Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

503 задачі
Теорія чиселОсновні функції теорії чисел
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-036

Увімкнені лампи після n хвилин натискань

Є nn ламп, кожна з вимикачем. Кожна лампа працює нормально, натискання на її вимикач вимикає її, якщо вона увімкнена, і вмикає її, якщо вона вимкнена. Щохвилини торкаються вимикачів. На першій хвилині: натискають на всі вимикачі (1,2,3,…,n)(1,2,3, \ldots, n). На другій хвилині: натискають на всі вимикачі, лампи яких мають парний номер (2,4,6,…)(2,4,6, \ldots). На третій хвилині: натискають на всі вимикачі, лампи яких мають номер, що ділиться на 3 (3,6,9,…)3\ (3,6,9, \ldots). І так далі, на kk-й хвилині натискають на вимикачі з номером, кратним kk. Які лампи будуть увімкнені після nn хвилин, якщо спочатку всі лампи вимкнені?
9–11 класиКількість дільників τ(n)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-043

Подільність факторіала на степінь двійки

Доведіть, що n!=1×2×⋯×nn! = 1 \times 2 \times \cdots \times n ділиться на 2n−12^{n-1} тоді й лише тоді, коли nn є степенем 22.
9–11 класиФормула Лежандра
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-007

Куб кількості дільників дорівнює чотириразовому числу

Нехай n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, позначимо через d(n)d(n) кількість його дільників. Знайдіть усі натуральні числа, для яких d(n)3=4nd(n)^{3}=4 n?
8–10 класиКількість дільників τ(n)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-012

Лінійна форма від ірраціональностей з малими коефіцієнтами

a) Доведіть, що існують цілі числа aa, bb, cc такі, що (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq (0,0,0) і ∣a∣,∣b∣,∣c∣<106|a|,|b|,|c|<10^{6}, для яких ∣a+b2+c3∣<10−11|a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}|<10^{-11} b) Нехай aa, bb, cc — цілі числа такі, що (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq (0,0,0) і ∣a∣,∣b∣,∣c∣<106|a|,|b|,|c|<10^{6}. Доведіть, що ∣a+b2+c3∣>10−21|a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}|>10^{-21}
8–10 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-046

Сума за впорядкованими трійками з фіксованим добутком

Одного разу Жабчик Кельвін так нудьгував на уроці математики, що записав на аркуші паперу всі впорядковані трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, які задовольняють умову abc=2310a b c = 2310. Знайдіть суму всіх чисел, які він записав. Іншими словами, обчисліть ∑abc=2310a,b,c∈N(a+b+c)\sum_{\substack{a b c = 2310 \\ a, b, c \in \mathbb{N}}} (a + b + c) де N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-040

Монотонна послідовність з рівною кількістю дільників

Знайдіть усі неспадні послідовності a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел, такі, що i+ji+j і ai+aja_{i}+a_{j} для всіх i,j∈Ni, j \in \mathbb{N} мають однакову кількість дільників.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-032

Дільники квадрата числа з обмеженнями

Щоб визначити кількість додатних дільників числа, достатньо розкласти його на степені різних простих чисел і перемножити числа, на одиницю більші за показники. Наприклад, 2016=25⋅32⋅712016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1} має (5+1)(2+1)(1+1)=36(5+1)(2+1)(1+1)=36 додатних дільників. Розглянемо число n=27⋅34n=2^{7} \cdot 3^{4}. а) Визначте кількість додатних дільників числа n2n^{2}. б) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn? в) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn і не є кратними nn?
8–9 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-040

Дільники степеня 88 з остачею 4 за модулем 6

Скільки дільників числа 881088^{10} дають остачу 4 при діленні на 6?
8–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-007

Кількість пар одиничних дробів

Нехай nn — натуральне число таке, що існує рівно 2017 різних пар натуральних чисел (a,b)(a, b), які задовольняють рівняння 1a+1b=1n\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n} Доведіть, що nn є квадратом натурального числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-004

Степені з рівністю добутків різниць і сум

Знайдіть усі цілі a>0a>0, для яких існують натуральні числа n,s,m1,⋯ ,mn,k1,⋯ ,ksn, s, m_{1}, \cdots, m_{n}, k_{1}, \cdots, k_{s} такі, що (am1−1)⋯(amn−1)=(ak1+1)⋯(aks+1)\left(a^{m_{1}}-1\right) \cdots\left(a^{m_{n}}-1\right)=\left(a^{k_{1}}+1\right) \cdots\left(a^{k_{s}}+1\right)
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-133

Впорядковані пари дільників числа 720 з добутком не дільником

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)(a, b) таких, що a,ba, b є дільниками числа 720720, але abab — ні.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-118

Дописані степені двійки за модулем

Знайдіть найменше натуральне число n≥3n \geq 3, для якого A≡210n(mod2170)A \equiv 2^{10 n} \pmod{2^{170}} де AA позначає число, утворене послідовним дописуванням одне до одного чисел 210,220,…,210n2^{10}, 2^{20}, \ldots, 2^{10 n}, записаних у десятковій системі (наприклад, якщо n=2n=2, маємо A=10241048576A=10241048576).
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-063

Числа з умовою на суму функції Ейлера і кількості дільників

Для натурального числа nn позначимо через τ(n)\tau(n) кількість натуральних дільників числа nn, а через ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел, що не перевищують nn і взаємно прості з nn. Назвемо натуральне число nn хорошим, якщо φ(n)+4τ(n)=n\varphi(n)+4 \tau(n)=n. Наприклад, число 4444 є хорошим, оскільки φ(44)+4τ(44)=44\varphi(44)+4 \tau(44)=44. Знайдіть суму всіх хороших натуральних чисел nn.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-072

Числа менші від мільйона та суми власних дільників

Знайдіть кількість натуральних чисел, менших за 10000001000000, які не перевищують суму своїх власних дільників. Якщо ваша відповідь — XX, а справжнє значення — YY, ваш результат становитиме max⁡(0,20−80∣1−XY∣)\max \left(0,20-80\left|1-\frac{X}{Y}\right|\right), округлений до найближчого цілого числа.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2016-029

Добуток цілих дробів мінус один не є степенем двійки

Нехай mm і nn — натуральні числа, причому m>nm>n. Означимо xk=m+kn+k для k=1,…,n+1x_{k} = \frac{m+k}{n+k} \text{ для } k=1, \ldots, n+1 Доведіть: якщо всі xix_{i} цілі, то x1⋅x2⋅…⋅xn+1−1x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n+1} - 1 не є степенем двійки.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-006

Подільність рекурентної послідовності на великий степінь

Нехай kk — натуральне число. Покладемо a1=1a_{1}=1 і, для кожного n≥1n \geq 1, an+1=k(a1+⋯+an)+1a_{n+1}=k\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)+1 (отже, наприклад, a2=ka1+1a_{2}=k a_{1}+1 і a3=k(a1+a2)+1a_{3}=k\left(a_{1}+a_{2}\right)+1). Яке найменше значення kk таке, що a2016a_{2016} кратне 34031⋅740273^{4031} \cdot 7^{4027}? (A) 1271 (B) 1322 (C) 1331 (D) 1702 (E) 2048
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-001

Послідовність кількості дільників і повні квадрати

Нехай a1,a2,…,an,…a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots — послідовність натуральних чисел така, що ai+1a_{i+1} — кількість додатних дільників числа aia_{i} для кожного i≥1i \geq 1. Припустимо, що a2≠2a_{2} \neq 2. Доведіть, що існує індекс mm такий, що ama_{m} є повним квадратом.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-031

Сума дільників більша за половину квадрата їх кількості

Позначимо через δ(n)\delta(n) кількість усіх додатних дільників натурального числа nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму всіх додатних дільників натурального числа nn. Доведіть, що σ(n)>δ(n)22\sigma(n) > \frac{\delta(n)^2}{2}.
11 класСума дільників σ(n)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-003

Єдине значення у рекурентному співвідношенні з 3-адичним нормуванням

Для кожного цілого n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} позначимо через v3(n)v_{3}(n) 3-адичне нормування числа nn, тобто найбільше ціле kk таке, що nn ділиться на 3k3^{k}. Покладемо u1=2u_{1}=2 і un=4v3(n)+2−2un−1u_{n}=4 v_{3}(n)+2-\frac{2}{u_{n-1}} для всіх n⩾2n \geqslant 2 (за умови, що un−1u_{n-1} визначено і відмінне від нуля). Доведіть, що для кожного додатного раціонального числа qq існує єдине ціле n⩾1n \geqslant 1 таке, що un=qu_{n}=q.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-053

Забавні числа з найбільшою кількістю дільників

Натуральне число nn називається забавним, якщо для кожного натурального дільника dd числа nn число d+2d+2 є простим. Знайдіть усі забавні числа з максимальною кількістю дільників.
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-071

Скінченність нерівності з функціями Ейлера та кількістю дільників

Нехай SS — множина натуральних чисел nn, для яких виконується нерівність ϕ(n)⋅τ(n)≥n33\phi(n) \cdot \tau(n) \geq \sqrt{\frac{n^{3}}{3}} де ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел k≤nk \leq n, взаємно простих із nn, а τ(n)\tau(n) — кількість додатних дільників числа nn. Доведіть, що SS скінченна.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-072

Інтервали з взаємно простих пар і діофантових розв’язків

Нехай m,nm, n — натуральні числа з m≥nm \geq n. Нехай SS — множина пар (a,b)(a, b) взаємно простих натуральних чисел таких, що a,b≤ma, b \leq m і a+b>ma+b>m. Для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S розглянемо невід’ємний цілочисельний розв’язок (u,v)(u, v) рівняння au−bv=na u-b v=n, вибраний з найменшим можливим v≥0v \geq 0, а через I(a,b)I(a, b) позначимо (відкритий) інтервал (v/a,u/b)(v / a, u / b). Доведіть, що I(a,b)⊆(0,1)I(a, b) \subseteq(0,1) для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S, і що довільне фіксоване ірраціональне число α∈(0,1)\alpha \in(0,1) належить I(a,b)I(a, b) рівно для nn різних пар (a,b)∈S(a, b) \in S.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-013

Сума простих дільників при заданій кількості дільників

Нехай nn — найменше натуральне число з рівно 20152015 додатними дільниками. Знайдіть суму (не обов’язково різних) простих дільників числа nn. Наприклад, сума простих дільників числа 7272 дорівнює 2+2+2+3+3=142+2+2+3+3=14.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-001

Неквадратні дільники числа 6000

Скільки неквадратних чисел є серед додатних дільників числа 60006000?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-003

Цілочисельність добутку рекурентних послідовностей

Для заданого натурального числа kk визначимо дві послідовності {an}\{a_n\} і {bn}\{b_n\} так: a1=k,a2=k,an+2=anan+1(n≥1)b1=1,b2=k,bn+2=bn+13+1bn(n≥1)\begin{aligned} a_1 &= k, & a_2 &= k, & a_{n+2} &= a_n a_{n+1} \quad (n \ge 1) \\ b_1 &= 1, & b_2 &= k, & b_{n+2} &= \frac{b_{n+1}^3 + 1}{b_n} \quad (n \ge 1) \end{aligned} Для будь-якого натурального числа nn доведіть, що a2nbn+3a_{2n}b_{n+3} — ціле число.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.