Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-033

Точки перетину діагоналей 100-кутника на одному колі

Нехай P1P2⋯P100P_1P_2 \cdots P_{100} — вписаний 100-кутник, і нехай Pi=Pi+100P_i = P_{i+100} для всіх ii. Визначимо QiQ_i як перетин діагоналей Pi−2Pi+1‾\overline{P_{i-2}P_{i+1}} і Pi−1Pi+2‾\overline{P_{i-1}P_{i+2}} для всіх цілих ii. Припустимо, що існує точка PP, для якої PPi‾⊥Pi−1Pi+1‾\overline{PP_i} \perp \overline{P_{i-1}P_{i+1}} для всіх цілих ii. Доведіть, що точки Q1,Q2,…,Q100Q_1, Q_2, \dots, Q_{100} лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-034

Прямі до ортоцентрів, що перетинаються в одній точці

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки, серед яких жодні три не лежать на одній прямій, причому DD не є ортоцентром трикутника ABCABC. Нехай PP, QQ, RR — ортоцентри трикутників △BCD\triangle BCD, △CAD\triangle CAD, △ABD\triangle ABD відповідно. Припустимо, що прямі APAP, BQBQ, CRCR попарно різні та перетинаються в одній точці. Доведіть, що чотири точки AA, BB, CC, DD лежать на одному колі.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-037

Максимальна кількість дружб зі збереженням відстаней

Десять мільйонів світлячків світяться в R3\mathbb{R}^3 опівночі. Деякі зі світлячків дружать, причому дружба завжди взаємна. Щосекунди один світлячок переміщується в нове положення так, щоб його відстань до кожного зі своїх друзів залишалася такою самою, як і до переміщення. Це єдиний спосіб, у який світлячки будь-коли змінюють свої положення. Жодні два світлячки ніколи не можуть займати одну й ту саму точку. Спочатку жодні два світлячки, друзі чи ні, не перебувають на відстані понад метр один від одного. Після деякої скінченної кількості секунд усі світлячки опиняються принаймні за десять мільйонів метрів від своїх початкових положень. Маючи цю інформацію, знайдіть найбільшу можливу кількість дружб між світлячками. У загальному випадку ми показуємо, що коли n≥70n \ge 70, відповідь дорівнює f(n)=⌊n23⌋f(n) = \lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-004

Прямокутники з самоподібним розбиттям

Якщо аркуш A4 розрізати точно навпіл уздовж прямої, паралельної коротшій стороні, утворяться два аркуші, які мають ту саму форму, що й початковий, тобто отримуються з нього поворотом і зменшенням масштабу. Цього року назвемо прямокутний аркуш «сучасним», якщо, розрізавши його на 2020 рівних частин розрізами, паралельними його коротшій стороні, отримаємо 2020 прямокутників, які мають ту саму форму, що й початковий. Якщо коротка сторона сучасного аркуша дорівнює 1, яка довжина іншої сторони? (A) 2020\sqrt{2020} (B) 20203/22020^{3 / 2} (C) 20212\frac{2021}{2} (D) 2020 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-007

Перетин сторони квадрата прямою через коло

Лучія, накресливши квадрат ABCDABCD з одиничною стороною, проводить коло з центром CC і радіусом, що дорівнює стороні квадрата. Далі позначає через XX точку перетину діагоналі ACAC з колом, а через YY — точку перетину прямої DXDX зі стороною ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка AYAY? (A) 2+16\frac{\sqrt{2}+1}{6} (B) 2−1\sqrt{2}-1 (C) 23\frac{\sqrt{2}}{3} (D) 3+28\frac{3+\sqrt{2}}{8} (E) 22\frac{\sqrt{2}}{2}
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-010

Прямокутник з вписаним чотирикутником

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а M,NM, N — внутрішні точки відповідно сторін ABAB та BCBC. Припустимо, що MC=CDMC = CD, MD=MNMD = MN і що точки C,D,M,NC, D, M, N належать одному колу. Чому дорівнює відношення AB/BCAB / BC? (A) 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} (B) 2\sqrt{2} (C) 32\frac{3}{2} (D) 3\sqrt{3} (E) 22
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-014

Трикутник з бісектрисою і дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з вершини AA. Нехай ω\omega — коло, що дотикається до прямої ACAC в точці AA і проходить через DD. Нехай PP — друга точка перетину кола ω\omega з прямою BCBC. Відомо, що AC=54AC=54, AD=63AD=63 і CP=108CP=108. Знайдіть довжину відрізка ABAB. (A) 72 (B) 1472\frac{147}{2} (C) 98 (D) 99 (E) 102
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-003

Симетрична точка в трикутнику з перетинами кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якому BC>CA>ABBC > CA > AB. Нехай ω\omega і γ\gamma — кола, що проходять через AA з центрами відповідно BB і CC. Вони перетинають відрізок BCBC у точках MM і NN відповідно. Нехай ZZ — точка, симетрична AA відносно середини відрізка MNMN. a. Нехай PP — точка перетину прямих ZMZM і ACAC. Показати, що трикутник CPMCPM рівнобедрений. b. Нехай XX — точка перетину прямої ZMZM з колом ω\omega, відмінна від MM. Показати, що прямі BXBX і ACAC паралельні. c. Нехай YY — точка перетину прямої ZNZN з колом γ\gamma, відмінна від NN. Показати, що точки A,XA, X і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-002

Середина відрізка на діагоналі квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат, а XX — довільна точка на стороні BCBC між BB і CC. Нехай YY — точка на прямій CDCD така, що BX=YDBX = YD і DD лежить між CC і YY. Доведіть, що середина відрізка XYXY лежить на діагоналі BDBD.
10–11 класиМетод координат
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-003

Опуклі многокутники з одиничних квадратів і трикутників

Маємо необмежений запас квадратних плиток зі стороною 11 та рівносторонніх трикутних плиток зі стороною 11. Для яких nn з цих плиток можна скласти опуклий nn-кутник? Плитки мають прилягати одна до одної без проміжків і не можуть накладатися.
10–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-007

Площа трикутника серед 13 точок на колі

На колі радіуса 13 позначено 13 точок. Доведіть, що можна вибрати три з позначених точок, які утворюють трикутник з площею, меншою за 13.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-010

Бісектриса кута при внутрішньому дотику кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — кола, що дотикаються внутрішньо в точці AA, причому Γ1\Gamma_{1} лежить усередині кола Γ2\Gamma_{2}. Нехай BCBC — хорда кола Γ2\Gamma_{2}, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці DD. Доведіть, що пряма ADAD є бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-005

Ділення навпіл у трикутнику з висотами і колами

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Нехай PP — основа висоти з CC на ABAB, а QQ — основа висоти з BB на ACAC. Нехай XX — перетин прямих PQPQ і BCBC. Нехай перетин описаних кіл трикутника △AXC\triangle AXC і трикутника △PQC\triangle PQC складається з двох різних точок: CC і YY. Доведіть, що пряма PYPY ділить відрізок AXAX навпіл.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-005

Рівновіддалені точки на клітчастій дошці

На клітчастому папері, зображеному на рисунку, кажемо, що дві або більше точок у перетинах ліній є рівновіддаленими відносно фіксованої точки, коли їхні відстані до неї рівні. Наприклад, BB і CC рівновіддалені відносно AA, а BB і DD — ні. a) Позначте на клітчастому папері нижче точки, рівновіддалені з KK відносно JJ. b) Якщо точки не зобов'язані лежати в перетинах ліній, яку фігуру утворять у площині клітчастого паперу точки, рівновіддалені з KK відносно JJ? c) Якщо точки не зобов'язані лежати в площині клітчастого паперу, яку фігуру утворять точки, рівновіддалені з KK відносно JJ?
8–9 класиДискретні набори точок та прямих…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-032

Середини діагоналей трапеції

У трапеції ABCDABCD сторони ABAB і CDCD паралельні. Нехай MM — середина діагоналі ACAC, NN — середина діагоналі BDBD, а PP — середина сторони ABAB. Відомо, що AB=15 смAB = 15\ \text{см}, CD=24 смCD = 24\ \text{см}, а висота трапеції дорівнює h=14 смh = 14\ \text{см}. a) Обчисліть довжину відрізка MNMN. b) Обчисліть площу трикутника MNPMNP.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-008

Чотирикутник з бісектрисою кута та умовою на довжини

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що AC=BC+CDAC = BC + CD. Якщо ∠BCD=120∘\angle BCD = 120^{\circ}, CA‾\overline{CA} — бісектриса і AB=xAB = x, то як виразити BDBD через xx?
8–9 класиЗастосування тригонометрії
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-035

Квадрат з рівними відстанями від точки

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 28 см28~\text{см}. Нехай PP — внутрішня точка квадрата, а EE — точка на стороні CDCD така, що відрізок PEPE перпендикулярний до сторони CDCD. Крім того, AP=BP=PEAP = BP = PE. Знайдіть довжину відрізка APAP.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-036

Паралелограм з бісектрисою і перпендикулярами

У паралелограмі ABCDA B C D кут BADB A D гострий, а сторона ADA D менша за сторону ABA B. Бісектриса кута ∠BAD\angle B A D перетинає сторону CDC D в EE. Через DD проведено перпендикуляр до прямої AEA E, який перетинає AEA E в PP і ABA B в FF. Через EE проведено перпендикуляр до прямої AEA E, який перетинає сторону BCB C в QQ. Крім того, відрізок PQP Q паралельний стороні ABA B, а довжина сторони ABA B дорівнює 20 см20 \text{ см}. а) Знайдіть значення CQAD\frac{C Q}{A D}. б) Знайдіть довжину сторони ADA D.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-011

Кути в рівнобедрених трикутниках

На рисунку трикутники △ADE\triangle A D E і △ABC\triangle A B C рівнобедрені. Якщо ∠DFC=150∘\angle D F C=150^{\circ}, знайдіть градусну міру ∠FDB\angle F D B.
8–9 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-037

Кути з центром описаного кола на продовженнях сторін

У трикутнику ABCABC маємо кути ∠ACB=65∘\angle ACB = 65^{\circ} і ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^{\circ}. На продовженнях сторони BCBC позначено точку PP таку, що BP=ABBP = AB і BB лежить між PP і CC; і точку QQ таку, що CQ=ACCQ = AC і CC лежить між BB і QQ. Якщо OO — центр кола, яке проходить через AA, PP і QQ, знайдіть величини кутів ∠OAQ\angle OAQ і ∠OAP\angle OAP.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-013

Кут між бісектрисами трикутників ADB і CEB

На рисунку ∠ABC=100∘\angle ABC = 100^\circ, ∠FAC=3∠ECB\angle FAC = 3 \angle ECB і ∠GCA=3∠DAB\angle GCA = 3 \angle DAB. Знайдіть величину гострого кута на перетині внутрішніх бісектрис трикутників △ADB\triangle ADB і △CEB\triangle CEB, що відповідають кутам DD і EE.
8–9 класиСума кутів трикутника. Зовнішні к…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-039

Квадрат з рівними відрізками на сторонах

Розглянемо квадрат ABCDABCD з центром OO. Нехай E,F,GE, F, G і HH — внутрішні точки сторін AB,BC,CDAB, BC, CD і DADA відповідно, такі, що AE=BF=CG=DHAE = BF = CG = DH. Відомо, що OAOA перетинає HEHE в точці XX, OBOB перетинає EFEF в точці YY, OCOC перетинає FGFG в точці ZZ і ODOD перетинає GHGH в точці WW. Нехай xx і yy — довжини відрізків AEAE і AHAH відповідно. а) Якщо площа (EFGH)=1 см2(EFGH) = 1\ \text{см}^2, обчисліть значення x2+y2x^2 + y^2. б) Доведіть, що HX=yx+yHX = \frac{y}{x+y}. Далі доведіть, що X,Y,ZX, Y, Z і WW — вершини квадрата. в) Обчисліть Площа (ABCD)⋅(ABCD) \cdot Площа (XYZW)(XYZW).
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-014

Найкоротший шлях до намету через річку

Жука — скаут, який досліджує околиці свого табору. Зібравши фрукти та дрова, він має набрати води в річці й повернутися до свого намету. На рисунку позначимо Жуку літерою JJ, річку — літерою rr, а його намет — літерою BB. Відстань між основами перпендикулярів CC і EE, проведених до rr з точок JJ і BB, становить 180 м180\ \text{м}. Яка найменша відстань, яку Жука може пройти, щоб повернутися до свого намету, зайшовши до річки?
8–9 класиСиметрія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-015

Трикутник і піраміда в кубі

У кубі ABCDEFGHABCD EFGH, ребро якого дорівнює 6 см6~\text{см}, точка MM — середина ребра EF‾\overline{EF}. a) Знайдіть площу трикутника AMHAMH. b) Знайдіть об'єм піраміди AMHEAMHE. (Об'єм піраміди можна обчислити як третину добутку площі основи на висоту, проведену до цієї основи). c) Обчисліть довжину висоти, проведеної до основи AMHAMH.
8–9 класиПлоща трикутника

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.