворення двох чисел на дошці до одного числа

Додатні дійсні числа a1,a2,…,a2024a_1, a_2, \ldots, a_{2024} записані на дошці. За один хід вибирають два числа xx і yy, що записані на дошці, їх стирають та записують число x2+6xy+y2x+y\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}. Після 20232023 ходів на дошці залишиться одне число cc. Доведіть, що c<2024(a1+a2+…+a2024).c < 2024(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-2024-004

Найбільше α для нерівності з x, y і z

Знайдіть найбільше дійсне число α\alpha таке, що для всіх невід'ємних дійсних чисел x,yx, y і zz справджується нерівність: (x+y+z)3+α(x2z+y2x+z2y)⩾α(x2y+y2z+z2x).(x+y+z)^3 + \alpha(x^2z+y^2x+z^2y) \geqslant \alpha(x^2y+y^2z+z^2x).
10–11 класиНерівність Коші
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Балтійський шляхBW-2024-009

Функція-степінь для кожного n та умова f(f(x)) = f(x)

Нехай SS — скінченна множина. Для цілого додатного nn функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем, якщо існує деяка функція g:S→Sg: S \to S така, що f(x)=g(g(…g(x)…))⏟g використано n разівf(x) = \underbrace{g(g(\ldots g(x) \ldots))}_{g \text{ використано } n \text{ разів}} для кожного x∈Sx \in S. Припустимо, що функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем для кожного додатного цілого nn. Чи обов'язково f(f(x))=f(x)f(f(x)) = f(x) виконується для кожного x∈Sx \in S?
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-001

2024 різних натуральних числа та дробові частини часток

З'ясуйте, чи існує 20242024 попарно різних натуральних числа, що задовольняють таку умову: якщо ми розглянемо всі можливі частки двох різних чисел із цього набору (розглядаємо як ab\dfrac{a}{b}, так і ba\dfrac{b}{a}), то одержимо числа, що мають десяткові дробові частини попарно різної скінченної та ненульової довжини. Наприклад, число 3,141593{,}14159 має десяткову дробову частину 0,141590{,}14159 завдовжки 55 розрядів.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-002

Порівняння кількості чудових конфігурацій

Для натурального числа nn назвемо nn-конфігурацією сім’ю множин (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}. Деяку nn-конфігурацію (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} назвемо чудовою, якщо для будь-якої пари індексів (i,j)(i, j) з 1⩽i⩽n−11 \leqslant i \leqslant n-1 та 1⩽j⩽n1 \leqslant j \leqslant n ми маємо Ai,j⊂Ai+1,jA_{i,j} \subset A_{i+1,j} і Aj,i⊂Aj,i+1A_{j,i} \subset A_{j,i+1}. Нехай f(n,k)f(n, k) — це кількість чудових nn-конфігурацій таких, що An,n⊂{1,2,…,k}A_{n,n} \subset \{1, 2, \ldots, k\}. З’ясуйте, яке із чисел є більшим: f(2024,20242)f(2024, 2024^2) чи f(20242,2024)f(2024^2, 2024).
10–11 класиБієкції
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-005

Функціональне рівняння з x² + y² та параметром α

Задано дійсне число α≠0\alpha \neq 0. Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що рівність f(x2+y2)=f(x−y)f(x+y)+αyf(y)f(x^2 + y^2) = f(x - y)f(x + y) + \alpha y f(y) справджується для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-006

Трійки натуральних чисел і подільність цілої частини на p

З’ясуйте, чи існує нескінченно багато трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел таких, що число pp ділить число ⌊(a+b2024)p⌋−c\left\lfloor (a+b\sqrt{2024})^p \right\rfloor - c для кожного простого числа pp. Примітка. Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.