Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-012

Сума дробів з коренями (a+b)(a+c) у знаменнику

Доведіть нерівність aa+(a+b)(a+c)+bb+(b+c)(b+a)+cc+(c+a)(c+b)≤1,\frac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \le 1, де aa, bb і cc — додатні числа.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-040

Мінімізація суми квадратів на ребрах куба

На двох кінцях головної діагоналі куба записано числа 00 і 20132013, решта 66 вершин куба містять дійсні числа x1,…,x6x_1, \dots, x_6. На кожному ребрі куба записано різницю між числами на його кінцях, SS — сума квадратів чисел, записаних на ребрах. Для яких чисел x1,…,x6x_1, \dots, x_6 значення SS мінімальне?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-013

Функції з подільністю mf(m)+n на m²+f(n)

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що m2+f(n)∣mf(m)+nm^{2}+f(n) \mid m f(m)+n для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-001

Симетрія в рекурентно заданих послідовностях

Нехай nn — натуральне число, а a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} — довільні дійсні числа. Визначимо послідовності u0,…,unu_{0}, \ldots, u_{n} та v0,…,vnv_{0}, \ldots, v_{n} індуктивно рівностями u0=u1=v0=1u_{0}=u_{1}=v_{0}=1 і uk+1=uk+akuk−1,vk+1=vk+an−kvk−1 для k=1,…,n−1.u_{k+1}=u_{k}+a_{k} u_{k-1}, \quad v_{k+1}=v_{k}+a_{n-k} v_{k-1} \quad \text{ для } k=1, \ldots, n-1 . Доведіть, що un=vnu_{n}=v_{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-004

Функціональне рівняння для многочлена з кубічними коефіцієнтами

Нехай m≠0m \neq 0 — ціле число. Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що (x3−mx2+1)P(x+1)+(x3+mx2+1)P(x−1)=2(x3−mx+1)P(x)\left(x^{3}-m x^{2}+1\right) P(x+1)+\left(x^{3}+m x^{2}+1\right) P(x-1)=2\left(x^{3}-m x+1\right) P(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-015

Цілозначна функція із симетрією раціонального аргументу

Знайдіть усі функції f:Q⟶Zf: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x)+ab)=f(x+ab)f\left(\frac{f(x)+a}{b}\right)=f\left(\frac{x+a}{b}\right) для всіх x∈Qx \in \mathbb{Q}, a∈Za \in \mathbb{Z} і b∈Z>0b \in \mathbb{Z}_{>0}. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-016

Відмінні пари та сума дільників

Нехай ν\nu — ірраціональне додатне число, а mm — натуральне число. Пару (a,b)(a, b) натуральних чисел називають хорошою, якщо a⌈bν⌉−b⌊aν⌋=ma\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m Хорошу пару (a,b)(a, b) називають відмінною, якщо жодна з пар (a−b,b)(a-b, b) і (a,b−a)(a, b-a) не є хорошою. (Як звичайно, через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor і ⌈x⌉\lceil x\rceil позначаємо цілі числа такі, що x−1<⌊x⌋⩽xx-1<\lfloor x\rfloor \leqslant x і x⩽⌈x⌉<x+1x \leqslant\lceil x\rceil<x+1.) Доведіть, що кількість відмінних пар дорівнює сумі додатних дільників числа mm.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-001

Послідовність із цілою частиною та повними квадратами

Нехай (an)n≥1\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} — послідовність з a1=1a_{1}=1 і an+1=⌊an+an+12⌋a_{n+1}=\left\lfloor a_{n}+\sqrt{a_{n}}+\frac{1}{2}\right\rfloor для всіх n≥1n \geq 1, де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує xx. Знайдіть усі n≤2013n \leq 2013, для яких ana_{n} є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-002

Пара функцій і тотожна функція як спільна комутуюча

Чи існує така пара функцій g,h:R→Rg, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що єдиною функцією f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, яка одночасно задовольняє умови f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) та f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)) для всіх дійсних xx, є функція f(x)=xf(x)=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-003

Функціональне рівняння з f(yf(x+y)+f(x))

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, які для довільних дійсних чисел xx та yy задовольняють рівність f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-008

Слово, що стає накопиченим після обміну сусідніх літер

Під «словом» будемо розуміти скінченну послідовність літер деякої абетки. Назвімо слово накопиченим, якщо воно є об’єднанням щонайменше двох однакових менших слів (наприклад, слова́ «абабаб» та «вабваб» накопичені, а слова «абаба» й «аабб» — ні). Доведіть, що якщо після обміну місцями довільних двох сусідніх літер слова воно стає накопиченим, то це слово складається з однакових літер. (Якщо дві сусідні літери слова однакові, їх також можна поміняти місцями — отримане слово збігатиметься з початковим і також має бути накопиченим.)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-010

Сума, різниця та добуток двох натуральних чисел

Сума певних двох натуральних чисел у 77 разів більша за їхню різницю, а добуток цих же чисел більший за їхню різницю у 3636 разів. Знайдіть більше з цих двох чисел.
4–6 класиЛінійні рівняння та системи
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-015

Вік Богдана у 2012 році

Безпосередньо перед народженням Василя вік Данила дорівнював сумі віку Аліни, Богдана й Галини, а середній вік усіх чотирьох складав рівно 1919 років. У 20102010 році вік Галини на 88 років перевищував суму віку Богдана й Василя, а середній вік усіх п’ятьох дорівнював 35,235{,}2; 20122012 року середній вік Богдана, Василя, Галини й Данила складав 39,539{,}5. Скільки років було у 20122012-му Богдану?
4–6 класиЛінійні рівняння та системи
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-003

Двоцифрові числа з половиною суми цифр a + 4

Скільки існує двоцифрових чисел aa таких, що сума цифр числа a+4a+4 дорівнює половині суми цифр числа aa?
4–6 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-017

Сума невідомих чисел на уламках таблички

Глиняна табличка містить числа, частину з яких показано на рис. 5.6. У першому стовпці таблиці записано послідовні цілі числа, починаючи з 00. У першому рядку таблиці кожне наступне число більше за попереднє на 11; у другому рядку кожне наступне число більше за попереднє на 22 і т. д. Табличка впала й розбилася. Ми знайшли два її уламки — горизонтальний і вертикальний, — їх зображено на рис. 5.7. На місцях, позначених знаками питання, чисел, на жаль, уже не розгледіти. З’ясуйте, якою могла бути сума цих чисел. | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 00 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | …\ldots | | 11 | 33 | 55 | 77 | 99 | 1111 | …\ldots | | 22 | 55 | 88 | 1111 | 1414 | 1717 | …\ldots | | 33 | 77 | 1111 | 1515 | 1919 | 2323 | …\ldots | | 44 | 99 | 1414 | 1919 | 2424 | 2929 | …\ldots | | 55 | 1111 | 1717 | 2323 | 2929 | 3535 | …\ldots | | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | Рис. 5.6
4–6 класиАрифметична прогресія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-011

Золоті, срібні та бронзові призери двох шкіл

Кожен учень шкіл А та Б є призером олімпіади. Кількість золотих призерів в обох школах однакова. Відсоток учнів школи А, які отримали золоту медаль, та відсоток учнів школи Б, які отримали золоту медаль, відносяться як 5:65:6. Кількість срібних призерів зі школи А відноситься до кількості срібних призерів зі школи Б як 9:29:2. Відомо, що срібними призерами стали 20 %20\,\% від загальної кількості учнів в обох школах. Якщо бронзовими призерами є 50 %50\,\% учнів школи А, який відсоток учнів школи Б отримали золоту медаль?
4–6 класиЛінійні рівняння та системи
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-016

Дев'ять послідовних чисел у колах із сумою 23

Кожне з кіл, зображених на рис. 5.5, повинно містити натуральне число. Ці дев’ять чисел є послідовними, а сума чисел на кожній із семи накреслених ліній має дорівнювати 2323. Число у правому верхньому колі повинно бути меншим від числа у правому нижньому колі. Відновіть усі числа, знаючи лише одне з них.
4–6 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-018

Сума перших 2012 чисел рядка з 1 і 2012

У рядок записано числа, кожне з яких дорівнює 11 або 20122012. Перше число в рядку — 20122012. Між першим числом 20122012 і другим числом 20122012 записано рівно одну одиницю. Між другим числом 20122012 і третім числом 20122012 записано рівно дві одиниці, між третім числом 20122012 і четвертим числом 20122012 записано рівно три одиниці і т. д. Знайдіть суму перших 20122012 чисел такої послідовності.
4–6 класиАрифметична прогресія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-025

Червоні й чорні мурахи та різниця рік тому

На початку кожного місяця доросла червона мураха народжує трьох малих чорних мурах, а доросла чорна мураха з'їдає одну малу чорну мураху, народжує трьох малих червоних мурах і помирає. Протягом місяця малі мурахи перетворюються на дорослих і процес повторюється. Якщо на Різдво було 9 000 0009\,000\,000 червоних мурах та 1 000 0001\,000\,000 чорних, чому дорівнювала різниця між кількістю червоних і чорних мурах на Різдво рік тому?
4–6 класиЛінійні рекурентні послідовності
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-045

Чотирицифрові числа із сумою добутків розбиттів 666

Розглянемо число 20122012. Його можна розбити на два менших числа трьома способами: 2∣0122|012, 20∣1220|12 і 201∣2201|2. Якщо знайти добуток чисел у кожній з пар і додати добутки, отримаємо 2⋅012+20⋅12+201⋅2=6662 \cdot 012 + 20 \cdot 12 + 201 \cdot 2 = 666. Знайдіть усі інші чотирицифрові числа, для яких результатом цієї операції також є число 666666.
7–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-032

Числа до 20112012 з цифрами 0, 1, 2

Скільки натуральних чисел, що не перевищують 2011201220112012, у своєму записі мають лише цифри 00, 11 і 22?
7–9 класиСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.