Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-011

Дві пари чисел з майже рівними різницями

Доведіть, що в довільній множині з 20002000 різних дійсних чисел існують дві пари чисел a>ba > b і c>dc > d з a≠ca \ne c або b≠db \ne d такі, що ∣a−bc−d−1∣<1100 000\left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right| < \frac{1}{100\,000}.
10–11 класиПринцип Діріхле (інші випадки)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-016

Знищення і клонування сплутаних молекул

Божевільний учений винайшов новий вид молекул. Після того як він розбив колбу, деякі молекули опинилися в лабораторії. Деякі пари молекул можуть бути сплутаними, і одна молекула може бути сплутаною з кількома іншими молекулами. Учений навчився виконувати такі операції з молекулами, по одній операції за раз: - якщо деяка молекула сплутана з непарною кількістю молекул, то вчений може знищити її; - учений може клонувати всі молекули, які є в деякий момент часу в лабораторії, зробивши копію I′I' кожної молекули II. При цьому дві копії I′I' та J′J' сплутані між собою тоді і тільки тоді, коли їхні прообрази II та JJ сплутані, а також сплутаними між собою є кожна копія I′I' і її прообраз II. Жодних інших зв'язків не може утворитись, і жоден інший зв'язок не може бути зруйнований у ході даної операції. Доведіть, що вчений за допомогою цих двох операцій може отримати набір молекул, жодні дві з яких не сплутані між собою.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-001

Мурахи на вершинах 2n-кутника без прямих через центр

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і правильний 2n2n-кутник, у кожній вершині якого сидить по мурасі. У деякі моменти часу кожна мураха переповзає в одну з двох сусідніх вершин (у деяких вершинах може опинитись одночасно декілька мурах). Через kk таких операцій виявилося, що довільна пряма, яка сполучає дві різні вершини многокутника, у яких є мурахи, не проходить через його центр. Знайдіть для заданого nn найменше можливе значення kk.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-007

Найменше фішок двох кольорів на n×n з парним набором

Для кожного натурального n⩾4n \geqslant 4 знайдіть найменше натуральне число kk, яке задовольняє таку властивість: для довільного розташування kk фішок двох кольорів по клітинках дошки розміром n×nn \times n (не більше однієї фішки в клітинці) з них можна вибрати такий непорожній набір, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику стояла парна (можливо, нульова) кількість фішок кожного кольору.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-010

Точки загального положення і трикутники з однією точкою всередині

Знайдіть усі натуральні числа n⩾4n \geqslant 4, для яких існують nn точок загального положення на площині таких, що довільний трикутник з вершинами, які належать випуклій оболонці цих nn точок, містить усередині рівно одну з n−3n - 3 точок, що залишилися.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-001

Найбільша кількість різних букв у таблиці n × n

У клітини таблиці n×nn \times n вписано букви (у кожну клітину по одній букві) таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику опинилося не більше трьох різних букв. Яка найбільша кількість різних букв може бути в таблиці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-007

Максимальна кількість кубів серед попарних добутків 2012 чисел

Для заданих 20122012 натуральних чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2012a_{2012}, кожне з яких не є точним кубом цілого числа, рахуються всі можливі попарні добутки aiaja_i a_j, де 1⩽i<j⩽20121\leqslant i<j\leqslant 2012. Яка максимальна кількість серед таких попарних добутків може дорівнювати кубу цілого числа?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-008

Ітерації многочлена третього степеня і подільність на 101

Нехай многочлен P(x)=x3+14x2−2x+1P(x) = x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Позначимо через P(n)(x)=P(P(n−1)(x))P^{(n)}(x) = P\left(P^{(n-1)}(x)\right). Покажіть, що існує таке натуральне NN, що для кожного цілого xx P(N)(x)−x⋮101P^{(N)}(x) - x \vdots 101.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-002

Найбільша кількість зірочок з умовою на рядки або стовпці

Учитель повідомив Петрику непарне натуральне число l⩽2013l\leqslant 2013 і дав хлопцю домашнє завдання. Петрик має розставити зірочки в комірках таблиці 2013×20132013\times 2013 так, щоб справджувалася умова: якщо в деякій клітинці таблиці стоїть зірочка, то або в рядку, або в стовпчику, де міститься ця клітинка, має стояти не більше ніж ll зірочок (включно з даною). При цьому в кожну комірку таблиці хлопець може поставити щонайбільше одну зірочку. Учитель пообіцяв Петрику, що його оцінка буде пропорційною кількості зірочок, які хлопцю вдасться розставити. Яку найбільшу кількість зірочок зможе розставити в таблиці Петрик?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-007

2013 користувачів без трьох попарних друзів

У соціальній мережі «Граф» зареєстровано 20132013 користувачів. Деякі користувачі є друзями, причому дружба у «Графі» взаємна. Відомо, що серед користувачів мережі не знайдеться трьох, кожні два з яких дружили б між собою. Знайдіть найбільшу можливу кількість пар друзів у «Графі».
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-010

Розбиття цілих і раціональних чисел з неперетинними сумами

Нехай XX і YY — деякі числові множини. Запровадимо позначення X+Y={x+y∣x∈X, y∈Y}.X+Y=\{x+y \mid x\in X,\ y\in Y\}. Інакше кажучи, X+YX+Y — множина, що складається з усіх чисел, які можна подати як суму числа з множини XX і числа з множини YY. Назвімо числову множину SS розбивною, якщо її можна розбити на три непорожні попарно неперетинні підмножини AA, BB та CC (де A∪B∪C=SA\cup B\cup C=S), для яких множини A+BA+B, B+CB+C і C+AC+A також є попарно неперетинними. а) Чи є розбивною множина всіх цілих чисел? б) Чи є розбивною множина всіх раціональних чисел?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-005

Слова з літер М та У і їх кількість

В алфавіті племені муму — усього дві літери: М та У. Словом у мові муму є будь-яка послідовність літер М та У, у якій поряд з кожною літерою М є літера У (наприклад, УУУ та УММУМ є словами, а ММУ — ні). Нехай f(m,u)f(m,u) позначає кількість слів мови муму, у яких є рівно mm літер М та рівно uu літер У. Доведіть, що для будь-яких u⩾2u \geqslant 2 та 3⩽m⩽2u3 \leqslant m \leqslant 2u справджується рівність f(m,u)−f(2u−m+1,u)=f(m,u−1)−f(2u−m+1,u−1).f(m,u)-f(2u-m+1,u)=f(m,u-1)-f(2u-m+1,u-1).
10–11 класиБієкції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-010

Квадрат 1/(n+1) в частині одиничного квадрата, розрізаного n прямими

Одиничний квадрат розрізано nn прямими на частини. Доведіть, що хоча б в одній із цих частин можна повністю розмістити квадрат зі стороною 1n+1\dfrac{1}{n+1}.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-011

Розбиття чисел 1 до n на m рівносумних підмножин

Нехай PP — многочлен з цілими коефіцієнтами степеня dd. Для множини A={a1,a2,…,ak}A=\{a_1, a_2, \ldots, a_k\} натуральних чисел позначимо S(A)=P(a1)+P(a2)+…+P(ak)S(A)=P(a_1)+P(a_2)+\ldots+P(a_k). Про натуральні числа mm, nn відомо, що md+1∣nm^{d+1} \mid n. Доведіть, що множину {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} можна розбити на mm неперетинних підмножин A1A_1, A2A_2, …\ldots, AmA_m з однаковою кількістю елементів так, що S(A1)=S(A2)=…=S(Am)S(A_1)=S(A_2)=\ldots=S(A_m).
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-002

Розташування неб'ючих королів з 25 у рядку і стовпці

На шахівниці розміром 100×100100 \times 100 клітинок розташовано 25002500 королів таким чином, що виконуються дві умови: 1) жодні два королі не б'ють один одного (тобто немає двох королів, що стоять на клітинках хоча б з однією спільною вершиною); 2) кожен рядок та кожен стовпець містить рівно 2525 королів. Знайдіть кількість усіх таких розташувань, якщо два розташування, що утворюються одне з іншого поворотом або симетрією, вважають різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-003

n чисел між сусідніми n-ми степенями з добутком-степенем

Задано натуральне число n>2n > 2. Доведіть, що існує натуральне KK таке, що для всіх цілих k⩾Kk \geqslant K на відкритому інтервалі (kn,(k+1)n)(k^n, (k + 1)^n) існують nn різних цілих чисел, добуток яких є nn-м степенем цілого числа.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-008

Існування зростаючої послідовності з сумами і оцінкою

Чи існує зростаюча послідовність цілих чисел 0=a0<a1<a2<…0 = a_0 < a_1 < a_2 < \ldots, для якої одночасно виконуються такі дві умови: 1) будь-яке натуральне число можна подати у вигляді ai+aja_i + a_j для деяких (можливо, рівних) i⩾0i \geqslant 0, j⩾0j \geqslant 0; 2) an>n216a_n > \dfrac{n^2}{16} для всіх натуральних nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-012

Перестановки чисел від 1 до 2n з різними різницями

Нехай nn — натуральне число. Розгляньмо всі перестановки (a1,…,a2n)(a_1, \ldots, a_{2n}) перших 2n2n натуральних чисел такі, що числа ∣ai+1−ai∣|a_{i+1} - a_i|, i=1,…,2n−1i = 1, \ldots, 2n - 1, є попарно різними. Доведіть, що a1−a2n=na_1 - a_{2n} = n тоді і лише тоді, коли 1⩽a2k⩽n1 \leqslant a_{2k} \leqslant n для всіх k=1,…,nk = 1, \ldots, n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-001

Максимальна кількість раундів передачі карток по колу

Є 20102010 карток червоного та 20102010 карток білого кольорів. Усі ці 40204020 карток перемішуються та роздаються по дві випадковим чином кожному з 20102010 гравців, які сидять за круглим столом. Гра складається з декількох раундів, у кожному з яких гравці одночасно передають картки один одному за таким правилом. Якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцю, що сидить ліворуч від нього, у противному разі він передає ліворуч одну білу картку. Гра закінчується після того раунду, коли в кожного з гравців виявляється по одній червоній та білій картці. Визначите максимально можливу кількість таких раундів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-009

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та гра з водою

П'ять однакових дволітрових відер стоять на дворі у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла мачуха проводять декілька раундів гри за таким правилом. На початку кожного раунду мачуха набирає 11 л брудної води з найближчої калюжі та розподіляє її довільним чином між 55 відрами у дворі. Попелюшка обирає два довільних відра, які стоять поруч (у сусідніх вершинах п'ятикутника), та виливає з них воду в калюжу й ставить порожні відра на місце. Це закінчує черговий раунд. Мачуха прагне зробити так, щоб принаймні в одному відрі вода перелилася через край (тобто після її доливання у ведрі мало бути більше ніж 22 л води), а Попелюшка — не допустити цього. Чи зможе мачуха досягти своєї мети?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-010

Збалансовані значення многочлена (x+a)(x+b)

Натуральне число NN називають збалансованим, якщо N=1N=1 або NN можна подати у вигляді добутку парної кількості простих чисел (необов'язково різних). Для заданих натуральних чисел aa та bb розглянемо многочлен P(x)=(x+a)(x+b)P(x)=(x+a)(x+b). а) Доведіть, що існують такі різні натуральні числа aa та bb, що всі числа P(1)P(1), P(2)P(2), …\ldots, P(50)P(50) є збалансованими. б) Доведіть, що зі збалансованості P(n)P(n) для всіх натуральних nn випливає a=ba=b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.