Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

469 задач
КомбінаторикаРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-054

Мінімальні блокувальні множини на сітці

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Жаба пересувається по дошці з 3n×3n3n \times 3n клітинок, стрибаючи щоразу з клітинки на клітинку, розташовану безпосередньо вище або безпосередньо праворуч. Вона хоче дістатися з лівого нижнього кута, позначеного SS, до правого верхнього кута, позначеного FF. На жаль, деякі клітинки заміновані, і якщо жаба стрибне на таку клітинку, вона залишиться там у пастці. Кажуть, що множина замінованих клітинок є блокувальною, якщо вона заважає жабі дістатися з клітинки SS до клітинки FF. Кажуть також, що блокувальна множина є мінімальною, якщо щойно ми знімаємо міну з однієї з клітинок цієї множини, наша множина перестає бути блокувальною. Наприклад, чорні клітинки на дошці нижче утворюють мінімальну блокувальну множину. a) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3n(n−1)3n(n-1) клітинок. b) Доведіть, що будь-яка мінімальна блокувальна множина містить не більше 3n23n^{2} клітинок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-057

Розбиття квадрата на конгруентні многокутники

Скільки існує способів розрізати квадрат 11 на 11 на 88 конгруентних многокутних частин так, щоб усі внутрішні кути кожної частини дорівнювали 4545 або 9090 градусів? Два способи вважаються різними, якщо для них потрібно розрізати квадрат у різних місцях. Зокрема, повороти й відбиття вважаються різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-017

Позначені клітинки, що покривають прямокутники з n клітинок

На квадратній дошці n×nn \times n позначено nn клітинок так, що кожен прямокутник, складений з рівно nn клітинок дошки, містить принаймні одну позначену клітинку. Знайдіть усі можливі значення nn.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2021-005

Розфарбування покриття доміно за рядками

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити дошку m×nm \times n (тобто таку, що складається з mm рядків і nn стовпців) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виступали за межі дошки і не перекривалися, а всі клітинки були покриті кісточкою доміно. Потім Мерлін пофарбує всі кісточки доміно на дошці в червоний або синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлін завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися щонайбільше на VV, як би Єтце не покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-002

Баланс кольорів рядків при замощенні доміно

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити m×nm \times n-дошку (з mm рядками та nn стовпцями) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виходили за межі дошки й не накладалися одна на одну, а кожна клітинка була покрита кісточкою доміно. Після цього Мерлейн збирається пофарбувати всі кісточки доміно на дошці або в червоний, або в синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлейн завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися не більш ніж на VV, хоч би як Єтце покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2021-018

Замощення доміно з максимальним покриттям

На прямокутній дошці, що складається з m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \ge 3), розміщено доміно (плитки 2 × 1- або 1 × 2), які не перекриваються одне з одним. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустімо, що розміщення доміно має властивість, що жодне додаткове доміно не можна покласти на дошку, і не всі чотири кутові клітинки дошки є порожніми. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2021-020

Максимальне покриття дошки доміно

На прямокутній дошці розміром m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \geq 3) лежать доміно (2×12 \times 1 або 1×21 \times 2-плитки), які не перекриваються і не виступають за межі дошки. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустимо, що покриття доміно має властивість, що жодне додаткове доміно вже не можна покласти на дошку, і що чотири кутові клітинки дошки не всі порожні. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-006

Тріангуляції з діагоналями найменшої довжини

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна вибрати n−3n-3 діагоналей правильного nn-кутника, які не перетинаються і розбивають nn-кутник на трикутники так, щоб кожна вибрана діагональ була стороною найменшої довжини в деякому трикутнику.
10 класМетричні співвідношення в колі
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-016

Максимальна сума неперетинних діагоналей

Нехай nn — натуральне число, n≥3n \ge 3. У правильному nn-кутнику проведено максимальну множину діагоналей, жодні дві з яких не перетинаються всередині nn-кутника. Кожну діагональ позначено числом сторін nn-кутника між кінцями діагоналі вздовж найкоротшого шляху. Знайдіть максимальне значення суми позначок. Відповідь: n2−94\frac{n^2-9}{4} для непарного nn, n2−84\frac{n^2-8}{4} для парного nn.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-007

Покриття рівностороннього трикутника одиничними трапеціями

Для яких натуральних чисел nn можна точно покрити рівносторонній трикутник зі стороною nn трапеціями форми, показаної на малюнку, що складаються з трьох рівносторонніх трикутників зі стороною 1? Трапеції дозволяється обертати, але не накладати одна на одну.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-044

Шоколадки за розрізання розфарбованої дошки

Дошка розміром 20×2020 \times 20 поділена на 400 одиничних клітинок розміром 1×11 \times 1. Клара фарбує кожну клітинку в білий або в чорний колір, після чого Ізабель розрізає дошку на прямокутники, сторони яких містяться в сітці дошки. Кожен із цих прямокутників має містити не більше 2 чорних клітинок, і за кожен вирізаний прямокутник, що містить 0 або 1 чорну клітинку, вона дає Кларі одну шоколадку. Ізабель вибирає своє розрізання так, щоб дати Кларі якомога менше шоколадок, а Клара вибирає своє початкове розфарбування так, щоб отримати від Ізабель якомога більше шоколадок. Скільки шоколадок Ізабель дасть Кларі?
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-016

Рівна кількість супер-доміно в замощенні паралелепіпеда

Супер-доміно — це прямокутний паралелепіпед у тривимірній решітці одного з трьох видів: 1×1×21 \times 1 \times 2, 1×2×11 \times 2 \times 1 і 2×1×12 \times 1 \times 1. Які цілі числа a,b,c>1a, b, c > 1 такі, що прямокутний паралелепіпед розмірів a×b×ca \times b \times c у тривимірній решітці можна замостити супер-доміно так, щоб супер-доміно кожного з 3 типів було порівну?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-088

Розрізання сходових поліміно

Нехай nn — фіксоване натуральне число. nn-сходами називається поліміно з n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} клітинок, викладених у формі сходів, довільного розміру. Ось два приклади 5-сходів: Доведіть, що nn-сходи можна розрізати на строго менші nn-сходи.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-011

Замощення різними прямокутниками

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n і плитки розмірами 1×11 \times 1, 1×21 \times 2,..., 1×n1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати в червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2}n(n+1) клітинок дошки так, щоб червоні клітинки можна було покрити, розмістивши nn плиток горизонтально на дошці, а також розмістивши nn плиток вертикально на дошці? Два розфарбування, які не збігаються, але які можна отримати одне з одного поворотом чи відбиттям, вважаються різними розфарбуваннями.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-014

Замощення дошки плитками змінної довжини

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n та плитки з розмірами 1×1,1×2,…,1×n1 \times 1, 1 \times 2, \ldots, 1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати у червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) клітинок дошки так, щоб усі червоні клітинки можна було покрити nn плитками, якщо всі їх розмістити горизонтально, а також nn плитками, якщо всі їх розмістити вертикально? Два розфарбування, які не є однаковими, але переходять одне в одне поворотом чи віддзеркаленням дошки, вважаються різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-017

Пакування прямокутних плиток на квадратній дошці

Нехай kk і nn — натуральні числа такі, що k≤n≤2k−1k \le n \le 2k - 1. Юліан має великий запас прямокутних плиток k×1k \times 1. Мерлейн вибирає натуральне число mm й отримує від Юліана mm плиток, щоб розмістити їх на дошці n×nn \times n. На кожній плитці Юліан пише, чи слід розмістити цю плитку горизонтально, чи вертикально. Плитки не можуть перекриватися на дошці та мають повністю поміщатися всередині дошки. Яке найбільше число mm може вибрати Мерлейн, щоб усе одно гарантовано мати змогу розмістити всі плитки на дошці згідно з вказівками Юліана?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-021

Максимальне заповнення дошки n×n плитками k×1

Дано два додатні цілі числа kk та nn такі, що k≤n≤2k−1k \leq n \leq 2k-1. Джуліан має велику стопку прямокутних плиток розміром k×1k \times 1. Мерлін називає додатне ціле число mm і отримує від Джуліана mm плиток, щоб розмістити їх на дошці розміром n×nn \times n. На кожній плитці Джуліан спочатку вказує, чи має вона бути горизонтальною, чи вертикальною. Плитки не можуть перекриватися на дошці і не можуть виступати за її межі. Яке найбільше число mm може назвати Мерлін, якщо він хоче бути впевненим, що зможе розмістити всі плитки на дошці згідно з вказівками Джуліана?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-003

Опуклі многокутники з одиничних квадратів і трикутників

Маємо необмежений запас квадратних плиток зі стороною 11 та рівносторонніх трикутних плиток зі стороною 11. Для яких nn з цих плиток можна скласти опуклий nn-кутник? Плитки мають прилягати одна до одної без проміжків і не можуть накладатися.
10–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-036

Мінімальна кількість чорних клітинок з умовою на прямокутники

Кожну клітинку дошки розміру 8×88 \times 8 можна пофарбувати в білий або в чорний колір так, щоб кожен прямокутник розміру 2×32 \times 3 або 3×23 \times 2 містив дві чорні клітинки зі спільною стороною. Визначте мінімальну можливу кількість чорних клітинок на дошці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-013

Замощення сходів мінімальною кількістю квадратів

Нехай nn — невід'ємне ціле число. Сходи розміру nn складаються з маленьких квадратів 1×11 \times 1: 1 квадрат для першої сходинки, 2 квадрати для другої сходинки і так далі, аж до nn квадратів для nйn^{\text{й}} сходинки. Маємо квадратні камені (з цілою стороною) усіх розмірів, щоб побудувати ці сходи, і позначаємо через f(n)f(n) найменшу кількість каменів, яку треба використати для сходів розміру nn. Наприклад, f(2)=3f(2)=3 і f(4)=7f(4)=7, як показано нижче. 1. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=nf(n)=n. 2. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=n+1f(n)=n+1.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-009

Розбиття відрізків сітки на трійки зі спільною вершиною

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що одиничні відрізки сітки n×nn \times n з одиничних квадратів можна розбити на групи по три так, щоб відрізки кожної групи мали спільну вершину.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-038

Покриття шестикутника рівносторонніми трикутниками

Правильний шестикутник PROFITP R O F I T має площу 11. Щохвилини жадібний Джордж розміщує найбільший можливий рівносторонній трикутник, що не перетинається з уже розміщеними трикутниками всередині шестикутника, причому у разі рівності вибір довільний. Скільки трикутників знадобиться Джорджеві, щоб покрити принаймні 90%90\% площі шестикутника?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-121

Очікувана кількість шматків кулі від розрізів ґраткою

На десерт Мелінда їсть сферичну кульку морозива діаметром 22 дюйми. Однак вона любить їсти морозиво шматочками, схожими на кубики. У неї є спеціальна машина, яка для кулі, розміщеної в просторі, розрізає її площинами x=nx=n, y=ny=n та z=nz=n для кожного цілого nn (не обов'язково додатного). Мелінда розміщує центр кульки морозива рівномірно випадково всередині куба 0≤x,y,z≤10 \leq x, y, z \leq 1, а потім розрізає її на шматки за допомогою своєї машини. Яке очікуване число шматків, на які буде розрізано морозиво?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-113

Розбиття многокутника фіксованими діагоналями

Опуклий 2019-кутник A1A2…A2019A_{1} A_{2} \ldots A_{2019} розрізано на менші частини вздовж його 2019 діагоналей виду AiAi+3A_{i} A_{i+3} для 1≤i≤20191 \leq i \leq 2019, де A2020=A1A_{2020}=A_{1}, A2021=A2A_{2021}=A_{2} і A2022=A3A_{2022}=A_{3}. Яка найменша можлива кількість утворених частин?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-049

Положення мономіно в замощенні триміно

Триміно — це прямокутник 3×13 \times 1, а мономіно — це один квадрат 1×11 \times 1. Які можливі положення мономіно при покритті дошки 8×88 \times 8 з використанням 21 триміно та 1 мономіно?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.