Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-034

Перпендикулярні відрізки в одиничному квадраті

В одиничному квадраті ABCDABCD точки E,F,GE, F, G вибрано на сторонах BC,CD,DABC, CD, DA відповідно так, що AEAE перпендикулярна до EFEF, а EFEF перпендикулярна до FGFG. Відомо, що GA=4041331GA=\frac{404}{1331}. Знайдіть усі можливі значення довжини BEBE.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-036

Радіус описаної сфери рівнобедреного тетраедра

Тетраедр ABCDA B C D з об'ємом 11 вписано у сферу ω\omega так, що AB=AC=AD=2A B = A C = A D = 2 і BC⋅CD⋅DB=16B C \cdot C D \cdot D B = 16. Знайдіть радіус сфери ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2017-004

Колінеарність у колі з дотичними

Дано коло ω\omega з діаметром AKA K. Точка MM лежить усередині кола, не на прямій AKA K. Пряма AMA M перетинає ω\omega ще раз у QQ. Дотична до кола ω\omega у QQ перетинає пряму, що проходить через MM перпендикулярно до AKA K, у PP. Точка LL лежить на колі ω\omega так, що пряма PLP L є дотичною, причому L≠QL \neq Q. Доведіть, що K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-010

Чотирикутник ABCD з бісектрисою BD і прямою, паралельною до AC

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Діагональ BDBD є бісектрисою кута ∡CBA\measuredangle CBA. Описане коло трикутника ABCABC перетинає відрізки CD‾\overline{CD} та DA‾\overline{DA} у внутрішніх точках PP та QQ відповідно. Пряма, що проходить через точку DD паралельно прямій ACAC, перетинає прямі BABA та BCBC у точках RR та SS відповідно. Доведіть, що чотири точки P,Q,RP, Q, R та SS лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-012

П'ятикутник з рівними сторонами та умовами на кути

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник з властивостями AB‾=BC‾=CD‾,∠BAE=∠DCB і ∠EDC=∠CBA.\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}, \angle B A E=\angle D C B \text{ і } \angle E D C=\angle C B A . Доведіть, що пряма, проведена через EE перпендикулярно до сторони BCB C, проходить через точку перетину діагоналей ACA C і BDB D.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-014

Дотик вписаного кола і перетин описаних кіл

Вписане коло нерівнобедреного трикутника △ABC\triangle ABC має центр II і дотикається до сторін BCBC та CACA відповідно в точках DD і EE. Нехай HH — ортоцентр трикутника △ABI\triangle ABI, KK — точка перетину прямих AIAI і BHBH, а LL — точка перетину прямих BIBI і AHAH. Доведіть, що описані кола трикутників △DKH\triangle DKH і △ELH\triangle ELH перетинаються на вписаному колі трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-027

Образ інцентра при симетрії на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \ne BC, а II — його інцентр. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а пряма, що проходить через DD перпендикулярно до ACAC, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що образ точки II при симетрії відносно ACAC лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-020

Точка, симетрична інцентру відносно сторони, на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \neq BC. Нехай далі II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а перпендикуляр до ACAC, проведений через DD, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що точка, симетрична точці II відносно прямої ACAC, лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2017-022

Дотик зовнівписаного кола до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Зовнівписане коло ω\omega, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до відрізка BC‾\overline{BC}, а також до променів ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нарешті, нехай MM — середина відрізка AD‾\overline{AD}. Доведіть, що коло ω\omega і описане коло трикутника MPQMPQ дотикаються.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-024

Паралельні прямі у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Середини відрізків ADAD і ACAC позначимо відповідно EE і FF. Нехай MM — центр описаного кола △BEF\triangle BEF. Доведіть, що AC∥BMAC \parallel BM.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-019

Найбільше діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Яку найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника можна провести так, щоб якщо дві діагоналі перетинаються у внутрішній області, то вони перпендикулярні одна до одної?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-033

Рівнобедрений трикутник із дотичною до вписаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA та висотою ADAD. На стороні ABAB вибрано точку FF, відмінну від BB, таку, що пряма CFCF дотикається до вписаного кола трикутника ABDABD. Припустимо, що △BCF\triangle BCF є рівнобедреним. Доведіть, що ці умови однозначно визначають: a) яка з вершин трикутника BCFBCF лежить проти його основи (є вершиною рівнобедреного трикутника); b) величину ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2017-032

Дотична і перетин в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCA B C точка MM — середина сторони ABA B, а NN — середина відрізка CMC M. Нехай XX — точка, для якої ∠XMC=∠MBC\angle X M C=\angle M B C і ∠XCM=∠MCB\angle X C M=\angle M C B, причому XX і BB лежать по різні боки від прямої CMC M. Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника AMXA M X. a) Доведіть, що пряма CMC M дотикається до кола Ω\Omega. b) Доведіть, що прямі NXN X і ACA C перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-031

Розділення точок прямими

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що: для будь-яких nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій, існує mm прямих таких, що жодна пряма не проходить через жодну з даних точок і для кожної пари даних точок X≠YX \neq Y існує пряма, відносно якої XX і YY лежать по різні боки.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-028

Геометричне місце центрів описаних кіл проєкцій

Нехай kk — коло, а ABAB — хорда кола kk, така, що центр кола kk не лежить на ABAB. Нехай CC — відмінна від AA і BB точка на колі kk. Для кожного вибору CC нехай PCP_{C} і QCQ_{C} — проєкції точки AA на пряму BCBC та точки BB на пряму ACAC відповідно. Далі нехай OCO_{C} — центр описаного кола трикутника PCQCCP_{C} Q_{C} C. Доведіть, що існує коло ω\omega таке, що OCO_{C} для кожного вибору CC лежить на ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-042

Геометричне місце центрів подібності трикутників

Нехай B=(−1,0)B = (-1,0) і C=(1,0)C = (1,0) — фіксовані точки координатної площини. Непорожню обмежену підмножину SS площини називають гарною, якщо (i) існує точка T∈ST \in S така, що для кожної точки Q∈SQ \in S відрізок TQTQ цілком міститься в SS; та (ii) для будь-якого трикутника P1P2P3P_1P_2P_3 існує єдина точка A∈SA \in S і перестановка σ\sigma індексів {1,2,3}\{1,2,3\}, для яких трикутники ABCABC і Pσ(1)Pσ(2)Pσ(3)P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} подібні. Доведіть, що існують дві різні гарні підмножини SS і S′S' множини {(x,y):x≥0,y≥0}\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\} такі, що якщо A∈SA \in S і A′∈S′A' \in S' — єдині точки з (ii), то добуток BA⋅BA′BA \cdot BA' є сталою, незалежною від трикутника P1P2P3P_1P_2P_3.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-041

Відбиття центра вписаного кола на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник з AB=AC≠BCAB = AC \neq BC і II — центр його вписаного кола. Пряма BIBI перетинає сторону ACAC у точці DD, а перпендикуляр до прямої ACAC, проведений через DD, перетинає пряму AIAI у точці EE. Доведіть, що образ точки II при симетрії відносно прямої ACAC лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2017-044

Проєкція на спільну дотичну до півкіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC2+BCAB = \frac{AC}{2} + BC. Розглянемо два півкола поза трикутником з діаметрами ABAB і BCBC. Нехай XX — ортогональна проєкція точки AA на спільну дотичну до цих півкіл. Знайдіть ∠CAX\angle CAX.
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-001

Рівність радіусів кіл у побудові з шестикутником

Нехай aa і bb — два додатні дійсні числа. Розглянемо правильний шестикутник зі стороною aa і побудуємо на його сторонах шість прямокутників зі сторонами aa і bb, розташованих зовні шестикутника. Дванадцять нових вершин лежать на одному колі. Повторимо попередню операцію, але помінявши місцями значення aa і bb: тобто почнемо з правильного шестикутника зі стороною bb і побудуємо на ньому, знову зовні шестикутника, шість прямокутників зі сторонами aa і bb. Отримаємо, що дванадцять нових вершин лежать на другому колі. Доведіть, що ці два кола мають однаковий радіус.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-012

Прямокутна трапеція з вписаним колом

Прямокутна трапеція з більшою основою ABAB і меншою основою CDCD описана навколо кола радіуса 1010. Відомо, що бічна сторона BCBC дорівнює 2424. Яка відстань між серединами сторін BCBC і ADAD? (A) 21 (B) 13211\frac{13}{2} \sqrt{11} (C) 33511\frac{33}{5} \sqrt{11} (D) 22 (E) 23
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-015

Перетин дотичних до кола в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа бісектриси, що виходить з AA. Нехай ω\omega — коло через AA, дотичне до сторони BCBC в DD, а E,FE, F — точки перетину кола ω\omega зі сторонами AB,ACAB, AC відповідно. Дотичні до кола ω\omega в EE і FF перетинаються в PP. Відомо, що PE=3PE=3, а радіус кола ω\omega дорівнює 44. Чому дорівнює довжина відрізка PDPD? (A) 34\frac{3}{4} (B) 11 (C) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (D) 2\sqrt{2} (E) Даних недостатньо, щоб його визначити
10–11 класиДотична кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-004

Рівнобедрений трикутник і паралелограм у колі

Дано коло ω\omega з діаметром ABA B, і PP — внутрішня точка відрізка ABA B, нехай MM — середина відрізка PBP B. Нехай r,sr, s — дві паралельні прямі, що проходять відповідно через M,PM, P і не збігаються з прямою ABA B та не перпендикулярні до неї. Нехай далі HH — ортогональна проєкція AA на пряму ss, а KK — точка перетину (відмінна від AA) кола ω\omega з прямою AHA H. Нехай нарешті X,YX, Y — перетини прямої rr з колом ω\omega, де XX лежить з протилежного від HH боку відносно прямої ABA B. a. Доведіть, що трикутник HYKH Y K рівнобедрений. b. Доведіть, що BXHYB X H Y — паралелограм.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-024

Спільна дотична вписаних кіл двох частин трикутника

Точку DD вибрано на стороні BCBC трикутника ABCABC. Пряма, дотична до вписаних кіл трикутників ABDABD і ADCADC та відмінна від прямих BCBC і ADAD, перетинає відрізок ADAD у точці TT. Якщо AB=40 смAB=40\ \text{см}, AC=50 смAC=50\ \text{см} і BC=60 смBC=60\ \text{см}, знайдіть довжину відрізка ATAT.
8–9 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-027

Перетин прямих у суміжних квадратах

На малюнку нижче ABCDABCD і EFGCEFGC — квадрати. Прямі BGBG і DEDE перетинаються в точці HH. a) Перевірте, що ∠BHD=90∘\angle BHD = 90^\circ, і зробіть висновок, що точка HH лежить одночасно на колах з діаметрами BDBD і EGEG. b) Знайдіть значення ∠AHD+∠DHG+∠GHF\angle AHD + \angle DHG + \angle GHF.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-028

Відстань між бісектрисою та основою висоти

Трикутник ABCAB C має сторони завдовжки AB=50 смAB = 50~\text{см}, BC=20 смBC = 20~\text{см} і AC=40 смAC = 40~\text{см}. Нехай MM і NN — точки на стороні ABAB такі, що CMCM — бісектриса кута ∠ACB\angle ACB, а CNCN — висота, проведена до сторони ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка MNMN у сантиметрах?
8–9 класиОсновна властивість бісектриси

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.