Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-005

Сума цілих частин за перестановкою

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше значення ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊ann⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor за всіма перестановками (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-014

Різноманітні шляхи в турнірному графі

Королівство Анізотропія складається з nn міст. Для кожних двох міст існує рівно одна пряма дорога з одностороннім рухом між ними. Кажуть, що шлях з XX до YY — це послідовність доріг, якою можна дістатися з XX до YY без повернення до вже відвіданого міста. Набір шляхів називається різноманітним, якщо жодна дорога не належить двом чи більше шляхам цього набору. Нехай AA і BB — два різні міста в Анізотропії. Нехай NABN_{A B} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з AA до BB. Аналогічно, нехай NBAN_{B A} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з BB до AA. Доведіть, що рівність NAB=NBAN_{A B}=N_{B A} виконується тоді й лише тоді, коли кількість доріг, що виходять з AA, збігається з кількістю доріг, що виходять з BB.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-015

Кролик на розфарбованій нескінченній сітці

Мисливець і невидимий кролик грають у гру на нескінченній клітинній дошці. Спочатку мисливець фіксує розфарбування клітин у скінченну кількість кольорів. Потім кролик таємно обирає клітину, з якої стартує. Щохвилини кролик повідомляє мисливцеві колір клітини, в якій він перебуває, а потім таємно переміщується в сусідню клітину, в якій він ще не був (дві клітини сусідні, якщо мають спільну сторону). Мисливець виграє, якщо через деякий скінченний час або - кролик не може ходити; або - мисливець може визначити клітину, з якої кролик стартував. Визначте, чи існує виграшна стратегія для мисливця.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-016

Мінімальні блокувальні множини на дошці

Розглянемо клітчастий квадрат 3m×3m3m \times 3m, де mm — ціле число, більше за 11. Жабка сидить у лівій нижній кутовій клітинці SS і хоче дістатися до правої верхньої кутової клітинки FF. Жабка може стрибати з будь-якої клітинки або в наступну клітинку праворуч, або в наступну клітинку вгору. Деякі клітинки можуть бути липкими, і жабка потрапляє в пастку, щойно стрибає на таку клітинку. Множину XX клітинок називають блокувальною, якщо жабка не може дістатися з SS до FF, коли всі клітинки з XX липкі. Блокувальну множину називають мінімальною, якщо вона не містить меншої блокувальної множини. a. Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3m2−3m3m^{2} - 3m клітинок. b. Доведіть, що кожна мінімальна блокувальна множина містить не більше ніж 3m23m^{2} клітинок. Зауваження. Приклад мінімальної блокувальної множини для m=2m=2 наведено нижче. Клітинки множини XX позначено літерами xx. | | | | | | FF | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | xx | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | SS | | xx | | | |
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-003

Таблиця n × n з невід’ємними туровими сумами

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. В Елвіна є таблиця розміром n×nn \times n, що заповнена дійсними числами (у кожній клітинці рівно одне число). Назвемо туровою множину з nn клітинок, що розташовані в nn різних рядках та в nn різних стовпцях. Припустимо, що сума чисел у клітинках довільної турової множини невід’ємна. За один хід Елвін вибирає рядок і стовпець, а також дійсне число aa. Далі він додає до кожного числа у вибраному рядку число aa, віднімає від кожного числа вибраного стовпця число aa (тобто число, що розташоване на перетині рядка та стовпця, не змінюється). Доведіть, що за скінченну кількість ходів Елвін може досягти того, щоб усі числа в таблиці стали невід’ємними.
10–11 класиДвочасткові графи
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-005

Гра з 99 стільцями по колу і найбільше k

На вечірку прийшли 9999 гостей. Двоє ведучих — Ганна та Боб, що не входять до складу гостей, грають у таку гру. По колу розставлено 9999 стільців, і спочатку гості ходять навколо них. Ганна та Боб роблять ходи по черзі, кожним ходом ведучий вибирає гостя, що стоїть, і вказує йому на вільний стілець cc, на який той має сісти. Якщо при цьому принаймні один зі стільців, що є сусіднім до стільця cc, зайнятий, то гість, котрий на ньому сидить, має підвестися. Якщо зайнято обидва стільці, то ведучий вибирає одного з двох гостей, хто має підвестися. Ганна, яка розпочинає гру першою, прагне, щоб після її деякого ходу були зайнятими принаймні kk стільців. При якому найбільшому значенні kk, незалежно від того, як гратиме Боб, вона зможе цього досягти?
10–11 класиНапівінваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-001

Ітеративна побудова простих чисел

На дошці написано скінченну кількість цілих чисел, більших за одиницю. Щохвилини Норді додатково пише на дошці найменше додатне ціле число, більше за всі інші цілі числа на дошці, яке не ділиться на жодне з чисел на дошці. Доведіть, що, починаючи з деякого моменту, Норді писатиме на дошці лише прості числа.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-003

Гра з підмножинами на степенях двійки

Нехай nn — натуральне число. Аліса та Боб грають у таку гру. Спочатку Аліса вибирає n+1n+1 підмножин A1,…,An+1A_{1}, \ldots, A_{n+1} множини {1,…,2n}\{1, \ldots, 2^{n}\}, кожна розміру 2n−12^{n-1}. Потім Боб вибирає n+1n+1 довільних цілих чисел a1,…,an+1a_{1}, \ldots, a_{n+1}. Нарешті, Аліса вибирає ціле число tt. Боб виграє, якщо існує ціле число 1≤i≤n+11 \leq i \leq n+1 і s∈Ais \in A_{i} такі, що s+ai≡t(mod2n)s+a_{i} \equiv t\pmod{2^{n}}. Інакше виграє Аліса. Знайдіть усі значення nn, для яких Аліса має виграшну стратегію.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-002

Кількість ходів для визначення загаданого числа

Ксенія та Сергій грають у таку гру. Ксенія загадує натуральне число N⩽5000N \leqslant 5000. Потім вона вибирає попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a20a_1, a_2, \ldots, a_{20}, такі, що для k=1,20‾k = \overline{1, 20} числа NN та aka_k мають однакові залишки від ділення на kk. На кожному ході Сергій називає Ксенії множину SS, що складається з натуральних чисел, які не перевищують 2020, а вона називає йому множину {ak:k∈S}\{a_k : k \in S\}, але не каже, яке число відповідає якому індексу. Скільки ходів потрібно Сергію, щоб гарантовано визначити число, яке загадала Ксенія?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-005

Опуклий многокутник з поворотом на 60° і точки

Дано натуральне число nn. Форма території королівства Zoomландія являє собою опуклий многокутник з периметром 6n6n, довжини сторін якого є натуральними числами, причому королівству належать усі точки цього многокутника, як внутрішні, так і межові. Відомо, що в результаті повороту на кут 60∘60^\circ відносно деякої точки OO площини многокутник переходить у себе. Через пандемію уряд Zoomландії хоче розмістити 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 мешканців у деяких 3n2+3n+13n^2 + 3n + 1 точках країни, відстань між будь-якими двома точками не менша за 11. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-022

Граф з різними вагами вершин

На дні народження Георга присутні n>1n > 1 гостей, і кожен гість дружить принаймні з одним іншим гостем. Георг організовує гру для гостей. Кожен гість отримує глечик води так, що немає двох гостей з однаковою кількістю води в їхніх глечиках. Далі кожен гість діє так. Гість бере по одній чашці для кожного зі своїх друзів на святі та розливає всю воду зі свого глечика порівну в чашки. Потім він передає по чашці кожному зі своїх друзів. Кожен гість, отримавши по чашці води від кожного зі своїх друзів, виливає отриману воду у свій глечик. Яка найменша можлива кількість гостей, у яких кількість води не така сама, як була на початку?
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-032

Гра з добутками за модулем простого числа

Річард і Каарел по черзі вибирають числа з множини {1,…,p−1}\{1, \dots, p-1\}, де p>3p > 3 — просте число. Першим вибирає Річард. Жодне число, яке вже було вибране одним із гравців, не може бути вибране повторно жодним із гравців. Кожне число, вибране Річардом, множиться на те число, яке Каарел вибирає безпосередньо після нього. Каарел виграє гру, якщо в деякий момент гри сума всіх отриманих добутків ділиться на pp. Річард виграє, якщо цього не станеться, тобто гравці використають усі числа раніше, ніж будь-яка із сум поділиться на pp. Чи може хтось із гравців гарантувати собі перемогу незалежно від ходів суперника і якщо так, то хто саме?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-023

Монотонні підмножини та середній розмір

У школі з nn учнями треба вибрати команду учнів для прибирання школи. Команда учнів називається хорошою, якщо директор школи вважає, що вони зможуть прибрати школу. Відомо, що принаймні одна команда є хорошою і що якщо команда є хорошою, то вона залишиться хорошою після долучення будь-якого іншого учня. Доведіть, що середня кількість учнів у хороших командах становить щонайменше n2\frac{n}{2}.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-024

Потрійні перетини прямих у просторі

У тривимірному просторі вибрано 6 прямих. Знайдіть найбільшу кількість точок, в яких перетинаються принаймні 3 з вибраних прямих.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-026

Замощення доміно із заданою кількістю

Доведіть, що існує багатокутник на квадратній сітці, який можна замостити доміно (фігурами 1×21 \times 2 або 2×12 \times 1) рівно 2020 способами.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-027

Знайомства обмінами у двочастковому графі

Кожну вершину повного двочасткового графа K128,128K_{128,128} займає одна людина. На початку всі люди незнайомі між собою. Якщо люди перебувають у суміжних вершинах, вони одразу знайомляться. Дозволено взяти кілька ребер без спільних вершин і поміняти місцями людей у кінцевих вершинах кожного ребра. Яка найменша кількість таких операцій потрібна, щоб усі люди познайомилися між собою?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-028

Максимальна кількість гостей з різними четвірками

Нехай nn — натуральне число. Ресторан пропонує на вибір nn закусок, nn основних страв, nn десертів та nn вин. Весела компанія вечеряє в ресторані, причому кожен гість обирає закуску, основну страву, десерт і вино. Жодні двоє гостей не зробили повністю однакового замовлення. Виявилося, що немає такої групи з nn гостей, чиї замовлення збігаються за трьома позиціями, а за четвертою — усі різні. (Наприклад, немає nn людей, які замовили ті самі три страви, але nn різних вин.) Яка найбільша можлива кількість гостей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-029

Розмітка вершин і ребер з різними сумами в сусідів

Кожній вершині vv і кожному ребру ee графа GG приписано числа f(v)∈{1,2}f(v) \in \{1, 2\} і f(e)∈{1,2,3}f(e) \in \{1, 2, 3\} відповідно. Нехай S(v)S(v) — сума чисел, приписаних ребрам, інцидентним vv, плюс число f(v)f(v). Назвемо приписування ff класним, якщо S(u)≠S(v)S(u) \neq S(v) для кожної пари суміжних вершин графа GG. Доведіть, що кожен граф має класне приписування.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-031

Хованки зі стратегією тепліше-холодніше

Аліса та Боб грають у хованки. Спочатку Боб вибирає таємну фіксовану точку BB в одиничному квадраті. Потім Аліса вибирає послідовність точок P0,P1,…,PNP_0, P_1, \ldots, P_N на площині. Після вибору PkP_k (але перед вибором Pk+1P_{k+1}) при k≥1k \ge 1 Боб каже «тепліше», якщо PkP_k ближча до BB, ніж Pk−1P_{k-1}, інакше каже «холодніше». Після того, як Аліса вибрала PNP_N і почула відповідь Боба, Аліса вибирає остаточну точку AA. Аліса виграє, якщо відстань ABAB не перевищує 1/20201/2020, інакше виграє Боб. Доведіть, що якщо N=18N = 18, Аліса не може гарантувати собі перемогу.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-038

Подільність добутків елементів множин

Нехай AA і BB — множини натуральних чисел, причому ∣A∣≥2|A| \ge 2 і ∣B∣≥2|B| \ge 2. Нехай SS — множина, що складається з ∣A∣+∣B∣−1|A| + |B| - 1 чисел вигляду abab, де a∈Aa \in A і b∈Bb \in B. Доведіть, що існують попарно різні x,y,z∈Sx, y, z \in S такі, що xx є дільником yzyz.
10–11 класиМетод математичної індукції
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-001

Для яких n покриття куточками дошки без головної діагоналі

Розглянемо дошку розміром n×nn \times n. Головною діагоналлю цієї дошки є nn одиничних квадратиків 1×11 \times 1, що йдуть вздовж діагоналі від лівого верхнього до правого нижнього квадратика. У нас є необмежена кількість фігурок «куточок», що складаються з трьох клітинок 1×11 \times 1. Фігурки можна як завгодно повертати. Ми маємо розташовувати фігурки на дошці так, щоб кожна з них покривала рівно три одиничних квадратики, жодні дві фігурки не перекривалися, при цьому квадратики головної діагоналі лишилися непокритими, а кожний інший одиничний квадратик дошки був би покритий рівно однією фігуркою. Для яких n⩾2n \geqslant 2 це можливо?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-004

Король на зв'язних зелених полях дошки n×n

Нехай nn — непарне натуральне число. Деякі одиничні квадратики (поля) дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в зелений колір. Виявилося, що шаховий король може дістатися з довільного зеленого поля до довільного іншого, роблячи ходи лише по зелених полях. Доведіть, що він завжди це може зробити не більше ніж за n2−12\dfrac{n^2-1}{2} ходів. Примітка. Одним ходом шахового короля називають його перехід з одного поля на інше, у яких є спільна сторона або спільна вершина.
10–11 класиШляхи на графах
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-005

Числа на дошці і отримання чисел -2020 та 2020

На дошці записано 2020 натуральних чисел. Щохвилини Зумінг витирає два числа та замість них записує на дошці одне із чисел: їхню суму, різницю, добуток або частку. Наприклад, якщо Зумінг витирає числа 6 і 3, то замість них він може записати одне із чисел множини {6+3, 6−3, 3−6, 6⋅3, 6:3, 3:6}={9, 3, −3, 18, 2, 12}.\{6+3,\ 6-3,\ 3-6,\ 6\cdot 3,\ 6:3,\ 3:6\}=\left\{9,\ 3,\ -3,\ 18,\ 2,\ \frac{1}{2}\right\}. Через 2019 хвилин Зумінг записав на дошці єдине число −2020-2020. Доведіть, що Зумінг міг останнім записати число 2020, використовуючи ті самі правила та почавши з тих же 2020 початкових чисел.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.