Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

480 задач
КомбінаторикаПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-011

Випадкові обміни капелюхами та перестановки

Лунаса, Мерлін і Ліріка мають по одному капелюху, усі капелюхи різні. Щодня двоє з цих трьох людей, вибрані випадковим чином, обмінюються капелюхами. Яка ймовірність того, що через 2017 днів у кожної людини знову буде свій капелюх?
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2017-011

Триколірне розфарбування вершин правильного многокутника

Нехай nn — натуральне число, взаємно просте з 66. Вершини правильного nn-кутника розфарбовано в три кольори так, що кількість вершин кожного кольору непарна. Доведіть, що тоді завжди існує рівнобедрений трикутник, вершини якого є вершинами nn-кутника і мають усі різні кольори.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-005

Числа на трикутниках зі спільними сторонами

Рівносторонній трикутник поділено на 9 маленьких трикутників, як на рисунку, і на кожному маленькому трикутнику спочатку написано число 0. Марко, щоб згаяти час, грає в таку гру: кожним ходом він вибирає 2 маленькі трикутники зі спільною стороною та додає 1 до обох чисел, написаних на цих трикутниках, або віднімає від них одиницю (мається на увазі, що операція, виконана на обох трикутниках, однакова). Через деякий час він помічає, що числа, написані на 9 маленьких трикутниках, у деякому порядку дорівнюють n,n+1,…,n+8n, n+1, \ldots, n+8, де nn — невід'ємне ціле число. Доведіть, що nn може дорівнювати лише 0 або 2. Зауваження. Випадки n=0n=0 і n=2n=2 справді можуть траплятися, але доводити це твердження не вимагається.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-098

Перемикання лампочок рядками і стовпцями

Алекс має сітку 20×1620 \times 16 лампочок, спочатку всі вимкнені. Він має 36 вимикачів, по одному для кожного рядка і стовпця. Перемикання вимикача для ii-го рядка змінює стан кожної лампочки в ii-му рядку (тобто якщо вона була ввімкнена, то стане вимкненою, і навпаки). Аналогічно вимикач для jj-го стовпця змінює стан кожної лампочки в jj-му стовпці. Алекс виконує деяку (можливо, порожню) послідовність перемикань, внаслідок чого отримує деяку конфігурацію лампочок та їхніх станів. Скільки різних можливих конфігурацій лампочок може отримати Алекс за допомогою такої послідовності? Дві конфігурації вважаються різними, якщо існує лампочка, яка в одній конфігурації ввімкнена, а в іншій — вимкнена.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-017

Перемикання лампочок трійками в таблиці

На табло є nmnm лампочок, розташованих у таблицю n×mn \times m. Спочатку всі лампочки вимкнені. На кожному кроці можна перемкнути три послідовні лампочки в одному рядку або в одному стовпці, змінивши стан кожної лампочки на протилежний. Для яких пар натуральних чисел (n,m)(n, m) можна досягти ситуації, коли всі лампочки будуть увімкнені?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-044

Зміна знаків у вершинах правильного многокутника

На кожній вершині правильного nn-кутника поставлено знак ++ або −-. На кожному кроці дозволяється змінити знаки трьох послідовних вершин nn-кутника. Для яких nn за будь-якої початкової конфігурації за скінченну кількість кроків можна отримати ++ в усіх вершинах?
9–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-076

Обмін монет із максимізацією одноколірного набору

Басаніо має три червоні монети, чотири жовті монети і п’ять синіх монет. У будь-який момент він може віддати Шейлоку будь-які дві монети різних кольорів в обмін на одну монету третього кольору; наприклад, він може віддати Шейлоку одну червону монету й одну синю монету, а натомість отримати одну жовту монету. Басаніо хоче завершити з монетами одного кольору, причому мати при цьому якомога більше монет. Скільки монет у нього залишиться і якого кольору вони будуть?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-018

Майже паліндроми з даного набору літер

Назвемо рядок з літер SS майже паліндромом, якщо SS і рядок, обернений до SS, відрізняються рівно у двох місцях. Знайдіть кількість способів упорядкувати літери в HMMTTHEMETEAM так, щоб отримати майже паліндром.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-002

Досяжні точки решітки при взаємно простих кроках

Нехай aa і bb — два натуральні числа, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Розглянемо фішку, що стоїть на точці решітки (x,y)(x, y). Хід типу A полягає в переміщенні фішки в одну з таких точок: (x+a,y+a),(x+a,y−a),(x−a,y+a)(x+a, y+a), (x+a, y-a), (x-a, y+a) або (x−a,y−a)(x-a, y-a). Хід типу B полягає в переміщенні фішки в точку (x+b,y+b),(x+b,y−b),(x−b,y+b)(x+b, y+b), (x+b, y-b), (x-b, y+b) або (x−b,y−b)(x-b, y-b). Поставимо тепер фішку на (0,0)(0,0). Дозволено виконати (скінченну) кількість ходів, причому ходи типу A і типу B чергуються, починаючи з ходу типу A. Дозволено виконувати як парну, так і непарну кількість ходів, тобто останній хід може бути як типу A, так і типу B. Знайдіть множину всіх точок решітки (x,y)(x, y), які можна досягти такою серією ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-012

Дільники, що перемикаються стрибками кенгуру

Кабояра, знаменитий австралійський циркач, і цього року виступає з грандіозним трюком. Він підготував ефектні сходи з N=p1⋅p2⋅…⋅p2015N = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{2015} сходинками, де p1,p2,…,p2015p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2015} — різні прості числа; сходинки, що відповідають дільникам NN (включно з першою та NN-ю сходинкою), особливі й спочатку світяться зеленим. Під час вистави 2015 дресированих кенгуру один за одним піднімаються сходами; для i=1,2,…,2015i = 1, 2, \ldots, 2015 ii-й кенгуру стрибає по pip_{i} сходинок за раз, починаючи з підніжжя сходів (стрибає на сходинку pip_{i}, потім на 2pi2 p_{i} і так далі, доки не досягне сходинки NN). Щоразу, коли кенгуру стрибає на особливу сходинку, вона змінює колір: із зеленої стає червоною, з червоної — зеленою. Скільки особливих сходинок світитимуться зеленим наприкінці вистави? (A) 22015−210082^{2015} - 2^{1008} (B) 220142^{2014} (C) 22014−210072^{2014} - 2^{1007} (D) 220132^{2013} (E) 2015⋅210082015 \cdot 2^{1008}
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-053

Мінімальна кількість дотиків для всіх зелених лампочок

Деякі різдвяні лампочки з’єднано за допомогою чарівних дротів. Кожна лампочка може бути зеленого або жовтого кольору. Кожен дріт з’єднано з двома лампочками, і він має чарівну властивість: коли хтось торкається дроту, що з’єднує дві лампочки, кожна з них змінює колір із зеленого на жовтий або з жовтого на зелений. а) У наведеному нижче розташуванні кожна точка позначає лампочку, а відрізки позначають чарівні дроти. Спочатку всі вони жовті. Яка найменша кількість дротів, до яких потрібно доторкнутися, щоб усі лампочки стали зеленими? Наведіть приклад, як здійснити цю зміну з цією мінімальною кількістю дротів. б) Розглянемо розташування на рисунку нижче, де всі лампочки жовтого кольору. Покажіть, що неможливо доторкнутися до деяких чарівних дротів і змінити колір усіх лампочок на зелений.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-002

Покриття квадрата n×n Т-тетроміно з непарною кількістю квадратів

Для яких натуральних чисел nn можна покрити дошку n×nn \times n без проміжків і накладань Т-тетраміно та непарною кількістю квадратних тетраміно? Примітка: дозволяється не використовувати жодного Т-тетраміно.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-014

Зміна знаків на круговій клітинній дошці

Розглянемо клітчасту дошку, утворену всіма маленькими квадратами зі стороною 11, цілком включеними в круг, заданий нерівністю x2+y2≤20142x^{2}+y^{2} \leq 2014^{2} на площині з ортонормованою системою координат OxyOxy. На кожному етапі гри кожен квадрат містить число 11 або число −1-1. Припустимо, що на початку кожна клітинка дошки містить 11. Хід полягає у виборі рядка, стовпця або діагоналі (тобто максимальної множини клітинок такої, що центри цих останніх лежать на одній прямій, яка утворює кут 4545 градусів з однією з осей координат) дошки та зміні знаків вмісту всіх її клітинок. Чи можна наприкінці отримати −1-1 в одній клітинці, а 11 в усіх інших?
9–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-039

Замкнений шлях лазера в розфарбованій сітці

Розіб'ємо площину на нескінченну квадратну сітку, провівши всі прямі x=mx = m і y=ny = n, де mm і nn — цілі числа. Далі, якщо верхній правий кут клітинки має обидві парні координати, зафарбуємо її у чорний колір; інакше — у білий (таким чином, рівно 1/41/4 клітинок є чорними, і жодні дві чорні клітинки не є сусідніми). Нехай rr і ss — непарні цілі числа, а (x,y)(x, y) — точка всередині довільної білої клітинки, така, що rx−syrx - sy ірраціональне. Випустимо з цієї точки лазер з нахилом r/sr/s; лазери проходять крізь білі клітинки і відбиваються від чорних. Доведіть, що траєкторія цього лазера утворить замкнений цикл.
10–11 класиСиметрія
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-007

Обхід пронумерованої дошки ходами

Дошка для настільної гри складається з 10 клітинок у ряд, пронумерованих від 1 до 10. На деякій клітинці лежить кнопка. За один хід дозволяється пересунути кнопку на клітинку, номер якої або на 2 менший, або у 2 рази більший. Чи існує таке початкове положення кнопки, з якого гравець може відвідати всі клітинки дошки? Дозволяється відвідувати одну клітинку кілька разів.
8–10 класиПарність і непарність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-023

Колір числа 2012/2013 при фарбуванні раціональних чисел

Кожне додатне раціональне число пофарбовано або в червоний, або в чорний колір так, що: - числа xx і x+1x+1 мають різні кольори; - числа xx і 1x\frac{1}{x} мають той самий колір; - число 11 пофарбовано в червоний колір. Якого кольору число 20122013\frac{2012}{2013}? (Доводити існування такого фарбування не потрібно.)
8–10 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-021

Перефарбовування сусідів на дошці 4×4

Розглянемо квадратну дошку 4×44 \times 4 клітинок. Дві різні клітинки, що мають спільну сторону, називаються сусідніми. Спочатку всі клітинки червоні. Надалі клітинка може змінювати колір і бути або червоною, або синьою. Виконати операцію на клітинці cc означає одночасно змінити колір клітинки cc, а також кольори всіх її сусідок (червоні клітинки стають синіми, а сині клітинки стають червоними). Знайти всі значення nn, для яких існує група з nn різних клітинок таких, що після виконання операції на кожній із цих nn клітинок отримаємо повністю синю дошку.
9–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-030

Парність популярних підмножин у двочастковому графі

Розглянемо скінченну множину EE хлопців і дівчат. Підмножина GG хлопців з EE називається популярною, якщо кожна дівчина з EE знає принаймні одного з хлопців з GG. Аналогічно, підмножина FF дівчат називається популярною, якщо кожен хлопець з EE знає принаймні одну з дівчат з FF. Припускаємо, що якщо aa знає bb, то bb знає aa. Доведіть, що кількість популярних підмножин, утворених хлопцями, має ту саму парність, що й кількість популярних підмножин, утворених дівчатами.
9–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-010

Орієнтовані решіткові квадрати в кубі

Нехай nn — натуральне число. Під точкою решітки в xyzxyz-просторі розуміємо точку (k,l,m)(k, l, m), де k,l,mk, l, m — цілі числа. Відрізок, що сполучає дві точки решітки, які містяться в області 0≤x,y,z≤n0 \le x, y, z \le n і відстань між якими дорівнює 1, називається решітковим відрізком. Кожному решітковому відрізку можна надати напрям (наприклад, для решіткового відрізка з кінцями AA і BB надати один і лише один із напрямів A→BA \rightarrow B або A←BA \leftarrow B). Квадрат назвемо решітковим квадратом, якщо всі чотири його сторони є решітковими відрізками. Будемо казати, що два решіткові квадрати конгруентні, якщо поворотом і паралельним перенесенням один із квадратів можна накласти на інший квадрат з додатковою вимогою, щоб напрями всіх чотирьох сторін збігалися. Скільки існує способів надання напрямів решітковим відрізкам, які забезпечують, що всі решіткові квадрати конгруентні?
10–11 класиПарність і непарність
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-003

Максимальна кількість перевертань у трикутній решітці

Нехай nn — натуральне число. Є n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} фішок, у кожної з яких один бік чорний, а другий білий; вони розкладені у рівносторонній трикутник, причому найбільший ряд містить nn фішок. Спочатку кожна фішка лежить чорним боком угору. Операція полягає у виборі прямої, паралельної одній зі сторін трикутника, та перевертанні всіх фішок на цій прямій. Конфігурацію називають допустимою, якщо її можна одержати з початкової конфігурації, виконавши скінченну кількість операцій. Для кожної допустимої конфігурації CC нехай f(C)f(C) позначає найменшу кількість операцій, потрібну для одержання CC з початкової конфігурації. Знайдіть найбільше значення f(C)f(C), де CC пробігає всі допустимі конфігурації.
10–11 класиПарність і непарність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-007

Хроматичне число цілочисельної решітки при відстані п'ять

Знайдіть найменшу кількість кольорів, необхідну для того, щоб пофарбувати всі точки площини з цілими координатами так, щоб жодні дві точки, відстань між якими дорівнює рівно п'яти одиницям, не мали однакового кольору.
8–10 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові тести на IMOTST-2012-011

Видалення куль з подвоєнням або потроєнням

Маємо дві коробки з кулями. В одній коробці mm куль, в іншій — nn куль, причому m,n>0m, n>0. Дозволено дві різні дії: (i) Забрати з обох коробок однакову кількість куль. (ii) Збільшити кількість куль в одній з коробок у kk разів. Чи завжди можна забрати всі кулі з обох коробок за допомогою цих двох дій, a) якщо k=2k=2? b) якщо k=3k=3?
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-003

Досяжність чисел 1, 2 і 3 у вершинах трикутника

Числа 00, 11 і 22 записані у вершинах трикутника. Один крок полягає у збільшенні двох із трьох чисел на mm або у зменшенні одного з трьох чисел на nn. Чи можливо, щоб після кількох кроків у вершинах опинилися числа 11, 22 і 33 (у довільному порядку), якщо a) m=3m = 3, n=6n = 6; b) m=412m = 4\frac{1}{2}, n=6n = 6?
8–10 класиОстача від ділення2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-009

Прямокутники з непарними сторонами на клітинній дошці

Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) натуральних чисел, для яких клітинна дошка m×nm \times n містить рівно 225225 прямокутників з непарними довжинами сторін, краї яких лежать на лініях сітки.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-147

Гра із заміною сусідніх чисел на суму або добуток

Числа від 11 до nn записані на дошці зліва направо в порядку зростання. Девід і Голіаф грають у таку гру: починаючи з Девіда, гравці по черзі витирають будь-які два сусідні числа й замінюють їх їхньою сумою або добутком. Гра триває, доки на дошці не залишиться одне число. Якщо воно непарне, перемагає Девід, а якщо парне — Голіаф. Знайдіть 2011-те найменше натуральне число, більше за 11, для якого Девід може гарантувати собі перемогу.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.