Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-067

Параболи зі спільним фокусом у шестикутнику

Правильний шестикутник ABCDEFA B C D E F має довжину сторони 1 і центр OO. Параболи P1,P2,…,P6P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{6} побудовано зі спільним фокусом OO і директрисами AB,BC,CD,DE,EF,FAA B, B C, C D, D E, E F, F A відповідно. Нехай χ\chi — множина всіх різних точок площини, які лежать принаймні на двох із шести парабол. Обчисліть ∑X∈χ∣OX∣\sum_{X \in \chi}|O X| (Нагадаємо, що фокус — це точка, а директриса — це пряма, такі, що парабола є геометричним місцем точок, рівновіддалених від фокуса та директриси.)
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-073

Кути в правильному п’ятикутнику

Нехай PP — точка всередині правильного п’ятикутника ABCDEA B C D E така, що ∠PAB=48∘\angle P A B = 48^{\circ} і ∠PDC=42∘\angle P D C = 42^{\circ}. Знайдіть ∠BPC\angle B P C у градусах.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-074

Вписаний чотирикутник з основ висот і центроїда

У гострокутному △ABC\triangle ABC з центроїдом GG маємо AB=22AB = 22 і AC=19AC = 19. Нехай EE і FF — основи висот з BB і CC на ACAC і ABAB відповідно. Нехай G′G' — образ GG при симетрії відносно прямої BCBC. Якщо EE, FF, GG і G′G' лежать на одному колі, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-077

Кути перетину зовнівписаних кіл з описаним

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай IAI_{A}, IBI_{B}, ICI_{C} — центри зовнівписаних кіл цього трикутника, що відповідають вершинам AA, BB, CC, а OO — центр описаного кола трикутника. Нехай γA\gamma_{A}, γB\gamma_{B}, γC\gamma_{C} — відповідні зовнівписані кола, а ω\omega — описане коло. XX — одна з точок перетину кіл γA\gamma_{A} і ω\omega. Аналогічно, YY — точка перетину кіл γB\gamma_{B} і ω\omega, а ZZ — точка перетину кіл γC\gamma_{C} і ω\omega. Обчисліть cos⁡∠OXIA+cos⁡∠OYIB+cos⁡∠OZIC.\cos \angle O X I_{A} + \cos \angle O Y I_{B} + \cos \angle O Z I_{C}.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-078

Площа проєкції восьмої частини сфери

Розглянемо восьму частину сфери {(x,y,z)∣x,y,z≥0,x2+y2+z2=1}\{(x, y, z) \mid x, y, z \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. Чому дорівнює площа її проєкції на площину x+y+z=1x+y+z=1?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-082

Рівнобедрений трикутник із поділом кута у відношенні два до одного

У рівнобедреному трикутнику ABCABC (AB=ACAB = AC) точка PP лежить на стороні BCBC. Якщо ∠BAP=2∠CAP\angle BAP = 2 \angle CAP, BP=3BP = \sqrt{3} і CP=1CP = 1, обчисліть довжину відрізка APAP.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-086

Відстань від інцентра до точки з двома прямими кутами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=6AB = 6, AC=7AC = 7, BC=8BC = 8. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Точки ZZ і YY лежать усередині відрізків ABAB і ACAC відповідно так, що YZYZ дотикається до вписаного кола. Для точки PP, такої, що ∠ZPC=∠YPB=90∘\angle ZPC = \angle YPB = 90^\circ знайдіть довжину IPIP.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-090

Точки кола з дотичним описаним колом

Коло Γ\Gamma з центром OO має радіус 1. Розглянемо такі пари точок (A,B)(A, B), що AA лежить усередині кола, а BB — на його межі. Описане коло Ω\Omega трикутника OABO A B перетинає Γ\Gamma ще раз у точці C≠BC \neq B, а пряма ACA C перетинає Γ\Gamma ще раз у точці X≠CX \neq C. Пару (A,B)(A, B) називають текі, якщо пряма OXO X дотикається до кола Ω\Omega. Знайдіть площу області точок AA, для яких існує така точка BB, що (A,B)(A, B) є текі.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-005

Чотири точки на одному колі та дотичне коло

У вписаному чотирикутнику ABCDA B C D нехай EE — точка перетину діагоналей. Пряма через EE, відмінна від ACA C або BDB D, перетинає ABA B у точці PP та BCB C у точці QQ. Коло, яке дотикається до прямої PQP Q у точці EE і проходить через DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDA B C D ще раз у точці RR. Доведіть, що точки B,P,RB, P, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-001

Паралельні прямі з висот і описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відрізки EFEF і ADAD перетинаються в точці GG. Нехай KK — точка описаного кола трикутника ABCABC, діаметрально протилежна точці AA. Пряма AKAK перетинає BCBC в точці MM. Доведіть, що прямі GMGM і HKHK паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-026

Перетин дотичних кіл на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай XX — точка, для якої відрізок AX‾\overline{AX} дотикається до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через ωB\omega_B коло, що проходить через точки MM і BB та дотикається до відрізка MX‾\overline{MX}, а через ωC\omega_C — коло, що проходить через точки NN і CC та дотикається до відрізка NX‾\overline{NX}. Доведіть, що кола ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються на прямій BCBC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-032

Перетин дотичних і паралельні прямі

Нехай дано трикутник ABCABC. Коло kk проходить через AA, перетинає сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає сторону BC‾\overline{BC} в точках FF і GG, причому FF лежить між BB і GG. Дотична до кола, що проходить через BB, DD і FF, в точці FF і дотична до кола, що проходить через CC, EE і GG, в точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що A≠TA \neq T. Доведіть, що прямі ATAT і BCBC паралельні.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-035

Симетричні образи спільної точки чевіан і описане коло

Нехай задано трикутник ABCA B C з описаним колом Ω\Omega та точки A1,B1A_{1}, B_{1} і C1C_{1} на сторонах трикутника BC‾,CA‾\overline{B C}, \overline{C A} і AB‾\overline{A B}, такі, що три прямі AA1,BB1A A_{1}, B B_{1} і CC1C C_{1} мають спільну точку PP. Треба показати, що щонайбільше дві з трьох точок, одержаних відображенням точки PP при центральній симетрії відносно A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1} відповідно, лежать поза колом Ω\Omega.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2019-006

Центр вписаного кола і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр вписаного кола цього трикутника. Пряма через II, перпендикулярна до AIAI, перетинає описане коло △ABC\triangle ABC в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої AIAI, що й BB. Нехай SS — друга точка перетину описаних кіл △BIP\triangle BIP і △CIQ\triangle CIQ. Доведіть, що SISI є бісектрисою ∠PSQ\angle PSQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-012

Перетин прямих на колі від дзеркальних образів точки

Розглянемо трикутник ABCABC і точку PP в його внутрішній області. Точки, симетричні точці PP відносно сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB}, позначимо через A1A_1, B1B_1 і C1C_1. Далі нехай Ω\Omega — описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, а A2A_2, B2B_2 і C2C_2 — другі точки перетину прямих A1PA_1P, B1PB_1P і C1PC_1P з колом Ω\Omega. Доведіть, що три прямі AA2AA_2, BB2BB_2 і CC2CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-013

Спільна точка кола та прямих у трикутнику з паралелограмом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, OO — центр його описаного кола. Точка QQ лежить на описаному колі △BOC\triangle BOC так, що OQOQ — діаметр. Точка MM лежить на прямій CQCQ, а точка NN лежить всередині відрізка BCBC так, що ANCMANC M — паралелограм. Доведіть, що описане коло △BOC\triangle BOC та прямі AQAQ і NMNM проходять через одну точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-017

Вписаний чотирикутник з паралельних прямих

Дано трикутник ABCA B C. На стороні ACA C лежать точки DD і EE так, що порядок точок на цій прямій — A,E,D,CA, E, D, C. Пряма через EE, паралельна до BCB C, перетинає описане коло △ABD\triangle A B D у точці FF, причому EE і FF лежать по різні боки від прямої ABA B. Пряма через EE, паралельна до ABA B, перетинає описане коло △BCD\triangle B C D у точці GG, причому EE і GG лежать по різні боки від прямої BCB C. Доведіть, що DEFGD E F G — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-019

Рівні кути PXM і PYM та вписаний чотирикутник APXY

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а MM — середина відрізка BCBC. Нехай PP — точка така, що PB<PCPB < PC і PAPA паралельна BCBC. Нехай далі XX і YY — точки на прямих PBPB і PCPC відповідно, такі, що BB лежить на відрізку PXPX, а CC лежить на відрізку PYPY, і виконується ∠PXM=∠PYM\angle PXM = \angle PYM. Доведіть, що APXYAPXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-040

Пряма через ортоцентр і перетин на описаному колі

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Пряма через HH перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Нехай KK — центр описаного кола трикутника △AEF\triangle AEF, і припустимо, що пряма AKAK перетинає коло Γ\Gamma знову в точці DD. Доведіть, що пряма HKHK і пряма через DD, перпендикулярна до BC‾\overline{BC}, перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2019-041

Дотик: інцентр і точки дотику зовнівписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, і нехай DD — точка на прямій BCBC, для якої ∠AID=90∘\angle AID = 90^\circ. Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, дотикається до сторони BC‾\overline{BC} у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні CA‾\overline{CA} та C1C_1 на стороні AB‾\overline{AB} визначимо аналогічно, використовуючи зовнівписані кола, протилежні вершинам BB та CC відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник AB1A1C1AB_1A_1C_1 вписаний у коло, то пряма AD‾\overline{AD} дотикається до описаного кола трикутника △DB1C1\triangle DB_1C_1.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-045

Центр вписаного кола рівновіддалений від точок дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник із центром вписаного кола II. Точки KK і LL обрано на відрізку BCBC так, що вписані кола △ABK\triangle ABK і △ABL\triangle ABL дотикаються у точці PP, а вписані кола △ACK\triangle ACK і △ACL\triangle ACL дотикаються у точці QQ. Доведіть, що IP=IQIP = IQ.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-007

Рівнобедрений трикутник з колом на бісектрисі

Луїджі накреслив у своєму зошиті рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому рівні сторони, що виходять з AA, і, провівши внутрішню бісектрису кута ABC^\widehat{ABC}, яка перетинає сторону ACAC в точці PP, помітив, що коло, яке проходить через B,P,CB, P, C, проходить також через середину сторони ABAB. Тоді він замислився над тим, чому дорівнює кут BAC^\widehat{BAC}. Яка відповідь правильна? (A) 30∘30^\circ (B) 45∘45^\circ (C) 60∘60^\circ (D) 90∘90^\circ (E) 105∘105^\circ
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-004

Перпендикулярність у трикутнику з серединою бісектриси

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай DD — основа внутрішньої бісектриси, проведеної з AA, а MM — середина відрізка ADAD. Нехай також XX — точка на відрізку BMBM така, що ∠MXA=∠DAC\angle MXA = \angle DAC. Доведіть, що пряма AXAX перпендикулярна до прямої XCXC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.