Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-004

Найбільша кількість цікавих пар у послідовності

У послідовності цілих чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n пару чисел (ai,aj)(a_i, a_j), де 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, називають цікавою, якщо існує така пара чисел (ak,al)(a_k, a_l), де 1⩽k<l⩽n1 \leqslant k < l \leqslant n, що справджується рівність al−akaj−ai=2.\frac{a_l - a_k}{a_j - a_i} = 2. Знайдіть найбільшу можливу кількість цікавих пар у послідовності цілих чисел довжини nn, якщо n⩾3n \geqslant 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-005

Функції з однаковою кількістю дільників і умовою на НСД

Дано множину натуральних чисел N\mathbb{N}. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких для довільної пари натуральних чисел (x,y)(x, y) справджуються такі умови: - xx та f(x)f(x) мають однакову кількість натуральних дільників; - якщо xx не ділиться націло на yy, а yy не ділиться націло на xx, то НСД(f(x),f(y))>f(НСД(x,y)).\text{НСД}(f(x), f(y)) > f(\text{НСД}(x, y)). Примітка. Тут через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, що ділить числа mm та nn одночасно.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-006

Поліном степеня d з не більше ніж d значень

Знайдіть усі натуральні числа dd, для яких існує такий поліном PP степеня dd з дійсними коефіцієнтами, що серед чисел P(0),P(1),…,P(d2−d)P(0), P(1), \ldots, P(d^2-d) є не більше ніж dd різних.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Європейський математичний кубокEMC-2024-002

Максимум суми мінімумів і мінімум суми максимумів

Нехай XX — найбільше можливе значення виразу min⁡{bc,2−a2}+min⁡{ac,2−b2}+min⁡{ab,2−c2},\min\{bc, 2-a^2\} + \min\{ac, 2-b^2\} + \min\{ab, 2-c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Аналогічно, нехай YY — найменше можливе значення виразу max⁡{2−bc,a2}+max⁡{2−ac,b2}+max⁡{2−ab,c2},\max\{2-bc, a^2\} + \max\{2-ac, b^2\} + \max\{2-ab, c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Доведіть, що X=YX = Y.
7–10 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2024-008

Функціональне рівняння з виразом x + y f(x)

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), при яких для всіх додатних чисел x,yx, y справджується рівність: f(x+yf(x))=xf(1+y).f(x + yf(x)) = xf(1+y).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-001

Подільність на n сум цілих частин кратних α

Знайдіть усі такі дійсні числа α\alpha, що для кожного натурального nn число Sn=[α]+[2α]+…+[nα]S_n = [\alpha] + [2\alpha] + \ldots + [n\alpha] ділиться націло на число nn. Примітка. Тут через [z][z] позначено найбільше ціле число, що не перевищує zz. Наприклад, [−π]=−4[-\pi] = -4 та [2]=[2,9]=2[2] = [2{,}9] = 2.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-014

Функціональне рівняння з умовою взаємної простоти

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Нехай f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} — функція, що задовольняє таку властивість: для m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} рівність f(mn)2=f(m2)f(f(n))f(mf(n))f(m n)^2 = f\left(m^2\right) f(f(n)) f(m f(n)) виконується тоді й лише тоді, коли mm і nn взаємно прості. Для кожного натурального числа nn визначте всі можливі значення f(n)f(n).
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-002

Послідовності з фіксованим розмахом на вікні

Нехай p≠qp \neq q — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots натуральних чисел такі, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконуються такі умови: max⁡(an,an+1,…,an+p)−min⁡(an,an+1,…,an+p)=p і max⁡(an,an+1,…,an+q)−min⁡(an,an+1,…,an+q)=q.\begin{aligned} & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)=p \quad \text{ і } \\ & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)=q . \end{aligned}
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-001

Нерівність для додатних чисел із сумою квадратів

Дано додатні дійсні числа aa, bb, cc такі, що a2+b2+c2=14a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}. Доведіть, що справджується нерівність 1b2+c2+1c2+a2+1a2+b2⩽2(a+b)(b+c)(c+a).\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.
7–9 класиНерівність Коші
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-001

Перестановки слонів стрибками з першого в останній рядок

Нехай nn — це натуральне число. У клітинках першого рядка шахової дошки розміром 2n×2n2^n \times 2^n стоять шахові слони, пронумеровані зліва направо числами від 11 до 2n2^n. Назвемо стрибком одночасний хід усіх слонів, що задовольняє такі умови: - кожен слон переміщується на декілька клітинок уздовж деякої діагоналі; - наприкінці стрибків усі слони стоять у різних клітинках одного рядка. Знайдіть кількість можливих перестановок σ\sigma чисел 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2^n, що задовольняють таку умову: існує послідовність стрибків така, що в кінці всі слони опиняться в останньому рядку та розташовуються в порядку σ(1),σ(2),…,σ(2n)\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n) зліва направо.
10–11 класиСистеми числення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-004

Остача від ділення bⁿ на aⁿ та подільність

Зафіксуємо натуральні числа aa та bb, більші за 11. Для будь-якого натурального nn нехай rnr_n — це остача від ділення bnb^n на ana^n. Припустимо, що існує таке натуральне число NN, що rn<2nnr_n < \dfrac{2^n}{n} при всіх n⩾Nn \geqslant N. Доведіть, що bb ділиться на aa.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-006

Многочлени з коефіцієнтами 0 і 1 вільні від квадратів

Многочлен PP із цілими коефіцієнтами назвемо вільним від квадратів, якщо його не можна записати у вигляді P=Q2RP = Q^2 R, де QQ та RR є многочленами із цілими коефіцієнтами і QQ є неконстантним. Для натурального числа nn нехай UnU_n — це множина всіх многочленів вигляду 1+a1x+a2x2+…+anxn,1 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n, де a1,a2,…,an∈{0,1}a_1, a_2, \ldots, a_n \in \{0, 1\}. Доведіть, що існує ціле число NN таке, що для всіх цілих n⩾Nn \geqslant N більше ніж 99 %99\,\% многочленів у множині UnU_n є вільними від квадратів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-001

Сума aᵢ√(aᵢ/bᵢ) з сумами aᵢ та bᵢ

Нехай nn — натуральне число, а a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n — додатні дійсні числа. Доведіть, що a1a1b1+a2a2b2+⋯+ananbn≥(a1+a2+⋯+an)a1+a2+⋯+anb1+b2+⋯+bna_1 \sqrt{\frac{a_1}{b_1}} + a_2 \sqrt{\frac{a_2}{b_2}} + \dots + a_n \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \ge (a_1 + a_2 + \dots + a_n) \sqrt{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-037

Функціональне рівняння з НСК та подільністю

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ позначає множину натуральних чисел, а НСК(n,m)\text{НСК}(n, m) — найменше натуральне число, яке ділиться як на nn, так і на mm. Знайдіть усі функції f:Z+→Z+f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ такі, що НСК(n⋅f(n2),f(m2))=n⋅f(nm), для всіх натуральних чисел n,m\text{НСК}(n \cdot f(n^2), f(m^2)) = n \cdot f(nm), \text{ для всіх натуральних чисел } n, m і такі, що f(n)f(n) ділить nn для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиНСД та НСК
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-038

Функціональне рівняння з вісімково-десятковою функцією

Для натурального числа mm нехай S(m)S(m) позначає натуральне число, десятковий запис якого дорівнює вісімковому запису числа mm. Наприклад, S(64)=100S(64) = 100, S(100)=144S(100) = 144, S(2023)=3747S(2023) = 3747. Два натуральні числа x,yx, y задовольняють співвідношення S(x)+S(1)S(x+1)=S(y)+S(2023)S(y+2023)<810.\frac{S(x) + S(1)}{S(x + 1)} = \frac{S(y) + S(2023)}{S(y + 2023)} < \frac{8}{10}. Яке найменше можливе значення yy, якщо x<100x < 100?
10–11 класиСистеми числення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-002

Строго зростаюча функція з тотожністю для сум

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел. Знайдіть усі строго зростаючі функції Z+→Z+\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+, для яких f(1)=1f(1) = 1 і які задовольняють рівняння 3⋅(f(1)+f(2)+⋯+f(n))=f(n+1)+f(n+2)+⋯+f(2n)3 \cdot (f(1) + f(2) + \dots + f(n)) = f(n+1) + f(n+2) + \dots + f(2n) для всіх n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-039

Двійкові цифри у зваженій сумі Фібоначчі

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел, а (Fn)n∈Z+(F_n)_{n \in \mathbb{Z}^+} — послідовність Фібоначчі, задана рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} при n≥2n \ge 2. Розглянемо число N=22022F2023−22021F2022+22020F2021+⋯−2F2+F1.N = 2^{2022}F_{2023} - 2^{2021}F_{2022} + 2^{2020}F_{2021} + \dots - 2F_2 + F_1. Доведіть, що двійковий запис числа NN містить більше одиниць, ніж нулів.
10–11 класиСистеми числення2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-010

Степенева нерівність із показниками

Нехай a1,a2,…,a2023a_1, a_2, \dots, a_{2023} — додатні дійсні числа, для яких a1+a22+a33+⋯+a20232023=2023.a_1 + a_2^2 + a_3^3 + \dots + a_{2023}^{2023} = 2023. Доведіть, що a12023+a22022+⋯+a20222+a2023>1+12023.a_1^{2023} + a_2^{2022} + \dots + a_{2022}^2 + a_{2023} > 1 + \frac{1}{2023}.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-003

Монотонна функція з кубічним рівнянням

Знайдіть усі монотонні (не обов’язково строго монотонні) функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для яких f(x+y)3=f(x3)+f(y3) для всіх x,y∈R.f(x+y)^3 = f(x^3) + f(y^3) \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-004

Рекурентні множини та оцінки їх потужностей

Для множин SS і TT, що складаються з додатних дійсних чисел, визначимо S+T={s+t∣s∈S,t∈T}S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\} і 1S={1s∣s∈S}\frac{1}{S} = \{\frac{1}{s} \mid s \in S\}. Визначимо множини A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots рекурентно як A1={1}A_1 = \{1\} і An=⋃i=1n−1((Ai+An−i)∪(11Ai+1An−i))A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right) для всіх цілих n≥2n \ge 2. Доведіть, що для всіх цілих n≥1n \ge 1 виконується 2n−1≤∣An∣≤8n.2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-005

Фленсбурзька властивість для системи многочленів

Назвемо систему рівнянь у дійсних числах зі змінними x1,…,xm∈Rx_1, \dots, x_m \in \mathbb{R} фленсбурзькою, якщо існує таке i∈{1,…,m}i \in \{1, \dots, m\}, що кожний розв'язок системи рівнянь, у якому всі змінні попарно різні, задовольняє xi>xjx_i > x_j для всіх j≠ij \ne i. Визначте, для яких натуральних чисел n≥1n \ge 1 наведена нижче система з двох рівнянь an+b=a і cn+1+b2=aba^n + b = a \text{ і } c^{n+1} + b^2 = ab з трьома дійсними змінними a,b,ca, b, c є фленсбурзькою.
10–11 класиЧислові нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.