Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-018

Тупикові ребра через розбиття з малою кількістю ребер

Нехай GG — граф з nn вершинами. Ребро ee графа GG називається тупиком, якщо вершини графа GG можна розбити на дві множини AA і BB так, що: - є не більше 20232023 ребер графа GG, що мають один кінець в AA, а другий — в BB. - ребро ee має один свій кінець в AA, а другий — в BB. Доведіть, що є не більше 2023(n−1)2023(n-1) тупиків.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-010

Максимальна кількість дітей зі спільним кольором цукерки

Нехай k,n⩾1k, n \geqslant 1 — два фіксовані цілі числа. У Таніми було 2n2n цукерок кожного кольору. Вона дала кожній дитині зі своєї родини по дві цукерки різних кольорів. Відомо, що хоч би як вибрати k+1k+1 дітей, серед них знайдуться двоє, які отримали спільний колір цукерки. Знайдіть максимально можливу кількість дітей.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-104

Шикування турніру з умовою про сусідів

Тисяча людей бере участь у тенісному турнірі, де кожен грає з кожним рівно один раз, і нічиїх немає. Доведіть, що всіх учасників можна вишикувати в ряд так, щоб кожен із 998 людей, які не стоять на кінцях ряду, або переміг обох своїх сусідів, або програв обом своїм сусідам.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-038

Відстані у графі, які ділять різницю цілих чисел

Нехай GG — граф, вершинами якого є цілі числа. Припустимо, що будь-які два цілі числа сполучені скінченним шляхом у GG. Для двох цілих чисел xx і yy через d(x,y)d(x, y) позначимо довжину найкоротшого шляху від xx до yy, де довжина шляху — це кількість ребер у ньому. Припустимо, що d(x,y)∣x−yd(x, y) \mid x-y для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, і визначимо S(G)={d(x,y)∣x,y∈Z}S(G)=\{d(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}\}. Знайдіть усі можливі множини S(G)S(G).
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-029

Необмежена різниця ітерованої функції

Зафіксуймо функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} і для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} визначимо Δ(m,n)=f(f(…f(m)… ))⏟f(n) разів−f(f(…f(n)… ))⏟f(m) разів.\Delta(m, n) = \underbrace{f(f(\dots f(m)\dots))}_{f(n) \text{ разів}} - \underbrace{f(f(\dots f(n)\dots))}_{f(m) \text{ разів}}. Припустімо, що Δ(m,n)≠0\Delta(m, n) \neq 0 для будь-яких різних m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що Δ\Delta є необмеженою, тобто що для будь-якої сталої CC існують m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, для яких ∣Δ(m,n)∣>C|\Delta(m, n)| > C.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-003

Максимальна лабіринтова підмножина в сітці

Дано таблицю 2n×2n2n \times 2n, підмножина SS її клітинок називається лабіринтовою, якщо вона має такі властивості: - з кожної клітинки SS можна перейти до будь-якої іншої клітинки SS, рухаючись лише з клітинок SS до суміжних клітинок SS (по горизонталі або вертикалі, тобто тих, що мають спільну сторону з вихідною клітинкою); - неможливо, починаючи з клітинки SS, повернутися до тієї ж клітинки, рухаючись лише до суміжних клітинок SS і ніколи не перетинаючи одну й ту саму сторону двічі. a. Доведіть, що якщо SS є лабіринтовою, то вона не може мати більше ніж 3n23n^{2} клітинок; b. Наведіть приклад лабіринтової множини з 12 клітинок для n=2n=2. c. Назвемо периметром множини SS кількість сторін, суміжних принаймні з однією клітинкою SS, але не з двома клітинками SS. Якщо SS є лабіринтовою і складається з kk клітинок, чому дорівнює її периметр? d. Доведіть, що не існує лабіринтової множини з 300 клітинок, якщо n=10n=10.
10–11 класиДерева
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-002

Кліка розміру 7 у регулярному графі

В офісі є 20232023 співробітники, кожен з яких знає рівно 16861686 інших. Для будь-якої пари співробітників або вони обоє знають один одного, або обоє не знають один одного. Доведіть, що можна знайти 77 співробітників, кожен з яких знає всіх 66 інших.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-049

Еквівалентність подільних і переставних графів

Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається подільним, якщо можна кожній вершині ss графа GG присвоїти номер nsn_{s} так, що будь-які дві різні вершини завжди мають два різні номери, а будь-які дві вершини ss і s′s^{\prime} з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли ns∣ns′n_{s} \mid n_{s^{\prime}} або ns′∣nsn_{s^{\prime}} \mid n_{s}. Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається переставним, якщо можна пронумерувати вершини графа GG від 11 до nn і існує перестановка σ\sigma множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} така, що вершини з номерами ii і jj з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли (i−j)(σ(i)−σ(j))<0(i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))<0. Доведіть, що граф GG є переставним тоді й лише тоді, коли GG та його доповнення є подільними.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-004

Квазірозфарбування графів з обмеженням на степені

Назвемо простий граф GG квазі-розфарбовуваним, якщо кожне його ребро можна пофарбувати в синій, червоний, зелений або білий колір так, щоб - для кожної вершини vv степеня 33 у GG три ребра, що містять vv як кінцеву вершину, були пофарбовані або в синій, червоний і зелений кольори, або всі три ребра були білими, - не всі ребра були білими. Зв'язний граф GG має aa вершин степеня 44, bb вершин степеня 33 і не має інших вершин, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменше дійсне число cc, для якого таке твердження є істинним: «Якщо a/b>ca / b > c, то GG є квазі-розфарбовуваним».
10–11 класиДерева2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-078

Шляхи на круговому графі з хордами

Будинок складається з 20 кімнат, пронумерованих 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 і розташованих по колу за годинниковою стрілкою. Щоб перейти з однієї кімнати до іншої, можна або пройти до наступної кімнати за годинниковою стрілкою (тобто з кімнати ii до кімнати (i+1) mod 20(i+1) \bmod 20), або пройти через центр до протилежної кімнати (тобто з кімнати ii до кімнати (i+10) mod 20(i+10) \bmod 20). Знайдіть кількість способів перейти з кімнати 10 до кімнати 20, не відвідуючи жодної кімнати двічі.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-019

Гамільтонові цикли на дошці 4×4

Кімоті починає з нижньої лівої клітинки шахової дошки 4×44 \times 4. За один крок він може перейти вгору, вниз, вліво або вправо на сусідню клітинку. Кімоті робить 1616 кроків і повертається туди, звідки починав, відвідуючи кожну клітинку рівно один раз (окрім початкової/кінцевої клітинки). Скільки шляхів він міг пройти?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-081

Множини, замкнені щодо подвоєння за модулем 16

Обчисліть кількість множин SS таких, що кожен елемент SS є невід'ємним цілим числом, меншим за 1616, і якщо x∈Sx \in S, то (2x mod 16)∈S(2x \bmod 16) \in S.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-039

Перестановки, що зберігають простоту сум

Обчисліть кількість перестановок π\pi множини {1,2,…,10}\{1,2, \ldots, 10\} таких, що для всіх (не обов'язково різних) m,n∈{1,2,…,10}m, n \in\{1,2, \ldots, 10\}, для яких m+nm+n — просте, сума π(m)+π(n)\pi(m)+\pi(n) також є простою.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2022-015

Гра з монетами на графі з квотами вершин

Дано (простий) граф GG з n≥2n \geq 2 вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} і m≥1m \geq 1 ребрами, Жоель і Роберт грають у таку гру з mm монетами: i) Спочатку Жоель приписує кожній вершині viv_{i} невід'ємне ціле число wiw_{i} таке, що w1+⋯+wn=mw_{1}+\cdots+w_{n}=m. ii) Потім Роберт вибирає (можливо, порожню) підмножину ребер, і для кожного вибраного ребра він кладе монету рівно на один із двох його кінців, а потім вилучає це ребро з графа. Коли він закінчить, кількість монет на кожній вершині viv_{i} має бути не більшою за wiw_{i}. iii) Потім Жоель робить те саме для всіх ребер, що залишилися. iv) Жоель перемагає, якщо кількість монет на кожній вершині viv_{i} дорівнює wiw_{i}. Визначте всі графи GG, для яких Жоель має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-018

Монохроматичні трикутники в розфарбованому п'ятикутнику

Кожна з 55 сторін і 55 діагоналей правильного п'ятикутника випадково і незалежно забарвлюється в червоний або синій колір з однаковою ймовірністю. Яка ймовірність того, що існуватиме трикутник, вершини якого є серед вершин п'ятикутника, такий, що всі його сторони мають однаковий колір?
8–10 класиСтепені вершин
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-004

Найбільша кількість кабелів у зв'язному двочастковому графі

В організації працює 30 співробітників: у 20 із них комп'ютери марки A, а в решти 10 — комп'ютери марки B. З міркувань безпеки комп'ютери можна з'єднувати лише між собою і лише кабелями, причому кабель може з'єднувати лише комп'ютер марки A із комп'ютером марки B. Співробітники можуть спілкуватися один з одним, якщо їхні комп'ютери з'єднані кабелем безпосередньо або якщо повідомлення передаються далі через низку з'єднаних комп'ютерів. Спочатку жоден комп'ютер не з'єднаний з жодним іншим. Технік довільно вибирає по одному комп'ютеру кожної марки та прокладає між ними кабель, якщо між цією парою ще немає кабеля. Технік припиняє роботу, щойно кожен співробітник зможе спілкуватися з кожним іншим. Яка найбільша можлива кількість використаних кабелів? (A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 195 (E) 196
10–11 класиЗв’язність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-002

Мінімальна довжина комбі-числа

Ціле число nn називається комбі-числом, якщо кожна пара різних цифр із множини всіх можливих цифр від 00 до 99 трапляється в його записі принаймні один раз як сусідні цифри. Наприклад, у комбі-числі цифри 33 і 55 мають десь стояти поруч. Не має значення, чи вони йдуть у порядку 3535, чи 5353. Домовимося, що комбі-число ніколи не починається з цифри 00. Яка найменша можлива кількість цифр комбі-числа?
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-016

Збалансований турнір із забороненими четвірками

Розглянемо спортивні турніри з n≥4n \ge 4 командами-учасницями, де кожна пара команд грає між собою щонайбільше один раз. Назвемо такий турнір збалансованим, якщо будь-які чотири команди-учасниці грають між собою рівно три матчі. Отже, не всі команди грають одна проти одної. Визначте найбільше значення nn, для якого існує збалансований турнір з nn командами.
10–11 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-009

Хроматичне число орієнтованого графа

Нехай nn і kk — цілі числа, такі, що n⩾3n \geqslant 3. Тео організовує вибори делегатів у своєму класі з nn учнів: кожен учень має проголосувати за одного зі своїх однокласників (усі є кандидатами), і ніхто не голосує за себе. Потім Тео розподіляє учнів на групи так, щоб якщо учень перебуває в групі, то учень, за якого він проголосував, у ній не перебував. Для яких значень kk Тео напевно зможе розподілити учнів не більш ніж на kk груп, незалежно від того, як учні проголосують?
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-018

Гра з простим числом і перетвореннями цілих чисел

П'єр і Клара грають у таку гру. Спочатку Клара вибирає ціле число cc. Потім П'єр вибирає просте число p⩾cp \geqslant c і записує на дошці два цілі числа aa і bb. Після цього Клара може виконувати такі операції: вона вибирає одне з двох чисел, записаних на дошці, скажімо nn, витирає його і записує замість нього інше ціле число, скажімо mm, таке, що pp ділить (n2−m+1)(m2−n+1)\left(n^{2}-m+1\right)\left(m^{2}-n+1\right). Клара виграє, якщо за скінченну кількість таких операцій їй вдається зробити так, щоб два цілі числа, записані на дошці, стали однаковими. Інакше вона програє, і виграє П'єр. Доведіть, що П'єр може завадити Кларі виграти.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-016

Многогранник із рівних трикутників 36-72-72

Опуклий многогранник має nn граней, усі з яких — рівні трикутники з кутами 36∘36^{\circ}, 72∘72^{\circ} і 72∘72^{\circ}. Знайдіть із доведенням найбільше можливе значення nn.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-079

Очікувана кількість ходів коня на дошці 4×4

На шахівниці 4×44 \times 4 вибирають дві різні клітинки, причому кожна пара клітинок рівноймовірна. На одну з клітинок ставлять коня. Математичне сподівання мінімальної кількості ходів, потрібної коню, щоб дістатися до іншої клітинки, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — додатні цілі числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2021-010

Острови, мости та умова подільності

Для кожного простого pp десь у мультивсесвіті існує королівство, що складається з pp островів, пронумерованих від 11 до pp, з мостом між будь-якою парою з них. Коли Яна відвідує королівство, через коронавірусні обмеження вона мусить дотримуватися такого правила: безпосередньо після відвідування острова mm вона може перейти лише на острів nn, якщо p∣(m2−n+1)(n2−m+1)p \mid (m^{2}-n+1)(n^{2}-m+1) Доведіть, що існує нескінченно багато королівств таких, що Яна не може в такий спосіб дістатися до кожного острова.
10–11 класиЗв’язність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-014

Чорні клітинки з мінімумом змішаних квадратів 2×2

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі цілі числа 1≤k≤2n21 \le k \le 2n^2, що задовольняють таку умову: Є дошка 2n×2n2n \times 2n. Коли kk різних клітинок вибрано і пофарбовано в чорний колір, а решту клітинок пофарбовано в білий, найменша кількість квадратів 2×22 \times 2, які мають одночасно чорні та білі клітинки, дорівнює 2n−12n-1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.