Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-012

Добуток комплексних чисел за три множення

Деякий комп'ютер працює з дійсними числами. Розробіть алгоритм для обчислення ac−bdac - bd і ad+bcad + bc за заданими дійсними числами aa, bb, cc, dd, використовуючи лише три операції множення. (Кількість додавань і віднімань може бути довільною, але ділення не дозволене.)
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-003

Строго зростаюча послідовність та дві арифметичні прогресії

Дано строго зростаючу послідовність натуральних чисел s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... таку, що кожна з двох послідовностей ss1, ss2, ss3, ...таss1+1, ss2+1, ss3+1, ...s_{s_1},\ s_{s_2},\ s_{s_3},\ ... \quad \text{та} \quad s_{s_1+1},\ s_{s_2+1},\ s_{s_3+1},\ ... є арифметичною прогресією. Доведіть, що послідовність s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... теж є арифметичною прогресією.
10–11 класиАрифметична прогресія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-005

Функції з трикутником зі сторонами a, f(b) і f(b + f(a) - 1)

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} (тобто функції, що визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких двох натуральних чисел aa та bb існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам aa, f(b)f(b) та f(b+f(a)−1)f\left(b + f(a) - 1\right). (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-001

Сума 1/(2a+b+c)² за умови 1/a+1/b+1/c=a+b+c

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, такі, що 1a+1b+1c=a+b+c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c. Доведіть, що 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2≤316\frac{1}{(2a + b + c)^2} + \frac{1}{(2b + c + a)^2} + \frac{1}{(2c + a + b)^2} \leq \frac{3}{16}
10–11 класиНерівність Коші2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-009

Симетрія рекурентно заданих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Задано послідовність ε1,…,εn−1\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}, де εi=0\varepsilon_{i}=0 або εi=1\varepsilon_{i}=1 для кожного i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1; послідовності a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} і b0,…,bnb_{0}, \ldots, b_{n} будуються за такими правилами: a0=b0=1,a1=b1=7ai+1={2ai−1+3ai, якщо εi=0,3ai−1+ai, якщо εi=1, для кожного i=1,…,n−1,bi+1={2bi−1+3bi, якщо εn−i=0,3bi−1+bi, якщо εn−i=1, для кожного i=1,…,n−1\begin{gathered} a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\ a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=0, \\ 3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=1, \end{array}\right. \quad \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1, \\ b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=0, \\ 3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=1, \end{array}\right. \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1 \end{gathered} Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-010

Розбиття шахової дошки з мінімальною сумою периметрів

Для цілого m≥1m \geq 1 розглядаємо розбиття шахової дошки 2m×2m2^{m} \times 2^{m} на прямокутники, складені з клітинок дошки, у якому кожна з 2m2^{m} клітинок уздовж однієї діагоналі утворює окремий прямокутник зі стороною 1. Визначте найменшу можливу суму периметрів прямокутників у такому розбитті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-003

Відношення площ для симетричного опуклого многокутника

Нехай PP — опуклий многокутник, симетричний відносно деякої точки OO. Доведіть, що для деякого паралелограма RR, для якого виконується P⊂RP \subset R, маємо ∣R∣∣P∣≤2\frac{|R|}{|P|} \leq \sqrt{2} де ∣R∣|R| і ∣P∣|P| позначають площі множин RR і PP відповідно.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-002

Нерівність, що виконується для довільної дійсної функції

Нехай ff — довільна функція, яка відображає множину дійсних чисел у множину дійсних чисел. Доведіть, що існують дійсні числа xx і yy такі, що f(x−f(y))>yf(x)+x.f(x-f(y))>y f(x)+x .
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-016

Добуток степенів мінус один не є повним квадратом

Нехай aa і bb — різні цілі числа, більші за 11. Доведіть, що існує натуральне число nn таке, що (an−1)(bn−1)(a^{n}-1)(b^{n}-1) не є повним квадратом.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-001

Відношення площ від паралелей через точку

У довільному трикутнику вибрано точку PP. Через PP проведено три прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі ділять трикутник на три менші трикутники і три паралелограми. Нехай ff — відношення сумарної площі трьох менших трикутників до площі заданого трикутника. Доведіть, що f≥13f \geq \frac{1}{3}, і визначте ті точки PP, для яких f=13f=\frac{1}{3}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-002

Вільний член у розкладі многочлена на множники

На вицвілому аркуші паперу можна, доклавши зусиль, розібрати таке: (x2+x+a)(x15−…)=x17+x13+x5−90x4+x−90\left(x^{2}+x+a\right)\left(x^{15}-\ldots\right)=x^{17}+x^{13}+x^{5}-90 x^{4}+x-90 Деякі частини втрачено: частково вільний член першого множника в лівій частині, частково основна частина другого множника. Можна було б відновити многочлен, що утворює другий множник, але ми обмежимося запитанням: чому дорівнює значення вільного члена aa? Ми припускаємо, що усі многочлени в наведеній вище рівності мають лише цілі коефіцієнти.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Балтійський шляхBW-2008-001

Функціональне рівняння для многочлена з кубічним зсувом

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що p((x+1)3)=(p(x)+1)3p\left((x+1)^3\right) = (p(x)+1)^3 і p(0)=0p(0) = 0
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Балтійський шляхBW-2008-002

Тригонометричні функції в арифметичній прогресії

Чи існує кут α∈(0,π/2)\alpha \in (0, \pi / 2) такий, що sin⁡α\sin \alpha, cos⁡α\cos \alpha, tg⁡α\operatorname{tg} \alpha та ctg⁡α\operatorname{ctg} \alpha, узяті в деякому порядку, є послідовними членами арифметичної прогресії?
10–11 класиАрифметична прогресія2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2008-003

Многочлен з цілими коефіцієнтами і п'ятьма значеннями 5

Многочлен PP має цілі коефіцієнти і P(x)=5P(x)=5 для п'яти різних цілих xx. Доведіть, що не існує цілого xx такого, що −6≤P(x)≤4-6 \leq P(x) \leq 4 або 6≤P(x)≤166 \leq P(x) \leq 16.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Балтійський шляхBW-2008-004

Вершини тетраедра за сумами на гранях

Припустімо, що Ромео і Джульєтта мають кожен по правильному тетраедру, вершинам якого приписано деякі додатні дійсні числа. Кожному ребру свого тетраедра вони ставлять у відповідність добуток двох чисел, приписаних його кінцям. Потім на кожній грані свого тетраедра вони записують суму трьох чисел, пов’язаних з трьома її ребрами. Чотири числа, записані на гранях тетраедра Ромео, виявилися такими самими, як чотири числа, записані на гранях тетраедра Джульєтти. Чи випливає звідси, що чотири числа, приписані вершинам тетраедра Ромео, збігаються з чотирма числами, приписаними вершинам тетраедра Джульєтти?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Балтійський шляхBW-2008-005

Множина, замкнена відносно квадратичного відношення

Знайдіть усі скінченні множини натуральних чисел, які містять принаймні два елементи, такі, що для будь-яких двох чисел a,ba, b (a>ba > b), які належать множині, число b2a−b\frac{b^{2}}{a-b} також належить множині.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Балтійський шляхBW-2008-009

Відношення сум цифр числа та його 16-кратного

Для натурального числа nn нехай S(n)S(n) позначає суму його цифр. Знайдіть найбільше можливе значення виразу S(n)S(16n)\frac{S(n)}{S(16 n)}.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-002

Сума квадратів дробів при xyz = 1

а) Доведіть, що нерівність x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1 виконується для усіх відмінних від 11 дійсних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1. б) Доведіть, що вказана нерівність обертається на рівність для нескінченої кількості трійок відмінних від 11 раціональних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-004

Функціональне рівняння з рівністю добутків wx = yz

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)↦(0,+∞)f : (0, +\infty) \mapsto (0, +\infty) (тобто функції, що визначені на множині усіх додатних чисел та приймають додатні значення) такі, що (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f\left(y^2\right) + f\left(z^2\right)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} для довільних додатних w,x,y,zw, x, y, z які задовольняють рівність wx=yzwx = yz.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-001

Рекурсивно задана функція на кратних 3

Для цілого mm позначимо через t(m)t(m) єдине число з {1,2,3}\{1,2,3\} таке, що m+t(m)m+t(m) кратне 33. Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=−1f(1)=-1 і f(2n+m)=f(2n−t(m))−f(m) для всіх цілих m,n≥0 при 2n>m.f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ для всіх цілих } m, n \geq 0 \text{ при } 2^{n}>m. Доведіть, що f(3p)≥0f(3p) \geq 0 виконується для всіх цілих p≥0p \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-002

Нерівність для змінних з одиничним добутком

Нехай aa, bb, cc, dd — додатні дійсні числа такі, що abcd=1 і a+b+c+d>ab+bc+cd+daa b c d = 1 \quad \text{ і } \quad a + b + c + d > \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} Доведіть, що a+b+c+d<ba+cb+dc+ada + b + c + d < \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-003

Функціональне рівняння з пропущеним значенням

Нехай f:R→Nf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} — функція, яка задовольняє рівність f(x+1f(y))=f(y+1f(x)) для всіх x,y∈Rf\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R} Доведіть, що існує натуральне число, яке не є значенням функції ff.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-004

Симетрична нерівність для чотирьох дійсних чисел

Доведіть, що для будь-яких чотирьох додатних дійсних чисел aa, bb, cc, dd виконується нерівність (a−b)(a−c)a+b+c+(b−c)(b−d)b+c+d+(c−d)(c−a)c+d+a+(d−a)(d−b)d+a+b≥0\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0 Знайдіть усі випадки рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-006

Найменша кількість площин, що покривають точки множини S

Нехай nn – натуральне число. Розглянемо множину: S={(x,y,z)∣x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0},S = \left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\},\ x + y + z > 0\right\}, яка складається з ((n+1)3−1)\left((n+1)^3 - 1\right) точок тривимірного простору. Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об'єднання яких містить усі точки з SS, проте не містить точку (0,0,0)(0,0,0).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-001

Функції з нерівністю f(m + n) і значення f(2007)

Розглянемо функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2007)f(2007). (N\mathbb{N} позначає множину всіх натуральних чисел.)
10–11 класиВластивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.