Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-022

Збалансовані підмножини з модульною умовою

Підмножина SS множини {1,2,3,…,2025}\{1,2,3,\ldots ,2025\} називається збалансованою, якщо для всіх елементів aa і bb з SS існує елемент cc з SS такий, що 20252025 ділить a+b−2ca + b - 2c. Обчисліть кількість непорожніх збалансованих підмножин.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2025-001

Рекурентна послідовність, що дає повні квадрати

Розглянемо послідовність y0,y1,…y_0, y_1, \dots таку, що y0=−14y_0 = -\frac{1}{4} і y1=0y_1 = 0, а крім того yn+1+yn−1=4yn+1y_{n+1} + y_{n-1} = 4y_n + 1 для всіх n≥1n \ge 1. Доведіть, що для всіх n≥0n \ge 0 вираз 2y2n+322y_{2n} + \frac{3}{2} є a) додатним цілим числом, а b) квадратом цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2025-007

Поліпіфагорові числа

Ціле число n≥3n \ge 3 називатимемо поліпіфагоровим, якщо існує nn різних натуральних чисел, які можна розташувати по колу так, щоб сума квадратів кожної пари сусідніх чисел була квадратом. Так, 33 є поліпіфагоровим числом, бо, наприклад, для трійки (44,117,240)(44, 117, 240) маємо 442+1172=125244^2+117^2 = 125^2, 1172+2402=2672117^2 + 240^2 = 267^2 і 2402+442=2442240^2 + 44^2 = 244^2. Знайдіть усі поліпіфагорові числа.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-008

Сортування перестановки обмінами сусідніх значень

Аліса грає в гру з Божевільним Капелюшником. Божевільний Капелюшник напише на дошці два рядки чисел, кожен — окрема перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2,\ldots ,n\}. За один хід Алісі дозволено поміняти місцями числа aa і a+1a + 1 у першому рядку, для деякого 1≤a<n1 \leq a < n. Яка найменша кількість ходів потрібна Алісі, щоб гарантовано перетворити перший рядок чисел на другий, незалежно від перестановок, які напише Божевільний Капелюшник?
10–11 класиПерестановки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-005

Розселення кроликів на цілочисельній прямій

Підземна нора складається з нескінченної послідовності кімнат, занумерованих цілими числами …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots. Спочатку деякі з кімнат зайняті одним або кількома кроликами. Кожен кролик хоче бути сам. Тому, якщо в одній кімнаті (скажімо, в кімнаті mm) є двоє або більше кроликів, то половина кроликів (з округленням униз) втече до кімнати m−1m-1, а половина (також з округленням униз) — до кімнати m+1m+1. Раз на хвилину це відбувається одночасно в усіх кімнатах, де є двоє або більше кроликів. Наприклад, якщо спочатку всі кімнати порожні, крім 5 кроликів у кімнаті №12 і 2 кроликів у кімнаті №13, то через хвилину в кімнатах №11–№14 буде відповідно 2, 2, 2 і 1 кролики, а всі інші кімнати будуть порожні. Тепер припустимо, що спочатку в кімнаті kk є k+1k+1 кроликів для кожного k=0,1,2,…,9,10k=0,1,2, \ldots, 9,10, а всі інші кімнати порожні. a. Доведіть, що зрештою кролики перестануть рухатися. b. Визначте, які кімнати будуть зайняті, коли це станеться.
10–11 класиНапівінваріанти
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-022

Сума дев’ятих степенів і десятий степінь

Доведіть, що 202310>10⋅(19+29+39+⋯+20229)2023^{10} > 10 \cdot (1^9 + 2^9 + 3^9 + \dots + 2022^9).
10–11 класиФормула біном Ньютона3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-022

Різні набори курсів учнів після вилучення курсу

У школі є nn курсів і nn учнів. Учні записані на кілька курсів так, що жодні два різні учні ніколи не мають точно однакового набору курсів. Доведіть, що можна вилучити один курс так, щоб жодна пара учнів не опинилася з точно однаковим набором курсів.
8–10 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-047

Послідовність, задана рекурентним співвідношенням з цілою частиною

Визначимо послідовність (an)\left(a_{n}\right) як a0=a1=a2=1a_{0}=a_{1}=a_{2}=1, а якщо n⩾3n \geqslant 3: an=⌊nan−1an−2an−3⌋a_{n}=\left\lfloor\frac{n}{a_{n-1} a_{n-2} a_{n-3}}\right\rfloor Знайдіть a2022\mathrm{a}_{2022}.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-011

Рекурентна послідовність із добутком у знаменнику

Послідовність (an)(a_{n}) задано умовами a1=1a_{1}=1 і an=1n+1a1⋅…⋅an−1a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{n-1}} Доведіть, що для кожного цілого m⩾3m \geqslant 3 виконується am⩽1a_{m} \leqslant 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-062

Вкладені корені квадратичної функції

Нехай f(x)=x2+6x+6f(x) = x^{2} + 6x + 6. Обчисліть найбільше дійсне число xx таке, що f(f(f(f(f(x)))))=0f(f(f(f(f(x))))) = 0.
10–11 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-071

Сума чисел у груві-таблиці

Дошка називається груві, якщо кожна її клітинка позначена найменшим натуральним числом, яке не зустрічається нижче в тому самому стовпці або ліворуч у тому самому рядку. Обчисліть суму чисел груві-дошки 14×1414 \times 14, нижня ліва клітинка якої дорівнює 11.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2024-014

Максимальна кількість мостів проти пожежі на дереві

Дано натуральне число nn. Є nn островів із n−1n-1 мостами між ними так, що з кожного острова можна потрапити на будь-який інший острів. Одного дня опівдні на одному з островів спалахує пожежа. Щоранку вогонь поширюється на всі сусідні острови (ті острови, що з'єднані мостом). Щоб стримати вогонь, щоночі підривають один міст, доки вогонь ще має куди поширюватися. Нехай XX — мінімальна кількість мостів, яку потрібно підірвати для даної групи островів і осередку пожежі. Знайдіть максимум XX за всіма можливими групами островів і осередками пожежі.
10–11 класиДерева
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-019

Записки у вазах з умовою середнього арифметичного

У кімнаті є 20232023 вази, пронумеровані від 11 до 20232023. У кожну вазу ми хочемо покласти записку з натуральним числом із 1,2,…,20231, 2, \ldots, 2023. Числа на записках не обов'язково мають бути різними. Для кожної вази має виконуватися таке: подивимося на записку всередині вази, знайдемо вазу (не обов'язково іншу) з номером, написаним на записці, і подивимося на записку всередині цієї вази. Тоді середнє арифметичне чисел на цих двох записках має точно дорівнювати номеру першої вибраної вази. Наприклад, якщо покласти записку з числом 55 у вазу 1313, то ваза 55 повинна містити записку з числом 2121: адже середнє арифметичне чисел 55 і 2121 дорівнює 1313. Визначте всі можливі способи забезпечити кожну вазу запискою.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-054

Колони з 2024 учнів без вищих за обох сусідів

2024 учні, всі різного зросту, мають стати в колону по одному. Проте кожен учень не хоче мати одночасно і перед собою, і позаду себе учня, нижчого за нього. Скільки існує способів утворити таку колону?
8–10 класиРекурентний підрахунок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-055

Ітераційне середнє повторених двійок

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Босфор написав на дошці число 22 рівно nn разів. Потім він n−1n-1 разів поспіль виконує таку операцію: вибирає два написані на дошці числа, які називає aa і bb, потім стирає їх і записує замість них число (ab+1)/2\sqrt{(ab+1)/2}. Зрештою він позначає через xx число, написане на дошці після цих n−1n-1 операцій, а через yy — число (n+3)/n\sqrt{(n+3)/n}. a) Доведіть, що x⩾yx \geqslant y. b) Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел n⩾1n \geqslant 1, для яких обов'язково виконується x>yx>y. c) Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел n⩾1n \geqslant 1, для яких Босфор може домогтися того, щоб x=yx=y.
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-066

Скінченність обмінів із подвоєнням

Декілька чисел записано в рядок. Таніма має право вибрати два сусідні числа так, щоб число зліва було строго більшим за число справа, після чого вона міняє ці два числа місцями та множить їх на 2. Доведіть, що Таніма може виконати лише скінченну кількість таких операцій.
8–10 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-089

Рекурентна послідовність із квадратним коренем

Нехай (an)(a_{n}) — послідовність дійсних чисел. Припустимо, що a0=1a_{0}=1 і що для всякого n⩾1n \geqslant 1 число ana_{n} є найменшим додатним розв'язком рівняння (an−an−1)(an+an−1−2n)=2.\left(a_{n}-a_{n-1}\right)\left(a_{n}+a_{n-1}-2 \sqrt{n}\right)=2 . Знайти найменше ціле число nn таке, що an⩾2022a_{n} \geqslant 2022.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-018

Тупикові ребра через розбиття з малою кількістю ребер

Нехай GG — граф з nn вершинами. Ребро ee графа GG називається тупиком, якщо вершини графа GG можна розбити на дві множини AA і BB так, що: - є не більше 20232023 ребер графа GG, що мають один кінець в AA, а другий — в BB. - ребро ee має один свій кінець в AA, а другий — в BB. Доведіть, що є не більше 2023(n−1)2023(n-1) тупиків.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-005

Нижня межа відношення членів послідовності

Знайдіть найбільше дійсне число MM таке, що для кожної нескінченної послідовності x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots дійсних чисел, яка задовольняє умови a. x0=1x_0 = 1 і x1=3x_1 = 3, b. x0+x1+⋯+xn−1≥3xn−xn+1x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} \ge 3x_n - x_{n+1} для всіх n≥1n \ge 1, нерівність xn+1xn>M,\frac{x_{n+1}}{x_n} > M, виконується для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-021

Нерівність для суми обернених квадратів і кубів

Нехай n≥m≥1n \ge m \ge 1 — натуральні числа. Доведіть, що ∑k=mn(1k2+1k3)≥m⋅(∑k=mn1k2)2.\sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \right) \ge m \cdot \left( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k^2} \right)^2 .
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-032

Самозбіг скінченних різниць на циклічній групі

Нехай pp — фіксоване просте число, а a≥2a \ge 2 і e≥1e \ge 1 — фіксовані цілі числа. Для функції f:Z/aZ→Z/peZf: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} та цілого числа k≥0k \ge 0 kk-ту скінченну різницю, позначену Δkf\Delta^k f, означено як функцію з Z/aZ\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} до Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}, задану рекурсивно як Δ0f(n)=f(n)Δkf(n)=Δk−1f(n+1)−Δk−1f(n)при k=1,2,…\begin{aligned} \Delta^0 f(n) &= f(n) \\ \Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{при } k = 1, 2, \dots \end{aligned} Визначте кількість функцій ff таких, що існує деяке k≥1k \ge 1, для якого Δkf=f\Delta^k f = f.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-015

Послідовності з обмеженою властивістю підрахунку

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел {an}n≥1\{a_n\}_{n \ge 1} такі, що для довільного натурального числа nn виконується така умова: Існує рівно ana_n натуральних чисел ii, які задовольняють ai≤an+1+ca_i \le a_{n+1} + c.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj з 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-010

Прямокутні розбиття непарного квадрата

Нехай nn — натуральне число. Рожер має квадратний сад розміру (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він зводить паркани, щоб поділити його на прямокутні грядки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні грядки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні грядки 1×k1 \times k для кожного парного числа kk між 1 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну грядку розміру 1×11 \times 1, коли завершить. Скількома різними способами Рожер може поділити свій сад?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.