Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-005

Мінімальна кількість дружб з умовою на підмножину

На платформі соціальної мережі є 19,99819,998 людей, де будь-яка пара з них може дружити чи ні. Для будь-якої групи з 9,9999,999 людей серед них є принаймні 9,9999,999 пар, які дружать. Яка найменша кількість дружніх стосунків, тобто найменша кількість пар людей, які дружать, має бути серед 19,99819,998 людей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-033

Турнір і місто з не більше ніж однією вихідною дорогою

У країні чудес є nn міст. Кожна пара міст сполучена дорогою з одностороннім рухом, яка виходить з одного з двох міст і приходить до іншого. Щоб розібратися, Аліса запитує Червового короля: у кожному запитанні Аліса вибирає пару міст, а Червовий король каже їй, яке місто є початком дороги, що сполучає ці два міста. Доведіть, що за 5n5 n запитань або менше Аліса може дізнатися, чи існує місто, з якого виходить не більше однієї дороги.
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-002

Покриття гіперкуба за правилом двох сусідів

Нехай kk та nn — натуральні числа, відмінні від нуля, такі, що k⩽2nk \leqslant 2^{n}. Моргана записала у своєму зошиті множину всіх nn-наборів, складених з 0 та 1: їх є 2n2^{n}. Кажуть, що два nn-набори (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) та (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) є сусідніми, якщо вони мають n−1n-1 спільних членів, тобто якщо існує єдине ціле число ii таке, що xi≠yix_{i} \neq y_{i}. Потім Моргана вибирає kk з цих nn-наборів і підкреслює їх. Далі вона виконує такі операції: під час кожної операції вона вибирає nn-набір, у якого два сусіди підкреслено, і також підкреслює цей nn-набір. Для яких значень kk Моргана може домогтися того, щоб підкреслити множину всіх nn-наборів?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-006

Індуковані зв'язні підграфи з обмеженням на степінь

Нехай GG — скінченний неорієнтований граф, n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, d∈N∗d \in \mathbb{N}^{*} такі, що степінь кожної вершини графа GG обмежений числом dd, xx — вершина графа GG. Позначимо через a(n,x)a(n, x) кількість зв'язних індукованих підграфів графа GG, які містять nn вершин, серед яких є вершина xx (індукований підграф UU — це граф, вершини якого є вершинами графа GG, і якщо xx і yy є вершинами графа UU, то xx з'єднана ребром з yy в UU тоді й лише тоді, коли xx з'єднана ребром з yy в GG). 1. Доведіть, що a(n,x)⩽2nda(n, x) \leqslant 2^{n d}. 2. Доведіть, що a(n,x)⩽((d+1)d+1dd)na(n, x) \leqslant\left(\frac{(d+1)^{d+1}}{d^{d}}\right)^{n}
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-104

Множини подільності з перестановок

Нехай nn — фіксоване натуральне число, і вибрано nn натуральних чисел a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n}. Для перестановки π\pi перших nn натуральних чисел нехай Sπ={i∣ aiπ(i)S_{\pi}=\left\{i \left\lvert\, \frac{a_{i}}{\pi(i)}\right.\right. є цілим числом }\}. Нехай NN позначає кількість різних множин SπS_{\pi}, коли π\pi пробігає всі такі перестановки. Визначте, залежно від nn, найбільше можливе значення NN за всіма можливими значеннями a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n}.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-040

Мінімальна кількість ребер для підграфа з великим степенем

Породжений вершинами підграф — це підмножина вершин графа разом з усіма ребрами, кінці яких обидва належать цій підмножині. Неорієнтований граф містить 10 вершин і mm ребер, без петель і кратних ребер. Яке найменше можливе значення mm, за якого цей граф обов’язково містить непорожній породжений вершинами підграф, у якому всі вершини мають степінь принаймні 5?
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2020-005

Найменша кількість засмучених мешканців

У місті живе 2020 мешканців. Перед Різдвом усі вони щасливі, але якщо мешканець не отримає жодної різдвяної листівки від жодного іншого мешканця, то він засмутиться. На жаль, у місті є лише одна поштова компанія, яка пропонує лише один вид послуги: перед Різдвом кожен мешканець може вказати двох різних інших мешканців, з яких компанія обирає одного, якому надіслати різдвяну листівку від імені цього мешканця. Відомо, що компанія робить свій вибір так, щоб якомога більше мешканців засмутилися. Знайдіть найменшу можливу кількість мешканців, які засмутяться.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2020-030

Графи, ізоморфні подвійному графу спільних сусідів

Для скінченного простого графа GG позначимо через G′G' граф на тій самій множині вершин, що й GG, у якому для довільних двох вершин u≠vu \neq v пара {u,v}\{u, v\} є ребром графа G′G' тоді і лише тоді, коли uu і vv мають спільного сусіда в GG. Доведіть, що якщо скінченний простий граф GG ізоморфний графу (G′)′(G')', то GG ізоморфний і графу G′G'.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2020-037

Максимальна кількість дружб зі збереженням відстаней

Десять мільйонів світлячків світяться в R3\mathbb{R}^3 опівночі. Деякі зі світлячків дружать, причому дружба завжди взаємна. Щосекунди один світлячок переміщується в нове положення так, щоб його відстань до кожного зі своїх друзів залишалася такою самою, як і до переміщення. Це єдиний спосіб, у який світлячки будь-коли змінюють свої положення. Жодні два світлячки ніколи не можуть займати одну й ту саму точку. Спочатку жодні два світлячки, друзі чи ні, не перебувають на відстані понад метр один від одного. Після деякої скінченної кількості секунд усі світлячки опиняються принаймні за десять мільйонів метрів від своїх початкових положень. Маючи цю інформацію, знайдіть найбільшу можливу кількість дружб між світлячками. У загальному випадку ми показуємо, що коли n≥70n \ge 70, відповідь дорівнює f(n)=⌊n23⌋f(n) = \lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-004

Рукостискання в прямокутній сітці

На змаганнях учасники займають усі місця в прямокутному залі, де сидіння розташовані рядами та стовпцями таким чином, що є більше двох рядів і в кожному ряду більше двох місць. У певний момент ці учасники отримують наказ потиснути руку лише своїм безпосереднім сусідам у залі, тобто тим, хто знаходиться ліворуч, праворуч, спереду, ззаду та по діагоналі. Хтось помітив, що було зроблено 1020 рукостискань. Нехай nn — кількість рядів, а mm — кількість місць у кожному ряду. a) Які кількості рукостискань міг зробити учасник у залі? b) Для кожної з кількостей xx, описаних у попередньому пункті, обчисліть, скільки учасників зробили xx рукостискань. c) Визначте кількість учасників, які були в залі.
10–11 класиСтепені вершин
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-005

Уникнення непарного циклу в грі на графі

Девід і Джейкоб грають у гру зі з’єднання n≥3n \geq 3 точок, намальованих на площині. Жодні три з точок не лежать на одній прямій. Кожного свого ходу гравець вибирає дві точки, щоб з’єднати їх новим відрізком. Гравець, який першим завершить цикл, що складається з непарної кількості відрізків, програє гру. (Обидва кінці кожного відрізка в циклі мають бути серед nn заданих точок, а не точками, які виникають пізніше як перетини відрізків.) Якщо Девід ходить першим, визначте всі nn, для яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-001

Повні числа з різницями, що чергуються

Повне число — це 9-цифрове число, яке містить кожну з цифр від 1 до 9 рівно один раз. Різницеве число числа NN — це число, яке отримують, беручи різниці послідовних цифр числа NN і записуючи ці цифри підряд. Наприклад, різницеве число числа 25143 дорівнює 3431. Повне число 124356879 має додаткову властивість, що його різницеве число, 12121212, складається з цифр 1 і 2, які чергуються. Знайдіть усі aa з 3≤a≤93 \le a \le 9, для яких існує повне число NN з додатковою властивістю, що цифри його різницевого числа почергово дорівнюють 1 і aa.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-002

Гості з чотирма друзями та умовою про недрузів

На вечірці є nn гостей. Будь-які двоє гостей або дружать між собою, або ні. Кожен гість дружить рівно з чотирма іншими гостями. Щоразу, коли якийсь гість не дружить із двома іншими гостями, ці двоє інших гостей також не можуть дружити між собою. Які можливі значення nn?
10–11 класиСтепені вершин
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-006

Найдовший ланцюжок двоцифрових чисел, кратних 7

Існує 1313 різних двоцифрових чисел, кратних 77. Потрібно скласти найдовший можливий ланцюжок із цих кратних так, щоб два кратні могли стояти поруч лише тоді, коли остання цифра лівого кратного дорівнює першій цифрі правого кратного. Кожне кратне можна використати не більше одного разу. Наприклад, 2121 – 1414 – 4949 — допустимий ланцюжок довжини 33. Яка найбільша можлива довжина допустимого ланцюжка? A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 1010
10–11 класиШляхи на графах
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-035

Сума квадратів перемог дорівнює сумі квадратів поразок

У турнірі, в якому беруть участь nn гравців, пронумерованих від 1 до nn, кожна пара гравців зустрічається рівно один раз. Ця зустріч завершується перемогою одного з двох гравців і поразкою іншого гравця. Позначимо через vkv_{k} кількість перемог гравця kk протягом турніру, а через dkd_{k} — кількість його поразок. Доведіть, що ∑k=1nvk2=∑k=1ndk2\sum_{k=1}^{n} v_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} d_{k}^{2}.
9–11 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-021

Ходи леопарда замкненим маршрутом на дошці

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Клара має дошку розміру 3n×3n3 n \times 3 n, подібну до шахівниці. Вона щойно винайшла нову фігуру, леопарда, якого вона може переміщувати так: на одну клітинку вгору, на одну клітинку вправо або на одну клітинку по діагоналі вниз і вліво. Клара поставила свого леопарда на одну з клітин дошки, а потім переміщувала його так, щоб він ніколи не проходив двічі через ту саму клітину, доки він не повернувся на початкову клітину. Яка найбільша можлива кількість ходів, яку Клара могла виконати, діючи таким чином?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-007

Вершина, що належить щонайбільше одному циклу кактуса

Кактус — це скінченний простий зв’язний граф, у якому жодні два цикли не мають спільного ребра. Доведіть, що в непорожньому кактусі обов’язково існує вершина, яка належить щонайбільше одному циклу.
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-100

Розбиття сітки зі зв'язними столицями

У Середзем'ї дев'ять міст утворюють сітку 33 на 33. Верхнє ліве місто — столиця Гондора, а нижнє праве місто — столиця Мордора. Скількома способами можна розподілити решту міст між двома державами так, щоб до всіх міст кожної країни можна було дістатися з її столиці лініями сітки, не проходячи через місто іншої країни?
10–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-055

Транзитивні відношення дружби й ворожнечі

На вечірці п'ятеро людей. Кожні двоє з них — друзі, вороги або френемі (що рівносильно тому, що вони одночасно і друзі, і вороги). Відомо, що для будь-яких трьох людей AA, BB, CC: - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — друзі, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — вороги, а BB і CC — вороги, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — вороги, то AA і CC — вороги. Скільки існує можливих конфігурацій стосунків між цими п'ятьма людьми?
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-085

Цілочисельна функція з обмеженими приростами

Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(0)=0f(0)=0 і ∣f((n+1)2k)−f(n2k)∣≤1\left|f\left((n+1) 2^{k}\right)-f\left(n 2^{k}\right)\right| \leq 1 для всіх цілих k≥0k \geq 0 і nn. Чому дорівнює найбільше можливе значення f(2019)f(2019)?
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-004

Розподіл учнів із взаємними найкращими друзями

У середній школі в кожному класі непарна кількість учнів. Крім того, кожен учень має найкращого друга (можливо, з іншого класу). Кожен є найкращим другом свого найкращого друга. Під час подорожі містами кожен учень їде до Рима або до Парижа. Доведіть, що учнів можна розподілити між двома напрямками так, щоб (i) кожен учень їхав у подорож разом зі своїм найкращим другом; (ii) для кожного класу абсолютна різниця між кількістю учнів, які їдуть до Рима, і кількістю учнів, які їдуть до Парижа, дорівнювала 1.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-015

Максимальний степінь графа без трикутників

У математичному змаганні беруть участь 300 учасників. Після змагання деякі учасники грають кілька партій у шахи. Кожні двоє учасників грають між собою щонайбільше один раз. Немає трьох учасників, кожні двоє з яких зіграли між собою. Визначте найбільше nn, для якого можливо одночасно виконати такі умови: кожен учасник грає щонайбільше nn партій у шахи, і для кожного mm з 1≤m≤n1 \leq m \leq n є учасник, який грає рівно mm партій у шахи.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2019-018

Діаметр зв'язного графа з мінімальним степенем 3

У країні є 2018 міст, деякі з яких з'єднані між собою дорогами. Кожне місто з'єднане принаймні з трьома іншими містами. З будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого міста однією чи кількома дорогами. Для кожної пари міст розглянемо найкоротший маршрут між цими двома містами. Яка найбільша кількість доріг може зустрітися в такому найкоротшому маршруті?
10–11 класиШляхи на графах
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-013

Розбиття рівностороннього трикутника на менші трикутники

Рівносторонній трикутник розбито на менші рівносторонні трикутники. Доведіть, що два з них мають однаковий розмір.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-062

Ланцюжок перемог у шаховому турнірі

Двадцять гравців взяли участь у шаховому турнірі. Кожен гравець зіграв з кожним іншим гравцем рівно один раз, і кожна партія закінчилася перемогою одного з гравців або нічиєю. У цьому турнірі помітили, що для кожної партії, яка закінчилася нічиєю, кожен з решти 18 гравців переміг принаймні одного з двох гравців, які в ній брали участь. Відомо також, що принаймні дві партії закінчилися нічиєю. Покажіть, що можна позначити гравців через P1,P2,…,P20P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20} так, щоб гравець PkP_{k} виграв у гравця Pk+1P_{k+1} для кожного k∈{1,2,3,…,19}k \in\{1,2,3, \ldots, 19\}.
10–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.