Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-008

Відокремлення різнокольорових точок прямими

На площині позначено 2013 червоних точок і 2014 синіх точок так, що жодні три з позначених точок не лежать на одній прямій. Треба провести kk прямих, які не проходять через позначені точки й розбивають площину на кілька областей. Мета — зробити це так, щоб жодна область не містила точок обох кольорів. Знайдіть найменше значення kk, при якому мети можна досягти для будь-якої можливої конфігурації з 4027 точок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-009

Операції над графом з видаленням вершин непарного степеня

Божевільний фізик відкрив новий вид частинок, які він назвав імонами, після того, як деякі з них загадково з'явилися в його лабораторії. Деякі пари імонів у лабораторії можуть бути заплутаними, і кожен імон може брати участь у багатьох відношеннях заплутаності. Фізик знайшов спосіб виконувати з цими частинками такі два види операцій, по одній операції за раз. (i) Якщо деякий імон заплутаний з непарною кількістю інших імонів у лабораторії, то фізик може його знищити. (ii) У будь-який момент він може подвоїти все сімейство імонів у своїй лабораторії, створивши копію I′I^{\prime} кожного імона II. Під час цієї процедури дві копії I′I^{\prime} і J′J^{\prime} стають заплутаними тоді й лише тоді, коли вихідні імони II і JJ заплутані, і кожна копія I′I^{\prime} стає заплутаною зі своїм вихідним імоном II; жодні інші заплутаності в цей момент не виникають і не зникають. Доведіть, що фізик може застосувати послідовність таких операцій, у результаті якої дістане сімейство імонів, жодні два з яких не заплутані.
10–11 класиСтепені вершин2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-002

Періодична послідовність з обмеженням на суму

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо послідовність a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з натуральних чисел. Продовжимо її періодично до нескінченної послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, визначивши an+i=aia_{n+i}=a_{i} для всіх i⩾1i \geqslant 1. Якщо a1⩽a2⩽⋯⩽an⩽a1+na_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n} \leqslant a_{1}+n і aai⩽n+i−1 для i=1,2,…,na_{a_{i}} \leqslant n+i-1 \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n доведіть, що a1+⋯+an⩽n2.a_{1}+\cdots+a_{n} \leqslant n^{2} .
10–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-010

Різні частини в оптимальному розбитті

Нехай nn — натуральне число, а AA — підмножина {1,…,n}\{1, \ldots, n\}. AA-розбиттям nn на kk частин називається подання nn у вигляді суми n=a1+⋯+akn=a_{1}+\cdots+a_{k}, де частини a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} належать AA і не обов’язково різні. Кількістю різних частин у такому розбитті називається кількість (різних) елементів множини {a1,a2,…,ak}\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right\}. Будемо казати, що AA-розбиття nn на kk частин є оптимальним, якщо не існує AA-розбиття nn на rr частин із r<kr<k. Доведіть, що будь-яке оптимальне AA-розбиття nn містить не більше ніж 6n3\sqrt[3]{6 n} різних частин.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-012

Покриття відрізка двійковими інтервалами

Гравці AA і BB грають у гру з фарбуванням на дійсній прямій. Гравець AA має банку з фарбою, у якій є чотири одиниці чорного чорнила. Кількість pp цього чорнила достатня, щоб зачорнити (замкнений) дійсний проміжок довжини pp. У кожному раунді гравець AA вибирає деяке натуральне число mm і видає з банки 1/2m1 / 2^{m} одиниць чорнила. Потім гравець BB вибирає ціле число kk і зачорнює проміжок від k/2mk / 2^{m} до (k+1)/2m(k+1) / 2^{m} (деякі частини цього проміжку могли бути зачорнені раніше). Мета гравця AA — досягти ситуації, коли банка порожня, а проміжок [0,1][0,1] зачорнено не повністю. Визначте, чи існує стратегія гравця AA, яка дає перемогу за скінченну кількість ходів.
10–11 класиІнші інваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-002

Арифметична прогресія очок футбольного турніру

У футбольному турнірі беруть участь nn команд, причому n≥4n \geq 4, і кожна пара команд зустрічається рівно один раз. Припустимо, що наприкінці турніру підсумкові очки утворюють арифметичну прогресію, де кожна команда набирає на 1 очко більше, ніж наступна команда в турнірній таблиці. Визначте максимально можливу кількість очок команди з найменшою кількістю очок, за звичайних футбольних правил підрахунку очок (переможець гри отримує 3 очки, переможений — 0 очок, а в разі нічиєї обидві команди отримують по 1 очку).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-002

Пара функцій і тотожна функція як спільна комутуюча

Чи існує така пара функцій g,h:R→Rg, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що єдиною функцією f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, яка одночасно задовольняє умови f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) та f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)) для всіх дійсних xx, є функція f(x)=xf(x)=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-006

Монети у вершинах 2n-кутника та обміни на сторонах

2n2n різних монет розташовані у вершинах правильного 2n2n-кутника, по одній монеті у кожній вершині. За хід обирається одна із сторін 2n2n-кутника та міняються місцями дві монети, що лежать на кінцях обраної сторони. Припустимо, що після скінченної кількості ходів кожна пара монет була поміняна місцями рівно один раз. Доведіть, що деяка сторона не була обрана жодного разу.
10–11 класиІнші інваріанти
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-002

Найбільша кількість рядків таблиці n стовпців з одиничним максимумом

Для кожного натурального числа nn знайдіть найбільше натуральне rr, для якого таблицю з rr рядків та nn стовпців можна заповнити дійсними числами так, щоб виконувалася умова: якщо в одному з рядків таблиці стоять числа a1a_1, a2a_2, …\ldots, ana_n (саме в такому порядку), а в іншому рядку — числа b1b_1, b2b_2, …\ldots, bnb_n (саме в такому порядку), то справджується рівність max⁡{∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,…,∣an−bn∣}=1.\max\left\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\ldots,|a_n-b_n|\right\}=1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-006

Найкращі друзі та популярні користувачі мережі

У соціальній мережі «Фейсдуб» зареєстровано нескінченно багато людей. Деякі пари (різних) користувачів можуть бути друзями у цій мережі, причому кожен має лише скінченну кількість друзів. Відношення дружби симетричне, тобто якщо користувач А дружить із користувачем Б, то й Б дружить з А. Кожен користувач має бодай одного друга та одного зі своїх друзів повинен позначити як «найкращого». Утім, якщо користувач А позначив користувача Б як найкращого друга, то це ще не значить, що Б обов’язково позначив А своїм найкращим другом. Людину, яку хтось позначив найкращим другом, назвімо чудовим другом порядку 1. Якщо n>1n>1, то чудовим другом порядку nn назвімо користувача, якого позначив своїм найкращим другом хоча б один чудовий друг порядку n−1n-1. Якщо користувач є чудовим другом порядку kk для кожного натурального значення kk, назвімо його популярним. а) Доведіть, що кожен популярний користувач є найкращим другом хоча б одного іншого популярного користувача мережі. б) Доведіть, що якби люди могли мати нескінченну кількість друзів у мережі, то могло б трапитись так, що якийсь популярний користувач не був би найкращим другом жодного іншого популярного користувача.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-009

Найбільша кількість дипломів на квадраті парт 6 на 6

У кімнаті, де проводять олімпіаду, парти учасників розташовані квадратом по 66 парт у кожній лінії. Дві парти назвімо сусідніми, якщо вони розташовані поруч по горизонталі, вертикалі чи діагоналі. Таким чином, наприклад, учасник, який сидить за кутовою партою, має трьох сусідів, а учасник, що сидить за партою біля центра кімнати, має вісьмох сусідів. За результатами олімпіади учасника нагороджують дипломом, якщо кількість балів, не меншу ніж він, набрав щонайбільше один з усіх його сусідів. Яку максимальну кількість учасників олімпіади могли нагородити дипломами?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-001

Розподіл 20 олівців між дівчатами хоча б по одному

У скільки способів 2020 однакових олівців можна розподілити між трьома дівчатами так, щоб кожна дівчина отримала хоча б один олівець?
4–6 класиРозбиття на випадки
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-020

П’ять чисел з добутками 28, 240 і 128

Серед попарних добутків п’яти різних натуральних чисел є числа 2828 (найменший з усіх добутків), 240240 (найбільший з усіх добутків) та 128128. Знайдіть суму цих п’яти чисел.
4–6 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-016

Дев'ять послідовних чисел у колах із сумою 23

Кожне з кіл, зображених на рис. 5.5, повинно містити натуральне число. Ці дев’ять чисел є послідовними, а сума чисел на кожній із семи накреслених ліній має дорівнювати 2323. Число у правому верхньому колі повинно бути меншим від числа у правому нижньому колі. Відновіть усі числа, знаючи лише одне з них.
4–6 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-006

Кількість дівчат-подруг у капелюхах двох кольорів

У деякому містечку живуть тільки дівчата. Кожна дівчина має рівно одну або рівно двох подруг, причому дружба у них взаємна. Одного ранку всі дівчата, які мають двох подруг, надягли червоні капелюхи, а всі інші дівчата — сині. Виявилось, що кожні дві подруги надягли капелюхи різного кольору. По обіді 1010 дівчат зняли свої червоні капелюхи й надягли сині, а 1212 інших дівчат зняли свої сині капелюхи й надягли червоні. Тепер кожні дві подруги носять капелюхи однакового кольору. Скільки дівчат живе в містечку?
4–6 класиСтепені вершин
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-002

Наступне платне місце на кільцевій дорозі

На кільцевій дорозі треба сплачувати за проїзд у трьох місцях: якщо рухатися в напрямку за годинниковою стрілкою, ми проїдемо міст (11 грн), тунель (33 грн) та греблю водосховища (55 грн). Машина почала свій рух за годинниковою стрілкою між греблею й мостом та їздила по колу, поки загальна сума, сплачена за проїзд, не склала 130130 грн. Яке місце машина має проїхати наступним: міст, тунель чи водосховище?
4–6 класиОстача від ділення
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-008

Найменша кількість непарних серед 1006 різних чисел

Сума 10061006 різних натуральних чисел дорівнює 1 019 0571\,019\,057. За умови, що жодне з чисел не перевищує 20122012, яка найменша кількість із них можуть виявитися непарними?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-024

Таблиця 3×3 з числами 1, 8 і рівними сумами

Числа 11 і 88 записано в таблиці 3×33 \times 3, як показано на рис. 5.10. Решту сім комірок треба заповнити числами 22, 33, 44, 55, 66, 77 і 99, використовуючи кожне число рівно по одному разу, таким чином, щоб сума чисел у всіх чотирьох квадратах 2×22 \times 2 була однаковою. Знайдіть усі можливі способи заповнити таблицю. | | | | |---|---|---| | 11 | | | | | | 88 | | | | | Рис. 5.10
4–6 класиІнші інваріанти
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-037

Три різні клітинки шахівниці 8×8 зі спільними вершинами

Шахівницю 8×88 \times 8 повісили на стіну як мішень та кинули в неї три однакових дротики. У скільки способів ці дротики могли потрапити у три різні клітинки, причому такі, що кожні дві з них мають принаймні одну спільну вершину?
7–9 класиГеометричні конфігурації точок
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-030

Кількість трикольорових замощень 2 на 6 без сусідів

У стіні утворилася діра завбільшки 2×62 \times 6. Її слід замостити плитками 1×11 \times 1, кожна з яких може бути червоного, білого або синього кольору. Жодні дві плитки одного кольору не повинні мати спільну сторону. Визначте кількість усіх можливих способів замостити діру.
7–9 класиПравила суму та добутку
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-043

Найменша і найбільша сума чисел 1–9 на сторонах трикутника

На рис. 5.15 зображено можливе розташування чисел від 11 до 99 у дев’яти комірках-шестикутниках, при якому сума чисел уздовж кожної з трьох сторін трикутника однакова і дорівнює 1919. А якою найменшою і якою найбільшою може бути сума чисел уздовж сторони трикутника, якщо числа розставили інакше, але всі три суми при цьому, як і раніше, збігаються?
7–9 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-048

Важча з семи куль за два зважування

Зважувальна машина складається з трьох ящиків. Якщо вага предметів у довільному з трьох ящиків строго менша від ваги предметів у кожному з двох інших ящиків (не від сумарної ваги), на цьому ящику загоряється лампочка. Маємо 77 куль. Відомо, що 66 із них мають однакову вагу, а сьома важча. За два використання зважувальної машини визначте, яка із семи куль важча.
7–9 класиРозбиття на випадки
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-041

Три дії з трійкою і повернення до початкового числа

Нехай задано деяке додатне дійсне число. За один хід можна робити таке: додати до числа 33, відняти від числа 33, помножити число на 33 або поділити число на 33. Знайдіть усі числа, які рівно за три ходи можна привести до їхнього початкового значення.
7–9 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.