Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

487 задач
АлгебраЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-036

Властивості магічного квадрата 3×3

Квадрат 3×33 \times 3 заповнено числами a,b,c,d,e,f,g,ha, b, c, d, e, f, g, h і ii у такий спосіб: | cc | ff | ii | |:--- |:--- |:--- | | bb | ee | hh | | aa | dd | gg | Відомо, що це магічний квадрат, тобто існує значення SS, яке дорівнює сумам чисел у кожному рядку, стовпці та кожній з двох діагоналей. Доведіть, що: a) 2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4e2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e. b) S=3eS=3 e. c) ac+ci+ag+gi=e(b+d+f+h)a c+c i+a g+g i=e(b+d+f+h). d) 2(a2+c2+g2+i2)=b2+d2+f2+h2+4e22\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}+4 e^{2}.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-015

Косіння трави зі зміною швидкості

Бронкінья може скосити траву на своєму подвір’ї за 3 години, але якщо він вип’є фруктовий сік Gummy, то скошує її за 2 години. Певного дня Бронкінья почав косити траву о 10-й годині й у певний момент випив фруктовий сік Gummy, а закінчив косити о 12 годині 30 хвилин. О котрій годині Бронкінья випив фруктовий сік Gummy?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-017

Підрахунок транспорту за кількістю коліс

На автостоянці є мотоцикли, автомобілі, автобуси та вантажівки, загалом 80 транспортних засобів і 540 коліс. Кожен мотоцикл має 2 колеса, кожен автомобіль має 4, кожен автобус має 6, а кожна вантажівка має 8. Кількість автомобілів дорівнює сумі кількості мотоциклів і кількості автобусів. Скільки вантажівок на цій стоянці, якщо ця кількість менша за 50?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-014

Нерухомі точки температурних перетворень

Рендалл пропонує нову температурну шкалу під назвою Фельсій із таким співвідношенням між Фельсієм {}∘E\{ \}^{\circ} E, Цельсієм {}∘C\{ \}^{\circ} C і Фаренгейтом {}∘F\{ \}^{\circ} F: {}∘E=7×{}∘C5+16=7×{}∘F−809.\{ \}^{\circ} E = \frac{7 \times \{ \}^{\circ} C}{5} + 16 = \frac{7 \times \{ \}^{\circ} F - 80}{9}. Наприклад, 0∘C=16∘E0^{\circ} C = 16^{\circ} E. Нехай x,y,zx, y, z — дійсні числа такі, що x∘C=x∘Ex^{\circ} C = x^{\circ} E, y∘E=y∘Fy^{\circ} E = y^{\circ} F, z∘C=z∘Fz^{\circ} C = z^{\circ} F. Знайдіть x+y+zx + y + z.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-018

Відсоток учнів з очима однакового кольору

В академії Істер-Еґ кожен учень має два ока, кожне з яких може бути кольору яєчної шкаралупи, кремового або кукурудзяного шовку. Відомо, що 30%30\% учнів мають принаймні одне око кольору яєчної шкаралупи, 40%40\% учнів мають принаймні одне кремове око, а 50%50\% учнів мають принаймні одне око кольору кукурудзяного шовку. Який відсоток учнів академії Істер-Еґ має обидва ока однакового кольору?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-107

Ймовірність зупинки на монеті в 10 центів

Крісп Ол, баскетболіст, розкладає монети в 10 і в 5 центів на числовій прямій. Крісп кладе монету в 10 центів на кожне додатне кратне 1010, а монету в 5 центів — на кожне кратне 55, яке не є кратним 1010. Потім Крісп стартує з 00. Щосекунди він з імовірністю 23\frac{2}{3} стрибає зі свого поточного положення xx до x+3x+3, а з імовірністю 13\frac{1}{3} стрибає зі свого поточного положення xx до x+7x+7. Коли Крісп стрибає на монету в 10 або в 5 центів, він припиняє стрибати. Яка ймовірність того, що Крісп зупиниться на монеті в 10 центів?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-022

Система рівнянь про голови й ноги тварин

Фермер Джеймс має дивних тварин. Його кури мають 2 голови та 8 ніг, його павичі мають 3 голови та 9 ніг, а його кури-зомбі мають 6 голів та 12 ніг. Фермер Джеймс нарахував на своїй фермі 800 голів і 2018 ніг. Скільки тварин має фермер Джеймс на своїй фермі?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-013

Середні значення в даних про вилов риби

Таблиця нижче показує деякі з результатів останнього Фестивалю риболовлі в Піражубі, вказуючи, скільки учасників qq спіймали nn рибин для деяких значень nn. | nn | 0 | 1 | 2 | 3 | …\ldots | 13 | 14 | 15 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | qq | 9 | 5 | 7 | 23 | …\ldots | 5 | 2 | 1 | У міській газеті повідомлялося, що: i) переможець спіймав 15 рибин; ii) серед тих, хто спіймав 3 або більше рибин, середнє становило 6 спійманих рибин; і iii) серед тих, хто спіймав 12 або менше рибин, середня кількість спійманих рибин становила 5. а) Якою була загальна кількість рибин, спійманих під час фестивалю? б) Скільки учасників спіймали від 4 до 12 рибин?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-006

Нецілі розв'язки з цілими сумами

а) Нехай aa і bb — довільні натуральні числа однакової парності. Чи можна завжди знайти нецілі числа xx і yy такі, що x+yx + y і ax+byax + by — цілі числа? б) Те саме питання, коли aa і bb мають різну парність.
8–10 класиПарність та непарність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-059

Найбільша концентрація рубідію в суміші гідроксидів

Емілія хоче приготувати лужний розчин із 7%7\% гідроксид-йонів (OH)(\mathrm{OH}). У неї є три розчини різних основ: 10%10\% гідроксид рубідію (Rb(OH))(\mathrm{Rb}(\mathrm{OH})), 8%8\% гідроксид цезію (Cs(OH))(\mathrm{Cs}(\mathrm{OH})) і 5%5\% гідроксид францію (Fr(OH))(\mathrm{Fr}(\mathrm{OH})). (Розчин Rb(OH)\mathrm{Rb}(\mathrm{OH}) містить як 10%10\% йонів Rb\mathrm{Rb}, так і 10%10\% йонів OH\mathrm{OH}, і аналогічно для інших розчинів.) Оскільки францій дуже радіоактивний, його концентрація в кінцевому розчині не повинна перевищувати 2%2\%. Яка найбільша можлива концентрація рубідію в її розчині?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-015

Система з пропорційними дробами

Обчисліть xw\frac{x}{w}, якщо w≠0w \neq 0 і x+6y−3z−3x+4w=−2y+zx−w=23\frac{x+6y-3z}{-3x+4w}=\frac{-2y+z}{x-w}=\frac{2}{3}.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-007

Хто приготував найбільше равіолі

Альберто, Барбара і Чіро одного дня зібралися разом, щоб приготувати равіолі для благодійної вечері на користь математичних олімпіад. Насамперед вони вирішують порівну розподілити години роботи між ранком і днем, і, очевидно, працюють одночасно й однакову кількість часу. Альберто дуже надійний: готує 90 равіолі на годину протягом усього робочого дня. Барбара робить 110 равіолі на годину вранці, але вдень вона більш розсіяна і готує 70 равіолі на годину. Чіро робить 2/32 / 3 своїх равіолі в темпі 140 равіолі на годину, а останню третину — лише 50 равіолі на годину. Хто приготував найбільше равіолі наприкінці дня? (A) Альберто (B) Барбара (C) Чіро (D) Альберто і Барбара, в однаковій кількості. (E) Альберто і Чіро, в однаковій кількості.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-019

Показникові рівняння зі степенями

Відомо, що 8x2x+y=64і9x+y34y=243\frac{8^{x}}{2^{x+y}}=64 \quad \text{і} \quad \frac{9^{x+y}}{3^{4 y}}=243 Знайдіть значення 2xy2 x y.
8–9 класиПоказникові та логарифмічні рівня…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-103

Зустріч посередині з різними швидкостями

Точка P1P_{1} розташована за 600 миль на захід від точки P2P_{2}. О 7:00 ранку автомобіль виїжджає з P1P_{1} і їде на схід зі швидкістю 50 миль на годину. О 8:00 ранку інший автомобіль виїжджає з P2P_{2} і їде на захід зі сталою швидкістю xx миль на годину. Якщо автомобілі зустрічаються рівно посередині між P1P_{1} і P2P_{2}, чому дорівнює xx?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-091

Ймовірність виграшу в грі з кубиком

Аллен і Браян грають у гру, в якій вони кидають 6-гранний кубик, доки один із них не виграє. Аллен виграє, якщо два послідовні кидки рівні між собою і не перевищують 3. Браян виграє, якщо два послідовні кидки в сумі дають 7, причому останній з них не перевищує 3. Яка ймовірність того, що виграє Аллен?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-013

Значення лінійного виразу із системи

Якщо x+2y−3z=7x + 2y - 3z = 7 і 2x−y+2z=62x - y + 2z = 6, знайдіть 8x+y8x + y.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-028

Швидкості роботи при почерговій праці

Три робітники мають повністю виконати певну роботу. Спочатку один з них працює стільки часу, скільки знадобилося б двом іншим, працюючи разом, щоб виконати половину роботи. Потім другий робітник працює стільки часу, скільки знадобилося б двом іншим, працюючи разом, щоб виконати половину роботи. Нарешті третій робітник працює стільки часу, скільки знадобилося б двом іншим, працюючи разом, щоб виконати половину роботи. Цим вся робота виявляється виконаною. У скільки разів швидше була б виконана робота, якби всі робітники працювали разом?
11 класЛінійні рівняння та системи2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-008

Мінімальний бал на фіналі для прохідної оцінки

Ерік вивчає біологію. Домашні завдання загалом дають 100 балів, кожен із трьох проміжних іспитів дає 100 балів, а фінальний іспит дає 300 балів. Якщо він отримав максимальний бал за домашні завдання та набрав 60%60\%, 70%70\% і 80%80\% на проміжних іспитах відповідно, який найменший відсоток він може отримати на фінальному іспиті, щоб скласти курс? (Ерік складає курс тоді й лише тоді, коли його загальний відсоток становить принаймні 70%70\%.)
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-009

Три числа за середніми з третім доданком

Джеймс записує три цілі числа. Алекс вибирає два з цих чисел, бере їхнє середнє арифметичне та додає результат до третього числа. Якщо можливі кінцеві результати, які може отримати Алекс, — це 4242, 1313 і 3737, то які три цілі числа спочатку обрав Джеймс?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-108

Сподівана кількість ходів тури на шаховій дошці

Розгляньмо клітинну дошку 8×88 \times 8. Тура стоїть у лівому нижньому куті, і щохвилини вона переходить на одну з клітинок того самого рядка чи стовпця з однаковою ймовірністю (тура мусить ходити; тобто вона не може залишатися на тій самій клітинці). Чому дорівнює математичне сподівання кількості хвилин до моменту, коли тура дістанеться правого верхнього кута?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-022

Пари подільності на сітці 5×5

Для цілих чисел a,b,c,da, b, c, d нехай f(a,b,c,d)f(a, b, c, d) позначає кількість впорядкованих пар цілих чисел (x,y)∈{1,2,3,4,5}2(x, y) \in \{1,2,3,4,5\}^{2} таких, що ax+bya x + b y і cx+dyc x + d y обидва діляться на 55. Знайдіть суму всіх можливих значень f(a,b,c,d)f(a, b, c, d).
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-005

Лінійне рівняння з дистрибутивністю

Знайдіть xx з рівняння 20⋅14+x=20+14⋅x20 \cdot 14 + x = 20 + 14 \cdot x.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-004

Оборотна матриця, що сполучає комутатор

Нехай nn — натуральне число, а AA і BB — матриці розміру n×nn \times n з комплексними елементами такі, що A2=B2A^{2}=B^{2}. Доведіть, що існує оборотна матриця розміру n×nn \times n SS з комплексними елементами, яка задовольняє S(AB−BA)=(BA−AB)SS(A B-B A)=(B A-A B) S.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-014

Система з трьох лінійних рівнянь

Нехай x,y,zx, y, z — дійсні числа, такі, що x=y+z+2,y=z+x+1,іz=x+y+4x = y + z + 2, \quad y = z + x + 1, \quad \text{і} \quad z = x + y + 4 Обчисліть x+y+zx + y + z.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-036

Ймовірність появи послідовності при підкиданні монети

Деяка монета з імовірністю 13\frac{1}{3} падає аверсом (H), з імовірністю 13\frac{1}{3} падає реверсом (T) і з імовірністю 13\frac{1}{3} стає вертикально на ребро (M). Якщо безперервно підкидати цю монету, яка ймовірність того, що неперервна послідовність HMMT спостерігатиметься раніше, ніж HMT?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.