Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-007

Найбільша сума добутків білих рядків і чорних стовпців

Кожну з n2n^2 комірок сітки n×nn \times n пофарбовано або в чорний, або в білий колір. Нехай через aia_i позначено кількість білих комірок в ii-му рядку, а через bib_i позначено кількість чорних комірок в ii-му стовпчику. Знайдіть максимальне можливе значення величини ∑i=1naibi\sum\limits_{i=1}^{n} a_i b_i для всіх можливих розфарбувань сітки.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-004

Кількість свіжих перестановок чисел і нерівність

Перестановку цілих чисел 11, 22, …\ldots, mm називатимемо свіжою, якщо не існує такого натурального числа k<mk < m, що перші kk чисел у цій перестановці є 11, 22, …\ldots, kk у якомусь порядку. Нехай fmf_m — кількість свіжих перестановок чисел 11, 22, …\ldots, mm. Доведіть, що fn⩾n⋅fn−1f_n \geqslant n \cdot f_{n-1} при всіх n⩾3n \geqslant 3. Наприклад, якщо m=4m = 4, то перестановка (3,1,4,2)(3, 1, 4, 2) є свіжою, у той час як перестановка (2,3,1,4)(2, 3, 1, 4) не є свіжою.
10–11 класиБієкції
Європейський математичний кубокEMC-2020-003

Покриття дошки n × n фігурками F і Z

Дано фігурки двох типів — FF і ZZ, що зображені на рис. 9.1. Знайдіть усі такі натуральні nn, щоб дошку розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних квадратиків, можна було покрити без накладань одна на одну та без виходу за межі дошки цих фігурок, які дозволено повертати та перегортати.
7–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-003

k чорних клітинок без дотиків у рядках і стовпцях

Нехай kk, n>1n > 1, k<nk < n — натуральні числа. Задано дошку розміром n×nn \times n, що складається з одиничних квадратиків. Андрій і Дарина вчиняють у такий спосіб: на кожному кроці деякий одиничний квадратик дошки зафарбовують чорним кольором так, що чорні квадратики не мають спільних сторін і спільних вершин. При якому найменшому натуральному nn вони зможуть отримати конфігурацію, коли в кожному рядку та кожному стовпці містяться рівно kk чорних клітинок? Намалюйте хоча б один приклад такого розфарбування.
7–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-006

Числа від 1 до 15 і сумарне значення виразів

На аркуші паперу записано числа 1,2,3,…,14,151, 2, 3, \ldots, 14, 15. Андрій і Дарина виконують такі дії: Андрій вибирає на аркуші два довільних числа, наприклад xx і yy, витирає їх і записує суму x+yx + y на цьому аркуші. Водночас Дарина записує значення виразу xy(x+y)xy(x + y) у свій зошит. Вони виконують ці операції, доки на аркуші не залишиться єдине число. Тоді Дарина додає всі числа, що були записані в її зошиті. Позначимо їх суму через kk. а) Доведіть, що значення kk не залежить від порядку виконання операцій. б) Знайдіть значення kk.
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-004

Дві компанії на схилі зі спільним сполученням станцій

Дано число n>1n > 1. На попарно різних висотах гірського схилу розташовано n2n^2 станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній AA та BB володіє kk підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї станції на іншу, розташовану вище. kk трансферів компанії AA починаються на kk різних станціях; закінчуються вони також на kk різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується також вище. Ті самі умови виконано й для компанії BB. Казатимемо, що дві станції сполучені компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції на верхню, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше kk, при якому гарантовано знайдуться дві станції, що сполучені обома компаніями.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-006

Розділяюча пряма, віддалена від точок множини

Доведіть, що існує константа cc, для якої справджується таке твердження. Нехай SS — множина з n>1n > 1 точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менші за 11. Тоді існує пряма ll, яка розділяє множину SS точок таким чином, що відстань від довільної точки множини SS до прямої ll не менша ніж cn−13cn^{-\frac{1}{3}}. Пряма ll розділяє множину SS, якщо вона перетинає деякій відрізок, кінці якого належать множині SS. Примітка. Більш слабкі результати із заміною cn−13cn^{-\frac{1}{3}} на cn−αcn^{-\alpha} можна оцінювати залежно від значень константи α>13\alpha > \frac{1}{3}.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-005

Перестановки зі зваженими нерівностями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть кількість перестановок a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} послідовності 1,2,…,n1,2, \ldots, n, що задовольняють умову a1⩽2a2⩽3a3⩽…⩽nana_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-007

Мінімальні сідлові пари в матриці

Розглянемо довільну прямокутну таблицю зі скінченною кількістю рядків і стовпців, у клітинці в рядку rr і стовпці cc стоїть дійсне число a(r,c)a(r, c). Пару (R,CR, C), де RR — множина рядків, а CC — множина стовпців, називають сідловою парою, якщо виконуються такі дві умови: (i) Для кожного рядка r′r' існує r∈Rr \in R такий, що a(r,c)⩾a(r′,c)a(r, c) \geqslant a(r', c) для всіх c∈Cc \in C; (ii) Для кожного стовпця c′c' існує c∈Cc \in C такий, що a(r,c)⩽a(r,c′)a(r, c) \leqslant a(r, c') для всіх r∈Rr \in R. Сідлову пару (R,CR, C) називають мінімальною парою, якщо для кожної сідлової пари (R′,C′R', C'), для якої R′⊆RR' \subseteq R і C′⊆CC' \subseteq C, маємо R′=RR' = R і C′=CC' = C. Доведіть, що будь-які дві мінімальні пари містять однакову кількість рядків.
10–11 класиБієкції
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-002

Найбільше k для семиелементних підмножин з перетинами

У множині з 2020 елементів вибрано 2k+12k+1 різні семиелементні підмножини, кожна з яких перетинається рівно з kk вибраними підмножинами. При якому найбільшому kk це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-006

Чорно-біла дошка n × n з найбільшою сумою чисел

На дошці розміром n×nn \times n, n>2n > 2, деякі клітинки чорні, а решта — білі. У кожній білій клітинці записано число, що дорівнює кількості чорних клітинок, які мають із цією білою клітинкою принаймні одну спільну вершину. Знайдіть найбільше можливе значення суми всіх записаних чисел.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-003

Непарний замкнений маршрут з рейсами різних авіакомпаній

У країні є n⩾3n \geqslant 3 аеропортів та nn авіакомпаній, що здійснюють двосторонні рейси на певних авіалініях. Для кожної авіакомпанії є непарне число m⩾3m \geqslant 3 та mm різних аеропортів c1,…,cmc_1, \ldots, c_m, для яких усі рейси цієї авіакомпанії — це рейси між такими парами міст: c1c_1 та c2c_2, c2c_2 та c3c_3, …\ldots, cm−1c_{m-1} та cmc_m, cmc_m та c1c_1. Доведіть, що існує замкнений маршрут, що складається з непарної кількості рейсів, у якому жодні два рейси не здійснюються однією авіакомпанією.
10–11 класиДвочасткові графи
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-005

Вузловий опуклий многокутник з однією новою вершиною

Вузлами на координатній площині називатимемо точки, обидві координати яких є цілими. Вузловим многокутником назвемо многокутник, у якого всі вершини є вузлами. Нехай Γ\Gamma — вузловий опуклий многокутник. Доведіть, що всі вершини цього многокутника Γ\Gamma містяться в деякому вузловому опуклому многокутнику Ω\Omega такому, що всі вершини Γ\Gamma лежать на межі Ω\Omega, та рівно одна вершина Ω\Omega не є вершиною Γ\Gamma.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-023

Гра зі стиранням подвоєнь

На дошці написано числа 1,2,3,…,5001, 2, 3, \ldots, 500. У грі два гравці AA і BB ходять по черзі, причому починає AA. Кожним ходом вони мають витерти два числа nn і 2n2n на дошці. Якщо гравець не може зробити хід, то він програє. Визначте, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-024

Карткова гра із симетричними многочленами

Вирази x+yx+y, x−yx-y, x2+xy+y2x^2+xy+y^2 і x2−xy+y2x^2-xy+y^2 написано на двох боках двох карток так, що кожен бік кожної картки містить рівно один із цих виразів. Картки покладено на стіл одна на одну так, що видно лише верхній бік верхньої картки. Аліса і Боб, які знають вирази, але не знають, як вони розподілені на невидимих боках карток, грають у таку гру. Не зазираючи на невидимі боки карток, Аліса на власний розсуд вибирає одну картку, інша картка дістається Бобу. Тепер обидва гравці можуть оглянути обидва боки своєї картки. Аліса на власний розсуд обирає дійсне значення або для xx, або для yy і повідомляє свій вибір Бобові; потім Боб на власний розсуд обирає дійсне значення іншої змінної. Перемагає гравець із більшим добутком значень виразів на двох боках його картки. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію і якщо так, то хто?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-025

Розбиття множини з мультиплікативними трійками

З’ясуйте, чи існує ціле число k≥2k \ge 2 таке, що при будь-якому розбитті множини {2,3,…,k}\{2, 3, \dots, k\} на дві частини принаймні одна з частин містить числа a,ba, b і cc, для яких ab=cab = c? (Дозволено a=ba = b.) Якщо таке число kk існує, знайдіть найменше kk із цією властивістю.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-026

Стратегія гри з вибором підмножин

Нехай SS — скінченна множина з n≥2n \ge 2 елементів. Два гравці, AA і BB, по черзі вибирають непорожні власні підмножини множини SS, причому (1) заборонено вибирати множину, яка містить множину, вибрану раніше будь-яким із гравців, (2) заборонено вибирати множину, яка міститься в будь-якій раніше вибраній множині, (3) заборонено вибирати множину, об'єднання якої з будь-якою раніше вибраною множиною дорівнює SS. AA починає. Гравець, який першим не зможе більше вибрати множину, програє. Який гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-027

Покриття прямокутника 6 на n зафарбованими клітинками

Нехай M(n)M(n) — найменша кількість клітинок, які треба зафарбувати у клітчастому прямокутнику 6×n6 \times n, щоб кожен прямокутник 2×32 \times 3 (у будь-якій орієнтації) містив зафарбовану клітинку. Чи правда, що M(n)=pn+kn3M(n) = p_n + k_n^3 для всіх n≥2n \ge 2, де pnp_n — просте число, а knk_n — невід'ємне ціле число?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-028

Розбиття двійкового слова на паліндроми

Паліндром — це слово, записане за допомогою двох літер, яке збігається зі своїм записом у зворотному порядку, наприклад: ABBA і ABABABABA — паліндроми. Доведіть, що будь-яке слово з 2019 літер (записане за допомогою двох літер) складається щонайбільше з 808 паліндромів.
10–11 класиРозбиття на випадки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-029

Орієнтований граф із двома неперетинними циклами

В орієнтованому графі GG вихідний степінь кожної вершини дорівнює 33 (петлі та двонаправлені ребра дозволені й вважаються циклами). Доведіть, що граф містить 22 орієнтовані цикли, що не перетинаються.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-030

Поліцейські та грабіжник на графі діаметра 2

Нехай GG — граф діаметра 22 на 20192019 вершинах. 6262 поліцейських і 11 грабіжник розміщено у вершинах графа GG. Усі бачать усіх інших, вони ходять по черзі. Кожного ходу кожен може залишитися у своїй вершині або перейти в будь-яку із сусідніх вершин (кожен поліцейський залишається чи йде незалежно від інших, і вони узгоджують свої дії протягом гри). Першим ходить грабіжник, потім ходять поліцейські (одночасно), потім знову ходить грабіжник, потім поліцейські і т. д. Грабіжник вважається спійманим, якщо він опиняється у вершині, зайнятій поліцейським. Доведіть, що поліцейські можуть спіймати грабіжника.
10–11 класиКласичні ігри
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-009

Суми біноміальних коефіцієнтів та непредставне число

Знайдіть найменше натуральне число, яке не можна подати у вигляді (a2)+(b2)+c\binom{a}{2} + \binom{b}{2} + c з невід'ємними цілими числами a,b,ca, b, c, що задовольняють умови a≥b≥ca \ge b \ge c та a+b≤2019a + b \le 2019.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.