Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-002

Пряма EF через проєкції ортоцентра ділить відрізок HK

Гострокутний трикутник ABCABC є вписаним у коло ω\omega з центром OO. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, відмітили довільну точку PP, відмінну від BB і CC. Нехай DD — така точка, що чотирикутник APCDAPCD є паралелограмом. Позначимо через HH та KK ортоцентри трикутників ABCABC і ACDACD відповідно, а через EE і FF — ортогональні проекції точки KK на прямі BCBC і ACAC відповідно. Доведіть, що пряма EFEF ділить відрізок HKHK навпіл.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-005

Середини діагоналей вписаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD є вписаним у коло з центром OO. Середини діагоналей ACAC і BDBD позначено XX і YY відповідно. Доведіть, що точки BB, XX, OO і DD лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки AA, OO, YY і CC лежать на одному колі.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-002

Два перетинні кола і центри описаних кіл трикутників

Коло ω1\omega_1 перетинає коло ω2\omega_2 в двох різних точках PP і QQ. На колі ω1\omega_1 обираються дві різні точки A1A_1 і B1B_1, які не співпадають з точками PP і QQ. Прямі A1PA_1 P і B1PB_1 P вдруге перетинають коло ω2\omega_2 в точках A2A_2 і B2B_2 відповідно. Нехай CC — точка перетину прямих A1B1A_1 B_1 і A2B2A_2 B_2. Доведіть, що незалежно від вибору точок A1A_1 і B1B_1 на колі ω1\omega_1 центри кіл, описаних навколо трикутників A1A2CA_1 A_2 C, — усі лежать на одному фіксованому колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-011

Точка на описаному колі, паралелограм і паралельні прямі

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, PP — довільна точка дуги BCBC кола, описаного навколо трикутника ABCABC, яка не містить точку AA. Нехай BEBE — висота трикутника ABCABC, QQ — така точка, що APCQAPCQ — паралелограм. Позначимо через FF точку перетину прямої HQHQ з прямою, що проходить через точку AA паралельно до прямої BPBP. Доведіть, що EF∥APEF \parallel AP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-002

Бісектриса кута трикутника та центри вписаних кіл

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Бісектриса кута BACBAC вдруге перетинає коло ω\omega в точці WW. На колі ω\omega відмітили точки MM та NN так, що BM∥AW∥CNBM \parallel AW \parallel CN, промені BMBM та CNCN напрямлені протилежно до променя AWAW. Нехай O1,O2,O3,O4O_1, O_2, O_3, O_4 — центри кіл, вписаних в трикутники AMBAMB, ABWABW, ACWACW, ACNACN відповідно. Доведіть, що O1O3=O2O4O_1 O_3 = O_2 O_4.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-008

Бісектриси, медіана та відрізок між точками дотику

Дано трикутник ABCABC з центром вписаного кола II. Це вписане коло дотикається сторін ABAB та BCBC в точках KK та PP відповідно. Бісектриси кутів BACBAC, ACBACB та медіана трикутника ABCABC, проведена з вершини BB, перетинають відрізок KPKP в точках RR, QQ та MM відповідно. Позначимо через SS точку перетину прямих AQAQ та CRCR. Доведіть, що точки SS, MM та II лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-005

Коло через точки A, D, E, F трикутника

Нехай дано гострокутний трикутник ABCABC. Точка DD лежить у тій самій півплощині відносно прямої ABAB, що й точка CC, та задовольняє такі умови: DB⊥ABDB \perp AB та ∠ADB=45∘+12∠ACB\angle ADB=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ACB. Аналогічно, точка EE належить тій самій півплощині відносно прямої ACAC, що й точка BB, та справджуються умови: AC⊥ECAC \perp EC та ∠AEC=45∘+12∠ABC\angle AEC=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ABC. Нехай точка FF — це точка, симетрична точці AA відносно середини більшої дуги BACBAC. Доведіть, що точки AA, DD, EE, FF лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-003

Ортоцентр трикутника ADE і точки P, Q, M, N

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точки BB, DD, EE та CC лежать на одній прямій у вказаному порядку і задовольняють умову BD=DE=ECBD = DE = EC. Нехай MM та NN — середини відрізків ADAD та AEAE відповідно. Припустимо, що трикутник ADEADE є гострокутним, і нехай точка HH — його ортоцентр. Нехай PP та QQ — такі точки на прямих BMBM та CNCN відповідно, що точки DD, HH, MM та PP лежать на одному колі та є попарно різними, і точки EE, HH, NN та QQ також лежать на одному колі та є попарно різними. Доведіть, що точки PP, QQ, NN та MM лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-003

Рівність відрізків XD і XC у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом AA проведено висоту ADAD. Нехай EE — середина відрізка DCDC. Описане коло трикутника ABDABD удруге перетинає пряму AEAE в точці FF, а прямі ABAB та DFDF перетинаються в точці XX. Доведіть, що справджується рівність XD=XCXD = XC.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Балтійський шляхBW-2024-011

Перпендикулярні діагоналі вписаного чотирикутника та дотична

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із центром описаного кола OO такий, що відрізок ACAC перпендикулярний до BDBD. Точки XX і YY вибрано на описаному колі трикутника BODBOD так, що ∠AXO=∠CYO=90∘\angle AXO = \angle CYO = 90^\circ. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Доведіть, що BDBD дотикається до описаного кола трикутника MXYMXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2024-012

Рівність відрізків AE і AF у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, причому AB<ACAB < AC. Нехай точка MM — середина дуги BCBC кола ω\omega, що містить точку AA, і нехай X≠MX \neq M — інша точка на колі ω\omega, така, що AX=AMAX = AM. Точки EE та FF вибрані на сторонах ACAC та ABAB трикутника ABCABC відповідно так, що EX=ECEX = EC і FX=FBFX = FB. Доведіть, що AE=AFAE = AF.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Балтійський шляхBW-2024-013

Відображення сторін трикутника та колінеарність точок D, P, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай DD — точка поза описаним колом трикутника ABCABC, така, що ∠ABD=∠DCA\angle ABD = \angle DCA. Відображення ABAB відносно BDBD перетинає CDCD у точці XX. Відображення ACAC відносно CDCD перетинає BDBD у точці YY. Прямі, перпендикулярні до ACAC і ABAB, проведені через точки XX і YY відповідно, перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки DD, PP і HH колінеарні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-002

Трикутник з точками дотику та перетин на описаному колі

У трикутнику ABCABC відомо, що AC>ABAC > AB. Нехай Ω\Omega — його описане коло, а точка II — центр вписаного кола. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через XX і YY відповідно дві точки на менших дугах DF⌢\overset{\frown}{DF} та DE⌢\overset{\frown}{DE} вписаного кола так, що ∠BXD=∠DYC\angle BXD = \angle DYC. Прямі XYXY і BCBC перетинаються в точці KK. Нехай TT — точка на колі Ω\Omega така, що пряма KTKT є дотичною до кола Ω\Omega, а точки TT та AA лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що прямі TDTD та AIAI перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-004

Кути KIL і YPX у трикутнику з вписаним колом

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<AC<BCAB < AC < BC. Точка II — центр вписаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Нехай XX, де X≠CX \neq C, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку XX паралельно прямій ACAC, дотикається до кола ω\omega. Аналогічно нехай YY, де Y≠BY \neq B, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку YY паралельно прямій ABAB, дотикається до кола ω\omega. Нехай пряма AIAI вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ABCABC у точці P≠AP \neq A. Точки KK та LL — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Доведіть, що ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ.
10–11 класиСиметрія
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-002

Зовнівписане коло трикутника і колінеарні точки P, Q, R

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Зовнівписане коло навпроти вершини AA дотикається до прямих ABAB, BCBC, CACA в точках DD, EE, FF відповідно. Центр цього кола позначено літерою JJ. Нехай PP — довільна точка на стороні BCBC. Описані кола трикутників BDPBDP, CEPCEP удруге перетинаються в точці QQ. Нехай точка RR — основа перпендикуляра, який проведено з точки AA до прямої FJFJ. Доведіть, що точки PP, QQ, RR лежать на одній прямій.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-014

Відстань між центром описаного кола та інцентром

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|. Внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC у точці DD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Нехай пряма AOAO перетинає відрізок BCBC у точці EE. Нехай JJ — інцентр трикутника △AED\triangle AED. Доведіть, що якщо ∠ADO=45∘\angle ADO = 45^\circ, то ∣OJ∣=∣JD∣|OJ| = |JD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-017

Колінеарність основ висот трикутників із вершинами в точках дотику

У трикутнику △ABC\triangle ABC нехай вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно, а зовнівписане коло, протилежне до AA, дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках PP, QQ, RR відповідно. Нехай EXEX і FYFY — висоти в трикутнику △DEF\triangle DEF, а QZQZ і RWRW — висоти в трикутнику △PQR\triangle PQR. Доведіть, що точки XX, YY, ZZ, WW лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-019

Конкурентність прямих у трикутнику із серединними перпендикулярами

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB перетинають відрізок BCBC у точках DD і EE відповідно. Дотичні до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках BB і CC перетинають ⊙(ABD)\odot(ABD) і ⊙(ACE)\odot(ACE) у точках YY і ZZ відповідно. Припустимо, що прямі YDYD і ZEZE перетинаються в точці XX. Нехай UU і VV — точки перетину ⊙(DEX)\odot(DEX) з прямими ADAD і AEAE відповідно. Доведіть, що прямі UV,BCUV, BC і XAXA перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-020

Коло через середину бісектриси

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC та ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках DD і MAM_A відповідно. Нехай точки XX і YY — основи перпендикулярів з MAM_A на сторони ABAB і ACAC відповідно. Дотична до ⊙(BXMA)\odot(BXM_A) у точці XX і дотична до ⊙(CYMA)\odot(CYM_A) у точці YY перетинаються в точці TT. Припустимо, що прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці SS. Доведіть, що ⊙(TSMA)\odot(TSM_A) проходить через середину відрізка ADAD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-021

Перетини дотичних та відношення кіл

У гострокутному різносторонньому трикутнику △ABC\triangle ABC точки P,QP, Q лежать на менших дугах AB^\widehat{AB} та AC^\widehat{AC} відповідно і є точками перетину середньої лінії, паралельної стороні BCBC, з описаним колом △ABC\triangle ABC. Точки XX та YY є точками перетину серединних перпендикулярів до відрізків ABAB та ACAC відповідно з дотичною до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точці AA. Нехай T≠AT \neq A — точка перетину кіл ⊙(PXA)\odot(PXA) та ⊙(QYA)\odot(QYA). Якщо ADAD — висота в трикутнику △ABC\triangle ABC, доведіть, що ∣TX∣∣TY∣=∣DB∣∣DC∣\frac{|TX|}{|TY|} = \frac{|DB|}{|DC|}
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-022

Відбиття та колінеарність у трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а PP — внутрішня точка △ABC\triangle ABC. Нехай KK, LL і MM — образи точки PP при симетрії відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Нехай DD і EE — другі точки перетину кола ⊙(PBC)\odot(PBC) з прямими ABAB і ACAC відповідно. Нехай прямі MDMD і LELE перетинаються в точці FF. Доведіть, що FF, AA і KK лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-023

Дотичні та рівнобедрений трикутник на колах

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — кола без спільних точок. Точки MM і NN вибрано на колах ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відповідно так, що дотична до кола ω1\omega_1 у точці MM і дотична до кола ω2\omega_2 у точці NN перетинаються в точці PP, а △PMN\triangle PMN — рівнобедрений трикутник із вершиною PP. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають відрізок MNMN вдруге в точках AA і BB відповідно. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 вдруге в точці CC, а пряма PBPB перетинає коло ω2\omega_2 вдруге в точці DD. Доведіть, що ∠BCN=∠ADM\angle BCN = \angle ADM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-003

Опуклий чотирикутник і точки X і Y на сторонах

Задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD і ∠ABC<∠ADC\angle ABC < \angle ADC. Точка MM є серединою діагоналі ACAC. Доведіть, що існують точки XX та YY на сторонах ABAB та BCBC відповідно такі, що XY⊥BDXY \perp BD, MX=MYMX = MY і ∠XMY=∠ADC−∠ABC\angle XMY = \angle ADC - \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.