Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-044

Дійсна частина комплексного числа за відстанями

Нехай zz — комплексне число. На комплексній площині відстань від zz до 11 дорівнює 22, а відстань від z2z^{2} до 11 дорівнює 66. Чому дорівнює дійсна частина числа zz?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-047

Коло в квадраті з двома точками перетину

У квадраті зі стороною 44 навмання вибирають внутрішню точку та будують коло радіуса 11 з центром у цій точці. Яка ймовірність того, що коло перетинає квадрат рівно двічі?
10–11 класиПлоща кола і його частин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-054

Квадрат з відрізками, що перетинаються

Точки E,F,G,HE, F, G, H вибрано на відрізках AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA квадрата ABCDABCD відповідно. Відомо, що відрізок EGEG має довжину 77, відрізок FHFH має довжину 88, а відрізки EGEG і FHFH перетинаються всередині квадрата ABCDABCD під гострим кутом 30∘30^{\circ}. Обчисліть площу квадрата ABCDABCD.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-055

Трикутник з рівними відрізками на променях

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠A=18∘\angle A = 18^{\circ}, ∠B=36∘\angle B = 36^{\circ}. Нехай MM — середина сторони ABAB, DD — точка на промені CMCM така, що AB=ADAB = AD; EE — точка на промені BCBC така, що AB=BEAB = BE, а FF — точка на промені ACAC така, що AB=AFAB = AF. Знайдіть ∠FDE\angle FDE.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-059

Найменша площа вписаного рівнобедреного прямокутного трикутника

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABCABC має площу 11. Точки DD, EE, FF вибрано на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що DEFDEF — також рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть найменшу можливу площу трикутника DEFDEF.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-063

Центри описаних кіл серединних трикутників

У трикутнику ABCABC сторони AB=6AB = 6, BC=7BC = 7 і CA=8CA = 8. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Також нехай OAO_{A}, OBO_{B}, OCO_{C} — центри описаних кіл трикутників AFDAFD, BDEBDE і CEFCEF відповідно. Знайдіть площу трикутника OAOBOCO_{A} O_{B} O_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-067

Довжина дотичної з вершини трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=20AB = 20, BC=10BC = 10, CA=15CA = 15. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, пряма BIBI перетинає ACAC у точці EE, а пряма CICI перетинає ABAB у точці FF. Припустімо, що описані кола трикутників BIFBIF і CIECIE перетинаються в точці DD, відмінній від II. Знайдіть довжину дотичної з точки AA до описаного кола трикутника DEFDEF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-040

Найкоротші шляхи, що уникають кольорових відрізків

На площині є різні точки OO, AA, BB, K1K_1, …\ldots, KnK_n, L1L_1, …\ldots, LnL_n такі, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Відкриті відрізки K1L1K_1L_1, …\ldots, KnLnK_nL_n пофарбовані в червоний колір, інші точки на площині залишаються непофарбованими. Дозволений шлях від точки OO до точки XX — це ламана, першою та останньою вершинами якої є точки OO та XX і яка не містить червоних точок. Наприклад, для n=1n = 1, K1=(−1;0)K_1 = (-1; 0), L1=(1;0)L_1 = (1; 0), O=(0;−1)O = (0; -1) та X=(0;1)X = (0; 1), ламані OK1XOK_1X та OL1XOL_1X є прикладами дозволених шляхів від OO до XX; коротших дозволених шляхів немає. Знайдіть найменше додатне ціле число nn, для якого може статися так, що перша відмінна від OO вершина на будь-якому найкоротшому можливому дозволеному шляху від OO до AA ближче до BB, ніж до AA, а перша відмінна від OO вершина на будь-якому найкоротшому можливому дозволеному шляху від OO до BB ближче до AA, ніж до BB.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-006

Перетин дотичної до описаного кола з прямою сторони

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, довжини сторін якого є натуральними числами, попарно взаємно простими. Дотична в точці AA до описаного кола перетинає пряму BCBC в точці DD. Доведіть, що ∣BD∣|BD| не є цілим числом.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2018-007

Дотична до описаного кола перпендикулярна до сторони

Дано трикутник △ABC\triangle A B C з ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}. Середину катета ACA C позначимо через DD, а ортогональну проєкцію CC на пряму BDB D позначимо через EE. Доведіть, що дотична в CC до описаного кола трикутника △AEC\triangle A E C перпендикулярна до гіпотенузи ABA B.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-008

Центр описаного кола на медіані трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — центр його описаного кола. Пряма OAOA перетинає висоту hbh_{b} в точці PP, а висоту hch_{c} в точці QQ. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQHPQH лежить на медіані трикутника ABCABC, що проходить через AA.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2018-014

Висоти трикутника з рівними відстанями

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа висоти з AA. На прямій ADAD лежать різні точки EE і FF такі, що ∣AE∣=∣BE∣|AE| = |BE| і ∣AF∣=∣CF∣|AF| = |CF|. Точка T≠DT \neq D така, що ∠BTE=∠CTF=90∘\angle BTE = \angle CTF = 90^\circ. Доведіть, що ∣TA∣2=∣TB∣⋅∣TC∣|TA|^2 = |TB| \cdot |TC|. Розглядаємо конфігурацію з порядком точок як на малюнку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-032

Дотичні, що перетинаються в одній точці на описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола II, центром описаного кола OO та описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони AB‾\overline{AB}. Промінь AIAI перетинає BC‾\overline{BC} у точці DD. Позначимо через ω\omega і γ\gamma описані кола трикутників △BIC\triangle BIC і △BAD\triangle BAD відповідно. Пряма MOMO перетинає ω\omega у точках XX і YY, а пряма COCO перетинає ω\omega у точках CC і QQ. Припустімо, що точка QQ лежить усередині △ABC\triangle ABC і що ∠AQM=∠ACB\angle AQM = \angle ACB. Проведено дотичні до кола ω\omega у точках XX і YY та дотичні до кола γ\gamma у точках AA і DD. За умови ∠BAC≠60∘\angle BAC \neq 60^\circ доведіть, що ці чотири прямі перетинаються в одній точці, що лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-020

Дотик у трикутнику з вписаним колом

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC ще раз у точці DD. Пряма через точку II, перпендикулярна до прямої ADAD, перетинає BCBC у точці FF. Середину дуги BCBC, на якій лежить AA, позначимо через MM. Пряма MIMI перетинає коло через B,IB, I і CC ще раз у точці NN. Доведіть, що пряма FNFN дотикається до кола через B,IB, I і CC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-017

Сума кутів у трикутнику з бісектрисою і центром описаного кола

У нерівнобедреному трикутнику △ABC\triangle A B C виконується ∠BAC=60∘\angle B A C=60^{\circ}. Нехай DD — точка перетину бісектриси кута ∠BAC\angle B A C зі стороною BCB C, OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, а EE — точка перетину прямої AOA O з прямою BCB C. Доведіть, що ∠AED+∠ADO=90∘\angle A E D+\angle A D O=90^{\circ}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2018-034

Рівні кола з рівних хорд

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, а HH — основа висоти, опущеної з AA на сторону BC‾\overline{BC}. Нехай PP і QQ — точки на колі ω\omega, для яких PA=PHPA = PH і QA=QHQA = QH. Дотична до кола ω\omega в точці PP перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E1E_1 і F1F_1 відповідно; дотична до кола ω\omega в точці QQ перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників △AE1F1\triangle AE_1F_1 і △AE2F2\triangle AE_2F_2 рівні, а пряма, що проходить через їхні центри, паралельна дотичній до кола ω\omega в точці AA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2018-023

Відношення хорд за умов про середини

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки, що лежать на колі в цьому порядку. Припустимо, що існує точка KK на відрізку ABA B, така, що BDB D ділить навпіл відрізок KCK C, а ACA C ділить навпіл відрізок KDK D. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати ∣ABCD∣\left|\frac{A B}{C D}\right|.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-026

Нерівність з добутками квадратних тричленів і різниць

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа. Доведіть: (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)(d2−d+1)≥916(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)\left(a^{2}-a+1\right)\left(b^{2}-b+1\right)\left(c^{2}-c+1\right)\left(d^{2}-d+1\right) \geq \frac{9}{16}(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2018-027

Перетин прямих у трикутнику з побудованими точками

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина відрізка BCBC, а DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD. Нехай EE — точка з іншого боку від прямої CDCD, ніж BB, така, що ∠EDC=∠ACB\angle EDC = \angle ACB і ∠DCE=∠BAC\angle DCE = \angle BAC. Нехай FF — перетин прямої CECE з прямою, паралельною до DEDE, що проходить через AA, а ZZ — перетин прямих AEAE і DFDF. Доведіть, що прямі ACAC, BFBF і MZMZ перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-005

Площа многокутника з квадратів на трапеції

ABCDABCD — рівнобічна трапеція з довжинами сторін AB=15AB=15, BC=DA=5BC=DA=5, CD=7CD=7. На сторонах трапеції ABCDABCD, зовні трапеції ABCDABCD, побудовано чотири квадрати. Згідно з рисунком, чому дорівнює площа многокутника A1A2B1B2C1C2D1D2A_1A_2B_1B_2C_1C_2D_1D_2? (A) 297+355297+35\sqrt{5} (E) 2005200\sqrt{5} (B) 396 (C) 423 (D) 105+1445105+144\sqrt{5}
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-001

Трикутник з перпендикулярністю бісектриси

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — його внутрішня точка. Нехай HH — точка на стороні BCBC така, що бісектриса кута AHP^\widehat{AHP} перпендикулярна до прямої BCBC. Відомо, що ABC^=HPC^\widehat{ABC}=\widehat{HPC} і BPC^=130∘\widehat{BPC}=130^\circ. Знайдіть величину кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-004

Рівнобедрений трикутник з подібними надбудовами

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з основою BC=10BC = 10 і AB=ACAB = AC. На його двох бічних сторонах зовні побудовано два інші рівнобедрені трикутники DABDAB і EACEAC, обидва подібні до ABCABC, причому DA=DBDA = DB і EA=ECEA = EC. Відомо, що DE=45DE = 45. Знайти довжину сторони ABAB. (A) 15 (B) 20 (C) 959\sqrt{5} (D) 22.5 (E) Неможливо визначити, маючи лише наведені дані.
9–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-007

Радіус кола, описаного навколо точок дотику трьох кіл

Дано три кола Γ,Γ1,Γ2\Gamma, \Gamma_{1}, \Gamma_{2} з радіусами відповідно 6, 3, 2. Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються зовнішньо в точці AA, а Γ\Gamma дотикається до обох інших кіл внутрішньо, відповідно в точках A1A_{1} та A2A_{2}. Визначте радіус кола, описаного навколо трикутника AA1A2A A_{1} A_{2}. (A) 262 \sqrt{6} (B) 5 (C) 2+3+6\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} (D) 4+34+\sqrt{3} (E) 6
9–11 класиКола, що дотикаються
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-004

Згин прямокутника з суміщенням вершини із серединою сторони

Прямокутник ABCDABCD зі сторонами AB=240 смAB=240~\text{см} і BC=288 смBC=288~\text{см} зображує аркуш паперу, який згинають уздовж відрізка EFEF, де EE належить стороні ADAD, а FF належить стороні BCBC, так, щоб точка CC опинилася на середині сторони ABAB. a) Яка довжина відрізка CC′CC^{\prime}? b) Яка довжина відрізка EFEF?
8–9 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.