Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-004

Гострокутний трикутник ABC, кола через A і прямі PQ

Нехай точка OO — центр описаного кола Ω\Omega фіксованого гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точку DD вибрано на стороні BCBC так, що ∠BDO=∠ACB+12∠BAC\angle BDO = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC. Коло ω\omega, центр якого рівновіддалений від точок OO і DD, перетинає коло Ω\Omega у точках AA і QQ. Також це коло ω\omega перетинає пряму, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої BCBC, у точці PP, яка лежить усередині кола Ω\Omega по той самий бік від прямої BCBC, що й точка AA. Доведіть, що незалежно від вибору кола ω\omega усі прямі PQPQ проходять через фіксовану точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-006

Паралельність лінії центрів при симетрії вершини трикутника

Дано трикутник ABCABC. Точка A1A_1 симетрична точці AA відносно прямої BCBC. Пряма A1CA_1C удруге перетинає описане коло трикутника AA1BAA_1B у точці B1B_1, а пряма A1BA_1B удруге перетинає описане коло трикутника AA1CAA_1C у точці C1C_1. Доведіть, що пряма, яка проходить через центри описаних кіл трикутників ABCABC і A1B1C1A_1B_1C_1, паралельна прямій BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-010

Перетин описаних кіл у трапеції на діагоналі

У трапеції ABCDABCD з основами ABAB та CDCD вибрано довільну точку EE на діагоналі ACAC. На прямій BDBD вибрано точку FF, для якої BE∥CFBE \parallel CF. Доведіть, що точка перетину описаних кіл трикутників ABFABF та BEDBED лежить на прямій ACAC.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-014

Симетрична точка перетину з основою на прямій основ висот

Нехай AHAAH_A та CHCCH_C — висоти трикутника ABCABC, AB≠BCAB \neq BC, пряма, що проходить через вершину BB перпендикулярно до медіани, проведеної із цієї вершини, перетинає пряму ACAC у точці TT. Точка PP симетрична точці TT відносно точки BB. Доведіть, що точка PP лежить на прямій HAHCH_AH_C.
10–11 класиАнтипаралельні прямі
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-003

Дотичні до кіл через основи висот і описане коло

Висоти AH1AH_1 та BH2BH_2 гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в ортоцентрі HH. Коло w1w_1 проходить через точку H2H_2 та дотикається до сторони BCBC у точці H1H_1, а коло w2w_2 проходить через точку H1H_1 та дотикається до сторони ACAC у точці H2H_2. Доведіть, що другі дотичні BXBX та AYAY до кіл w1w_1 і w2w_2 відповідно (X≠H1X \ne H_1 та Y≠H2Y \ne H_2) перетинаються на описаному колі трикутника XHYXHY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-011

Бісектриса кута A ділить відрізок A'X навпіл

Дано нерівнобедрений трикутник ABCABC з кутом ∠A=60∘\angle A = 60^\circ і висотами BEBE та CFCF. Нехай деяка точка XX симетрична ортоцентру трикутника ABCABC відносно серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Нехай A′A' — точка, симетрична вершині AA відносно прямої BCBC. Доведіть, що бісектриса кута BACBAC ділить відрізок A′XA'X навпіл.
7–9 класиТеорема про тризуб
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-007

Коло через ортоцентр і перетини зі сторонами трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC точка HH — ортоцентр, а точка MM — середина сторони ACAC. Нехай пряма, що проходить через HH перпендикулярно до відрізка BMBM, перетинає пряму ACAC у точці TT, а пряма, що проходить через TT паралельно до BMBM, перетинає прямі BABA і BCBC у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки B,K,L,HB, K, L, H лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-011

Бісектриса кута 60° ділить відрізок A'X навпіл

Дано нерівнобедрений трикутник ABCABC з кутом AA, що дорівнює 60∘60^\circ, і висотами BEBE і CFCF. Нехай XX — точка, симетрична ортоцентру трикутника ABCABC відносно серединного перпендикуляра до сторони BCBC, а точка A′A' симетрична вершині AA відносно прямої BCBC. Доведіть, що бісектриса кута BACBAC ділить відрізок A′XA'X навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-004

Гострокутний трикутник, паралелограм ABGH і коло GCI

Задано гострокутний трикутник ABCABC з ортоцентром HH. Виберемо точку GG таким чином, що ABGHABGH — паралелограм. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC проходить через середину відрізка HIHI. Пряма ACAC перетинає описане коло трикутника GCIGCI в точках JJ і CC. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-015

Кола PQN через фіксовану точку

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Точка NN — середина сторони ACAC, MM — довільна точка на стороні ABAB. Позначимо літерами PP та QQ основи перпендикулярів, які опущені з точки AA на прямі MCMC і MNMN відповідно. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників PQNPQN, проходять через фіксовану точку, відмінну від NN, незалежно від вибору точки MM.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-003

Середини сторін трикутника, коло і симетричні точки

Задано трикутник ABCABC, у якому CA≠CBCA \neq CB. Нехай точки DD, FF і GG — середини сторін ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Коло Γ\Gamma, що проходить через точку CC і дотикається до сторони ABAB у точці DD, перетинає відрізки AFAF і BGBG у точках HH та II відповідно. Точки H′H' і I′I' симетричні HH та II відносно FF і GG відповідно. Пряма H′I′H'I' перетинає CDCD і FGFG у точках QQ і MM відповідно. Пряма CMCM вдруге перетинає коло Γ\Gamma у точці PP. Доведіть, що CQ=QPCQ = QP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-007

MH і перпендикуляр до AC на колі BA'P

Висоти AA′AA' і BB′BB' трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка MM — середина ABAB. Прямі ABAB і A′B′A'B' перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма MHMH і перпендикуляр до прямої ACAC, який проходить через точку PP, перетинаються на описаному колі трикутника BA′PBA'P.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-010

Висоти трикутника з кутом 45° та перпендикулярність KM

У гострокутному трикутнику ABCABC (∠B=45∘\angle B = 45^\circ) проведено висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1. На сторонах ABAB та BCBC вибрано точки KK та NN відповідно таким чином, що B1K⊥ABB_1K \perp AB та B1N⊥BCB_1N \perp BC. На відрізку A1C1A_1C_1 вибираємо таку точку MM, що BM=KNBM = KN. Доведіть, що KM⊥BCKM \perp BC.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-011

Точка R на прямій PQ в гострокутному трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB>BCAB > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — центр ω\omega. Бісектриса кута ABCABC перетинає коло ω\omega в точці M≠BM \ne B. Нехай γ\gamma — коло діаметра BMBM. Бісектриси кутів AOBAOB і BOCBOC перетинають коло γ\gamma в точках PP і QQ відповідно. На прямій PQPQ вибрали точку RR так, що BR=MRBR = MR. Доведіть, що BR∥ACBR \parallel AC. Примітка. Вважаємо, що бісектриса — це промінь.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-012

Рівність відрізків QB і QR у трикутнику

Нехай задано трикутник ABCABC, у якому ∠B>∠C\angle B > \angle C. Нехай PP і QQ — дві різні точки на прямій ACAC такі, що ∠PBA=∠QBA=∠ACB\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB, а точка AA лежить між PP і CC. Припустимо, що всередині відрізка BQBQ існує точка DD, для якої виконується рівність PD=PBPD = PB. Нехай промінь ADAD перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці R≠AR \ne A. Доведіть, що QB=QRQB = QR.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-004

Бісектриса, зовнівписане коло і середина сторони

Зовнівписане коло різностороннього трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці KK. Описані кола трикутників AKBAKB та AKCAKC удруге перетинають бісектрису кута AA в точках XX і YY. Нехай MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XYMXYM лежить на BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-002

Пряма AI, точки дотику вписаного кола і циклічність

У трикутник ABCABC, у якому AB>ACAB > AC, вписано коло з центром у точці II, яке дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина сторони BCBC, AHAH — висота трикутника ABCABC. Пряма AIAI перетинає прямі DEDE та DFDF у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки MM, LL, HH, KK — циклічні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-008

Бісектриса і коло через B, C, X, Y

Відомо, що сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC мають різну довжину. Нехай точка OO — центр описаного кола, а відрізок ADAD — бісектриса трикутника. Точка EE симетрична точці DD відносно середини сторони BCBC. Пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через точку DD, перетинає пряму AOAO в точці XX, а пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через EE, перетинає пряму ADAD у точці YY. Доведіть, що BB, CC, XX та YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-004

Геометричне місце точок X при вписаному колі

Вписане в рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC) коло ω\omega дотикається до його сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. На продовженні сторони BCBC за точку BB вибрано довільну точку MM. Пряма MLML удруге перетинає ω\omega у точці NN, пряма BNBN вдруге перетинає ω\omega у точці PP. На прямій PKPK відмічено точку XX, так що KK лежить між PP та XX і KX=KMKX = KM. Визначте геометричне місце точок XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-001

Трапеція, рівні кути та кола через середину

Задана трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай існують такі точки EE на прямій BCBC, зовні відрізку BCBC, та точка FF всередині відрізку ADAD такі, що ∠DAE=∠CBF\angle DAE = \angle CBF. Позначимо через II та JJ точки перетину з прямою EFEF прямих CDCD та ABAB відповідно. Нехай точка KK – середина відрізку EFEF і вона не лежить на прямій ABAB. Довести, що точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника ABIABI тоді і тільки тоді, коли точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника CDJCDJ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-005

П'ять точок на колі та трикутник з ортоцентрів

Нехай A,B,C,DA, B, C, D та EE – послідовні точки на колі з центром в точці OO, такі, що AC=BD=CE=DOAC = BD = CE = DO. Нехай точки H1,H2H_1, H_2 та H3H_3 – це точки перетину висот трикутників ACD,BCDACD, BCD та BCEBCE відповідно. Довести, що трикутник H1H2H3H_1H_2H_3 – прямокутний.
10–11 класиВекторний метод
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-001

Різниця кутів MTB і CTM у рівнобедреному трикутнику

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC). Позначимо через MM середину сторони BCBC. Нехай XX – деяка точка на меншій з дуг MAMA описаного навколо трикутника ABMABM кола. Точка TT, що лежить всередині кута BMABMA, така, що ∠TMX=90∘\angle TMX = 90^\circ та TX=BXTX = BX. Доведіть, що різниця ∠MTB−∠CTM\angle MTB - \angle CTM не залежить від положення точки XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-002

Трапеція з перпендикулярними діагоналями, точка M і бісектриси

У трапеції ABCDABCD з основами AD,BCAD, BC кут між діагоналями прямий. Всередині ABCDABCD існує така точка MM, відмінна від точки перетину діагоналей, що ∠AMB=∠CMD=90∘\angle AMB = \angle CMD = 90^\circ. Нехай PP – точка перетину бісектрис кутів ∠A\angle A і ∠C\angle C, QQ – точка перетину бісектрис кутів ∠B\angle B і ∠D\angle D. Довести, що ∠PMB=∠QMC\angle PMB = \angle QMC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-005

Два кола, що перетинаються, і паралельні дотичні

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в двох різних точках AA і BB. Через точку BB проведено пряму, яка вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці KK, а коло ω2\omega_2 — у точці MM (точки KK і MM відмінні від AA). Нехай пряма ℓ1\ell_1 паралельна прямій AMAM і дотикається до кола ω1\omega_1 у точці QQ, відмінній від точок AA і BB. Пряма AQAQ вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці RR. а) Доведіть, що пряма ℓ2\ell_2, яка дотикається до кола ω2\omega_2 в точці RR, паралельна прямій AKAK; б) Доведіть, що прямі ℓ1\ell_1, ℓ2\ell_2 і KMKM перетинаються в одній точці.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.