Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-033

Конгруентні трикутники на зовнішніх квадратах

Розглянемо трикутник ABCABC і квадрати ABDEABDE та ACFGACFG, побудовані назовні на його сторонах. Відрізки BGBG і ECEC перетинаються в точці PP. a) Доведіть, що трикутники BAGBAG і EACEAC конгруентні. b) Оскільки ці два трикутники конгруентні та мають спільну точку AA, ми можемо повернути один із них навколо точки AA, щоб отримати інший. Визначте кут повороту та обчисліть кут ∠BPC\angle BPC.
8–9 класиПоворот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-034

Серединний перпендикуляр і центр описаного кола

Серединним перпендикуляром до відрізка XYX Y називається пряма, перпендикулярна до відрізка, що проходить через його середину. Основна властивість серединного перпендикуляра полягає в тому, що точка лежить на ньому тоді й лише тоді, коли відстань від цієї точки до XX дорівнює відстані від цієї точки до YY. Твердження, сформульоване з використанням «тоді й лише тоді», рівносильне двом імплікаціям. У даному випадку, щоб перевірити сформульоване твердження, нам потрібно, з одного боку, показати, що якщо відстань до XX дорівнює відстані до YY, то точка лежить на серединному перпендикулярі. З іншого боку, нам потрібно показати, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі, то відстані до точок XX і YY рівні. Щоб довести першу частину, розгляньмо точку PP таку, що PX=PYP X=P Y, і нехай MM — середина відрізка XYX Y. Трикутники PMXP M X і PMYP M Y рівні, оскільки мають три відповідні сторони однакової довжини. Отже, ∠PMX=∠PMY\angle P M X=\angle P M Y. Оскільки X,MX, M і YY колінеарні, маємо ∠PMX+∠PMY=180∘\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}. Отже, ∠PMX=90∘\angle P M X=90^{\circ} і PP лежить на прямій, перпендикулярній до відрізка, що проходить через його середину. a) Доведіть другу частину твердження, тобто доведіть, що якщо PP — точка на серединному перпендикулярі до відрізка XYX Y, то PX=PYP X=P Y. b) Доведіть, що будь-який трикутник ABCA B C має точку OO в тій самій площині таку, що OA=OB=OCO A=O B=O C. Ця точка називається центром описаного кола трикутника, оскільки коло з центром OO і радіусом AOA O проходить через три вершини трикутника ABCA B C. c) Розгляньмо чотирикутник ABCDA B C D. Припустимо, що серединні перпендикуляри до відрізків ABA B, ACA C і ADA D перетинаються в одній точці, тобто всі три проходять через одну й ту саму точку. Доведіть, що існує коло, яке проходить через 4 вершини чотирикутника ABCDA B C D.
8–9 класиТочка перетину серединних перпенд…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-038

Братні трикутники, квадрати та поворот

На рисунку нижче зображено трикутник ABCA B C, два квадрати ABDEA B D E і ACFGA C F G, обидва побудовані на сторонах трикутника ABCA B C, та інший трикутник AEGA E G. Будемо казати, що трикутники ABCA B C і AEGA E G, розташовані таким чином відносно двох квадратів, є трикутниками-братами. a. Перевірте, що ∠BAC+∠GAE=180∘\angle B A C+\angle G A E=180^\circ. b. Після перевірки попереднього пункту ми можемо повернути трикутник AEGA E G на 90∘90^\circ проти годинникової стрілки навколо AA, щоб перейти в положення BAG′B A G'. Зазначимо, що BA=AEB A=A E, оскільки це сторони квадрата ABDEA B D E. Виходячи з цього, доведіть, що трикутники-брати ABCA B C і AEGA E G мають однакову площу.
8–9 класиПоворот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-039

Трикутник тієї ж площі з рівною стороною

Розгляньмо гострокутний трикутник ABCA B C. Поясніть, як побудувати трикутник DBCD B C з тією самою площею, що й трикутник ABCA B C, такий, що DB=ABD B=A B, але не конгруентний трикутнику ABCA B C.
8–9 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-043

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями

Чотирикутник називається вписаним, коли його чотири вершини лежать на одному колі. Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD з перпендикулярними діагоналями ACAC і BDBD. Крім того, нехай OO — центр кола, що проходить через вершини чотирикутника, а PP — точка перетину діагоналей. a) З точки PP проведемо пряму rr, перпендикулярну до BCBC. Пряма rr перетинає BCBC в точці XX, а ADAD — в точці MM. Доведіть, що MM — середина сторони ADAD. b) З точки PP проведемо пряму ss, перпендикулярну до ADAD, що перетинає ADAD в точці YY, а BCBC — в точці NN. Доведіть, що чотирикутник OMPNOMPN — паралелограм.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-010

Рівнобедрений трикутник із дотичної побудови

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і описаним колом kk. Дотична до кола kk, проведена через AA, перетинає пряму BCBC в точці PP. Бісектриса кута ∠APB\angle APB перетинає сторону ABAB в точці DD і сторону ACAC в точці EE. Доведіть, що трикутник ADEADE рівнобедрений.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-001

Рівність відрізків при перетині бісектриси з колом

Нехай AA і BB — точки на колі kk з центром OO, такі, що AB>AOA B > A O. Нехай CC — відмінна від AA точка перетину бісектриси ∠OAB\angle O A B з колом kk. Нехай DD — відмінна від BB точка перетину прямої ABA B з описаним колом трикутника OBCO B C. Доведіть, що AD=AOA D = A O.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-011

Вписаний чотирикутник, утворений бісектрисами кутів

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з гіпотенузою ABAB. Коло з центром CC перетинає відрізок ABAB двічі в точках PP і QQ, причому PP лежить між AA і QQ. Нехай RR — точка на відрізку BCBC така, що ∠RAC=12∠PCQ\angle RAC = \frac{1}{2} \angle PCQ, а SS — точка на відрізку ACAC така, що ∠CBS=12∠PCQ\angle CBS = \frac{1}{2} \angle PCQ. Далі нехай TT — точка перетину відрізків CPCP і ARAR, а UU — точка перетину відрізків CQCQ і BSBS. Доведіть, що RSTURSTU — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-005

Трикутник з дотичною та відстанню між серединами

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AC>ABAC > AB. Нехай PP — точка перетину прямої BCBC і дотичної, проведеної через AA, до описаного кола трикутника ABCABC. Нехай QQ — точка на прямій ACAC, така, що AQ=ABAQ = AB і AA лежить між CC і QQ. Нехай XX і YY — середини відрізків BQBQ і APAP відповідно. Нехай RR — точка на відрізку APAP, така, що AR=BPAR = BP і RR лежить між AA і PP. Доведіть, що BR=2XYBR = 2XY.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-008

Рівнобедрений трикутник і перетин з колом

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, причому AB>BCAB > BC. Нехай kk — коло з центром AA, яке проходить через BB і CC. Нехай HH — друга точка перетину кола kk з висотою трикутника ABCABC, проведеною через BB. Далі нехай GG — друга точка перетину кола kk з медіаною, проведеною через BB у трикутнику ABCABC. Нехай XX — точка перетину прямих ACAC і GHGH. Доведіть, що CC — середина відрізка AXAX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-005

Спільна точка прямих на описаному колі трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD і BEBE, що перетинаються в точці HH. Нехай MM — середина відрізка ABAB, і припустимо, що описані кола △DEM\triangle DEM і △ABH\triangle ABH перетинаються в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої CHCH, що й AA. Доведіть, що прямі EDED, PHPH і MQMQ проходять через одну точку на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-009

Дотична з проєкції на півколі

Нехай ABCABC — непрямокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Позначимо через HH проєкцію AA на пряму (BC)(BC), а через E,FE, F — проєкції HH на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) відповідно. Пряма (EF)(EF) перетинає (BC)(BC) у точці DD. Дано півколо з діаметром [CD][CD], розташоване в тій самій півплощині відносно прямої (CD)(CD), що й AA. Нехай KK — точка цього півкола, яка проєктується в BB. Доведіть, що пряма (DK)(DK) є дотичною до кола KEFKEF.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-003

Симетрія та дотичні у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через PP точку, симетричну BB відносно прямої (AC)(AC), а через QQ — точку, симетричну CC відносно прямої (AB)(AB). Нехай TT — точка перетину прямої (PQ)(PQ) з дотичною в AA до описаного кола (APQ)(APQ). Доведіть, що точка, симетрична TT відносно AA, належить прямій (BC)(BC).
9–11 класиТеорема Менелая
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-008

Перпендикулярність з інцентром і діаметром описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна AA на описаному колі. Припустимо, що точка EE променя [BA)[BA) і точка FF променя [CA)[CA) задовольняють умову BE=CF=AB+BC+CA2.BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2}. Доведіть, що (EF)⊥(DI)(EF) \perp (DI).
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-083

Зовнішня дотична до двох кіл, що дотикаються

Два кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2} мають радіуси 22 і 33 та дотикаються ззовні в точці PP. Спільна зовнішня дотична до цих двох кіл перетинає пряму O1O2O_{1} O_{2} в точці QQ. Чому дорівнює довжина відрізка PQPQ?
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-001

Блукання ґраткою без самоперетинів

Тесей стартує з точки (0,0)(0,0) на площині. Якщо Тесей стоїть у точці (x,y)(x, y) на площині, він може зробити крок на одиницю на північ до точки (x,y+1)(x, y+1), на одиницю на захід до точки (x−1,y)(x-1, y), на одиницю на південь до точки (x,y−1)(x, y-1) або на одиницю на схід до точки (x+1,y)(x+1, y). Після послідовності з понад двох таких ходів, яка починається з кроку на одиницю на південь (до точки (0,−1)(0,-1)), Тесей знову опиняється в точці (0,0)(0,0). Він жодного разу не відвідав жодну точку, відмінну від (0,0)(0,0), більше ніж один раз, і жодного разу не відвідував точку (0,0)(0,0), крім початку та кінця цієї послідовності ходів. Нехай XX — кількість разів, коли Тесей зробив крок на одиницю на північ, а одразу після цього — крок на одиницю на захід. Нехай YY — кількість разів, коли Тесей зробив крок на одиницю на захід, а одразу після цього — крок на одиницю на північ. Доведіть, що ∣X−Y∣=1|X-Y|=1.
10–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-131

Розбиття площини прямими на області

Для натуральних чисел nn нехай SnS_{n} — множина цілих чисел xx таких, що nn різних прямих, жодні три з яких не проходять через одну точку, можуть поділити площину на xx областей (наприклад, S2={3,4}S_{2} = \{3, 4\}, бо площина ділиться на 3 області, якщо дві прямі паралельні, і на 4 області в іншому разі). Знайдіть найменше ii, для якого SiS_{i} містить принаймні 4 елементи.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-122

Площа трикутника у дванадцятикутнику з прямими кутами

Дванадцятикутник QWARTZSPHINXQ W A R T Z S P H I N X має всі сторони завдовжки 22, не самоперетинається (зокрема, усі дванадцять вершин різні), причому кожен внутрішній кут дорівнює або 90∘90^{\circ}, або 270∘270^{\circ}. Які всі можливі значення площі △SIX\triangle S I X?
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-112

Перетин одиничного кола з колом

Нехай zz — комплексне число, таке, що ∣z∣=1|z|=1 і ∣z−1.45∣=1.05|z-1.45|=1.05. Обчисліть дійсну частину числа zz.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-085

Трикутник зі сторонами-квадратами різних натуральних чисел

Який найменший можливий периметр трикутника, довжини всіх сторін якого є квадратами різних натуральних чисел?
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-123

Відстань між центрами описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник з AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AHBAHB і AHCAHC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-002

Коло через середини та ортоцентр

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, ортоцентром HH і описаним колом Ω\Omega. Нехай MM — середина відрізка AHAH, а NN — середина відрізка BHBH. Припустимо, що точки M,N,O,HM, N, O, H різні й лежать на колі ω\omega. Доведіть, що кола ω\omega і Ω\Omega дотикаються внутрішнім чином.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-104

Бісектриса кута і паралельна пряма в трикутнику

Три точки AA, BB, CC утворюють трикутник. AB=4AB = 4, BC=5BC = 5, AC=6AC = 6. Нехай бісектриса кута ∠A\angle A перетинає сторону BCBC у точці DD. Нехай EE — основа перпендикуляра, опущеного з BB на бісектрису кута ∠A\angle A. Нехай пряма, що проходить через EE паралельно ACAC, перетинає BCBC у точці FF. Обчисліть довжину відрізка DFDF.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-009

Відстань від вершини восьмикутника до перетину діагоналей

Нехай PROBLEMZP R O B L E M Z — правильний восьмикутник, вписаний у коло одиничного радіуса. Діагоналі MRM R, OZO Z перетинаються в точці II. Обчисліть довжину відрізка LIL I.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-087

Гострокутний трикутник із прямим кутом між центрами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з інцентром II і центром описаного кола OO. Припустимо, що ∠OIA=90∘\angle OIA = 90^\circ. Відомо, що AI=97AI = 97 і BC=144BC = 144. Обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.