Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-003

Велика сім'я підмножин та їхній спільний перетин

Нехай SS – це деяка множина, що складається з nn елементів, FF – це сукупність підмножин SS, що складається з 2n−12^{n-1} таких підмножин, що кожні три такі підмножини мають непорожній перетин. а) Показати, що перетин усіх підмножин з FF непорожній. б) Якщо замінити кількість множин з 2n−12^{n-1} на 2n−1−12^{n-1}-1 чи зміниться попередня відповідь?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-011

Найменша кількість жовто-блакитних клітинок таблиці n на n

Нехай задано натуральні числа m<nm < n. Розглянемо таблицю розміром n×nn \times n, у комірках якої довільним чином записані усі числа від 11 до n2n^2. В кожному рядочку таблиці пофарбуємо в жовтий колір mm найбільших елементів. Аналогічно, блакитним пофарбуємо mm найбільших елементів в кожному стовпчику. Знайти найменшу можливу кількість клітинок, що пофарбовані жовтим і блакитним одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-002

Найбільша довжина рядка з цифр і літер

У рядок записані символи – цифри від 00 до 99 та українські букви (їх 3333). Деякі символи можуть повторюватися. При цьому у рядку немає таких двох різних цифр nin_i та njn_j, що ni>njn_i > n_j та nin_i знаходиться у рядку лівіше за njn_j. Також немає таких двох різних букв lil_i та ljl_j, що lil_i зустрічається у алфавіті пізніше за ljl_j і при цьому lil_i знаходиться у рядку лівіше за ljl_j. Також немає двох однакових символів, які ідуть підряд або через один символ. Яка найбільша кількість символів (цифр та букв разом) може бути у такому рядку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-007

Періодичність послідовності графів зі спільними сусідами

На площині є граф Γ0\Gamma_0 з вершинами A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n. Граф Γm+1\Gamma_{m+1} будується таким чином – у графі Γm\Gamma_m витираємо усі ребра, а нові ребра будуються за правилом: дві різні вершин AiA_i і AjA_j з'єднуються ребром тоді і тільки тоді, коли існує відмінна від них третя вершина AkA_k така, що AkA_k була одночасно зв'язана з AiA_i і AjA_j. Довести, що нескінченна послідовність (Γm)(\Gamma_m), m∈Nm \in N починаючи з деякого номера періодична з періодом T≤2nT \le 2^n.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-003

Многочлен з коефіцієнтами 1, 0, -1, кратний (x-1)^k

kk, nn – такі натуральні числа, що задовольняють умові: k+1≤n+1ln⁡(n+1)k+1 \le \sqrt{\frac{n+1}{\ln(n+1)}}. Доведіть, що існує многочлен P(x)P(x) степеня nn з коефіцієнтами 1,0,−11, 0, -1, який ділиться на (x−1)k(x-1)^k без остачі.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-007

25 людей і спільна мова з десятьма

Є 25 людей, кожні двоє з яких спілкуються деякою мовою. Причому будь-які двоє людей спілкуються між собою тільки однією мовою, навіть якщо вони знають і інші спільні мови. Відомо, що серед будь-яких трьох людей знайдеться принаймні одна людина, яка спілкується з двома іншими з цих трьох однією й тією ж самою мовою. Доведіть, що знайдеться людина, яка спілкується однією й тією ж самою мовою з деякими 10 іншими людьми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-011

Лампи в ряд і момент одночасного вимкнення

Є n≥2n \ge 2 ламп L1,…,LnL_1, \ldots, L_n, розташованих в ряд, кожна з яких може бути в одному з двох станів – «вкл» або «викл». Кожної секунди лампи одночасно змінюють свій стан за такими правилами: – якщо лампа LiL_i та її сусіди (при i=1,i=ni=1, i=n лампа має рівно одного сусіда, при інших – двох) перебувають в однаковому стані, то вона приймає стан «викл»; – інакше вона приймає стан «вкл». У початковому положенні усі лампи перебувають у стані «викл», окрім крайньої лівої лампи, яка має стан «вкл». а) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких усі лампи будуть з часом у стані «викл». б) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких лампи не будуть усі одночасно в положенні «викл» ні в який момент часу.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-012

Нескінченно багато n з малими простими дільниками n²+n+1

Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що всі прості дільники числа (n2+n+1)(n^2+n+1) не перевищують n\sqrt{n}.
10–11 класиРівняння Пелля
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-008

Солдати в шерензі та двоє в кінці тренування

Капітан Петренко знову вишикував роту солдатів в одну шеренгу обличчям до себе і проводить з ними наступне стройове тренування. За його командою один із солдатів, що стоїть обличчям до капітана, але не є крайнім у шерензі, робить крок уперед і йде геть, а два його сусіди повертаються кругом, після чого шеренга змикається. Такі операції повторюються, доки це можливо. Для якої початкової кількості солдатів тренування може бути проведеним так, щоб у кінцевій ситуації в шерензі залишилися лише два солдати?
10–11 класиОстача від ділення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-003

Чудова таблиця 1019 × 1019 і найбільше число

Для таблиці розміром 1019×10191019 \times 1019, заповненої натуральними числами, позначимо через XiX_i множину чисел в її ii-му рядку, а через YiY_i — множину чисел в її ii-му стовпчику, 1≤i≤10191 \le i \le 1019. У випадку, якщо всі множини X1,X2,…,X1019X_1, X_2, \ldots, X_{1019}, Y1,Y2,…,Y1019Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1019} є попарно різними, таку таблицю назвемо чудовою. Знайдіть найменше можливе значення найбільшого числа в чудовій таблиці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-007

Вартість задач і підсумкові оцінки учасників олімпіади

У олімпіаді з математики взяли участь 30 учнів. Їм було запропоновано 8 задач. Спочатку журі перевірило роботи учасників, виставивши по кожній задачі оцінку “розв'язано” чи “не розв'язано”. Потім для кожної задачі було визначено її вартість — натуральне число, що дорівнює кількості учасників, які її не розв'язали. Сума вартостей усіх задач, розв'язаних тим чи іншим учнем, склала його підсумкову оцінку. З'ясувалося, що Петрик П'яточкін одержав оцінку, нижчу за всіх інших. Яку найбільшу оцінку він міг одержати?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-012

Розфарбування сторін і діагоналей n-кутника в k кольорів

Сторони та діагоналі правильного nn-кутника розфарбовано в kk кольорів так, що для кожного кольору aa та кожної пари різних вершин AA і BB многокутника або існує третя вершина CC така, що відрізки ACAC і CBCB пофарбовано в колір aa або сам відрізок ABAB пофарбовано в колір aa, і не існує жодного трикутника з вершинами серед вершин даного nn-кутника, сторони якого пофарбовано в три різні кольори. Доведіть, що k≤2k \le 2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-003

Найбільша кількість триколірних точок з умовою всередині трикутників

Знайдіть найбільше ціле число nn, для якого в площині можна відмітити nn різних точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і пофарбувати кожну з цих точок в один з трьох кольорів — червоний, зелений або жовтий — так, щоб одночасно: усередині кожного трикутника з трьома червоними вершинами містилася хоча б одна зелена точка; усередині кожного трикутника з трьома зеленими вершинами містилася хоча б одна жовта точка; усередині кожного трикутника з трьома жовтими вершинами містилася хоча б одна червона точка.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-006

Чесні розподіли задач між 2n учасниками

У математичному змаганні беруть участь 2n2n школярів. Кожен з них подав до журі свою задачу. Зібрані в такий спосіб 2n2n задач пропонуються учасникам змагання: кожному учаснику по одній задачі. Змагання вважається “чесним”, якщо всіх його учасників можна розділити на дві групи по nn осіб так, щоб кожен з учасників з першої групи отримав задачу, подану якимось з учасників другої групи. Доведіть, що кількість усіх можливих “чесних” розподілів поданих задач між учасниками змагання є квадратом цілого числа.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-009

Поділ дружної компанії на три знайомі групи

Компанію людей будемо називати дружною, якщо серед будь-яких трьох її членів знайдуться два, які є знайомими між собою. Чи кожну дружну компанію можна розділити на три групи так, щоб у кожній групі всі люди були попарно знайомими?
10–11 класиКонструкція через симетрією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-003

Найбільше та найменше значення суми дискваліфікацій у турнірі

У футбольному турнірі TT беруть участь nn команд. Турнір відбувається в одне коло. За перемогу нараховується 3 очки, за нічию — 1 очко, за поразку — 0 очок. Після турніру деякі команди можуть бути дискваліфіковані; тоді результати всіх матчів за їх участю анулюються. Після цього результати команд, що залишилися, перераховуються, а новий переможець визначається як команда, котра набрала найбільшу кількість очок серед команд, що залишилися (якщо лише одна команда залишилася недискваліфікованою, то вона й визнається переможцем). Нехай fi(T)f_i(T) (i=1,2,…,n)(i = 1, 2, \ldots, n) — найменша кількість команд, які можуть бути дискваліфікованими в турнірі TT так, щоб команда з номером ii стала переможцем. Позначимо суму f1(T)+f2(T)+…+fn(T)f_1(T) + f_2(T) + \ldots + f_n(T) через F(T)F(T). Для будь-якого n≥5n \ge 5 знайдіть найбільше та найменше значення величини F(T)F(T).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-006

Прості числа у порядку зростання і нерівність

Нехай {pn}n=1∞\{p_n\}_{n=1}^{\infty} — послідовність усіх простих чисел, записаних у порядку зростання: p1=2p_1 = 2, p2=3p_2 = 3, p3=5p_3 = 5, …\ldots. а) Для заданого натурального числа n≥10n \ge 10 через rr позначимо найменше натуральне число, що задовольняє умови 2≤r≤n−22 \le r \le n - 2, n−r+1<prn - r + 1 < p_r. Нехай Ns=(s⋅p1⋅p2⋅…⋅pr−1)−1N_s = \left(s \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{r-1}\right) - 1, s=1,2,…,prs = 1, 2, \ldots, p_r. Доведіть, що існує таке jj, 1≤j≤pr1 \le j \le p_r, що жодне з чисел p1,p2,…,pnp_1, p_2, \ldots, p_n не є дільником числа NjN_j. б) Знайдіть усі натуральні числа mm, для яких pm+12<p1⋅p2⋅…⋅pmp_{m+1}^2 < p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m.
10–11 класиПостулат Бертрана
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-009

Чотири мови конференції та спільна мова учасників

На міжнародній конференції офіційними є чотири мови. Будь-які двоє учасники можуть спілкуватися принаймні однією з цих мов. Доведіть, що не менше від 60% учасників можуть спілкуватися однією й тією ж самою мовою.
10–11 класиРозбиття на випадки
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-005

Перестановки з різними різницями та різниця крайніх чисел

Дано натуральне число nn. Розглядаються всілякі перестановки (a1,a2,…,a2n)\left(a_1, a_2, \ldots, a_{2n}\right) набору (1,2,…,2n)(1, 2, \ldots, 2n) такі, що всі числа ∣ai+1−ai∣\left|a_{i+1} - a_i\right|, 1≤i≤2n−11 \le i \le 2n - 1, різні. Доведіть, що a1−a2n=na_1 - a_{2n} = n тоді й тільки тоді, коли 1≤a2k≤n1 \le a_{2k} \le n, 1≤k≤n1 \le k \le n.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-007

Попарно дружна трійка з трьох різних шкіл

У кожній з трьох шкіл вчиться по 200 учнів. Кожен учень має хоча б по одному другу в кожній із трьох шкіл (якщо учень AA є другом BB, то BB є другом AA). Відомо, що існує множина EE з 300 учнів (вибраних із вказаних вище 600) така, що для кожної школи SS та будь-яких двох учнів x∈Ex \in E, y∈Ey \in E, x∉Sx \notin S, y∉Sy \notin S, кількість друзів учня xx серед учнів SS та кількість друзів учня yy серед учнів SS є різними. Доведіть, що можна вибрати трьох учнів з трьох різних шкіл так, щоб вони були друзями один одного.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-011

Різні підмножини після вилучення спільного елемента

Нехай n≥3n \ge 3 — натуральне число, A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n — попарно різні (тобто неспівпадаючі) підмножини множини S={1;2;3;…;n}S = \{1; 2; 3; \ldots; n\}. Доведіть, що існує елемент x∈Sx \in S такий, що попарно різними є підмножини A1∖{x}A_1 \setminus \{x\}, A2∖{x}A_2 \setminus \{x\}, …\ldots, An∖{x}A_n \setminus \{x\}.
10–11 класиДерева
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-003

Кількість ідеалів невід’ємних чисел для p і q

Нехай pp і qq — задані взаємно прості натуральні числа. Підмножина S⊂{0;1;2;…}S \subset \{0; 1; 2; \ldots\} називається ідеалом множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}, якщо 0∈S0 \in S та для будь-якого n∈Sn \in S числа n+pn + p та n+qn + q обидва належать SS. Для даних pp і qq знайдіть кількість ідеалів множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-009

Найбільше ребер графа на 15 вершинах без одноколірного трикутника

Дано граф з 15 вершинами, деякі з яких з'єднано ребрами. Кожне ребро пофарбоване в червоний або синій колір. При цьому в графі не існує трьох вершин, з'єднаних ребрами одного кольору. Якою може бути найбільша кількість ребер у такому графі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-003

Гра з многочленом xy-1 і натуральні розв'язки рівняння

Мар'ям і Артур грають у гру на дошці: вони роблять ходи по черзі, починає Артур. Спочатку на дошці записано многочлен xy−1xy - 1. На кожному ході гравець замінює поточний многочлен P(x,y)P(x, y) на один із таких: - x⋅P(x,y)x \cdot P(x, y); - y⋅P(x,y)y \cdot P(x, y); - P(x,y)+aP(x, y) + a, де aa — довільне ціле число з проміжку (−∞,2025](-\infty, 2025]. Гра завершується після того, як кожен із гравців зробить по 20252025 ходів. Позначимо через Q(x,y)Q(x, y) многочлен, який залишився на дошці після завершення гри. Мар'ям виграє, якщо рівняння Q(x,y)=0Q(x, y) = 0 має скінченну й непарну кількість розв'язків у натуральних числах (x,y)(x, y). Доведіть, що Мар'ям завжди може виграти, незалежно від дій Артура.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-004

Цілі числа на сітці з умовою для діагональних сусідів

Площину розділили вертикальними та горизонтальними прямими на одиничні квадрати. Чи можна записати цілі числа в клітинки цієї нескінченної сітки на площині так, щоб виконувалися такі умови: а) у кожній клітинці записано рівно одне ціле число; б) кожне ціле число зустрічається рівно один раз; в) для будь-яких двох клітинок AA і BB, які мають лише одну спільну вершину, справджується умова: якщо в них записані числа aa і bb, то принаймні в одній із клітинок, що мають спільну сторону і з AA, і з BB, записане число, яке лежить у діапазоні між aa та bb?
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.