Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-050

Ланцюжок вписаних кіл і кількість перетинів

Нехай ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C — трикутник, у якому ∠A1B1C=90∘\angle A_{1} B_{1} C=90^{\circ} і CA1CB1=5+2\frac{C A_{1}}{C B_{1}}=\sqrt{5}+2. Для довільного i≥2i \geq 2 визначимо AiA_{i} як точку на прямій A1CA_{1} C таку, що AiBi−1⊥A1CA_{i} B_{i-1} \perp A_{1} C, а BiB_{i} визначимо як точку на прямій B1CB_{1} C таку, що AiBi⊥B1CA_{i} B_{i} \perp B_{1} C. Нехай Γ1\Gamma_{1} — вписане коло трикутника ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C, а для i≥2,Γii \geq 2, \Gamma_{i} — коло, дотичне до Γi−1,A1C,B1C\Gamma_{i-1}, A_{1} C, B_{1} C, яке менше за Γi−1\Gamma_{i-1}. Скільки існує цілих чисел kk таких, що пряма A1B2016A_{1} B_{2016} перетинає Γk\Gamma_{k}?
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-056

Еліпс через чотири точки з мінімальною площею

Знайдіть найменшу можливу площу еліпса, що проходить через (2,0)(2,0), (0,3)(0,3), (0,7)(0,7) і (6,0)(6,0).
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-066

Рівносторонній шестикутник із вершинами у вузлах решітки

Скільки існує рівносторонніх шестикутників зі стороною 13\sqrt{13}, які мають одну вершину в точці (0,0)(0,0), а інші п'ять вершин — у точках цілочисельної решітки? (Точка цілочисельної решітки — це точка, обидві декартові координати якої є цілими числами. Шестикутник може бути неопуклим, але не повинен мати самоперетинів.)
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-068

Найвіддаленіша точка на поверхні додекаедра

Равлик Каміль живе на поверхні правильного додекаедра. Зараз він перебуває у вершині P1P_{1} грані з вершинами P1,P2,P3,P4,P5P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}. Периметр цієї грані дорівнює 55. Каміль хоче дістатися до точки на додекаедрі, найвіддаленішої від P1P_{1}. Для цього він має пройти поверхнею відстань щонайменше LL. Чому дорівнює L2L^{2}?
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Точкою, ізогонально спряженою до точки PP (позначення P∗P^*), називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2016-003

Трикутник з висотою і рівними відрізками

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник. Нехай HH — основа висоти з CC на ABA B. Припустимо, що ∣AH∣=3∣BH∣|A H| = 3|B H|. Нехай MM і NN — середини сторін відповідно ABA B і ACA C. Нехай PP — така точка, що ∣NP∣=∣NC∣|N P| = |N C| і ∣CP∣=∣CB∣|C P| = |C B|, причому BB і PP лежать по різні боки від прямої ACA C. Доведіть, що ∠APM=∠PBA\angle A P M = \angle P B A.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2016-013

Рівнобедрений трикутник з бісектрисою кута BEC

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|. Нехай DD, EE і FF — точки на відповідних відрізках BCBC, CACA і ABAB такі, що ∣BF∣=∣BE∣|BF| = |BE| і EDED — внутрішня бісектриса кута ∠BEC\angle BEC. Доведіть, що ∣BD∣=∣EF∣|BD| = |EF| тоді й лише тоді, коли ∣AF∣=∣EC∣|AF| = |EC|.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2016-016

Прямокутний трикутник, середини дуг і дотики вписаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^\circ, а Γ\Gamma — його описане коло. Вписане коло дотикається до сторони BCBC в точці DD. Нехай EE — середина дуги ABAB кола Γ\Gamma, на якій не лежить CC, а FF — середина дуги ACAC кола Γ\Gamma, на якій не лежить BB. a) Доведіть, що △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. b) Доведіть, що пряма EFEF проходить через точки дотику вписаного кола до сторін ABAB і ACAC.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2016-012

Дотик і конкурентність у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ і HH — основа висоти, проведеної з вершини CC. Нехай DD — точка всередині трикутника BCHBCH, така, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Нехай PP — точка перетину прямих BDBD і CHCH. Нехай ω\omega — півколо з діаметром BDBD, яке перетинає відрізок CBCB. Дотична, проведена з PP до півкола ω\omega, дотикається до нього в QQ. Доведіть, що точка перетину прямих CQCQ і ADAD лежить на півколі ω\omega.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Відбіркові тести на IMOTST-2016-020

Геометричне місце перетину при дотичній побудові

Задано кола Γ1\Gamma_{1} з центром AA і Γ2\Gamma_{2} з центром BB, причому AA лежить на колі Γ2\Gamma_{2}. Крім того, на колі Γ2\Gamma_{2} вибрано змінну точку PP, що не лежить на прямій ABA B. Пряма через PP, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в SS, перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у QQ, причому PP і QQ лежать з одного боку від прямої ABA B. Інша пряма через QQ дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в TT. Нехай MM — основа перпендикуляра з PP на пряму ABA B. Нехай NN — точка перетину прямих AQA Q і MTM T. Доведіть, що NN лежить на прямій, яка не залежить від положення PP на колі Γ2\Gamma_{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2016-026

Бісектриса, висота і добуток сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і нехай MM — середина сторони BCBC. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC у точці QQ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини AA на пряму BCBC. Перпендикуляр до прямої AQAQ, що проходить через AA, перетинає пряму BCBC у точці SS. Доведіть, що MH⋅QS=AB⋅ACMH \cdot QS = AB \cdot AC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2016-028

Колінеарність у трикутнику з рівними відрізками

Нехай ABCABC — непрямокутний трикутник, MM — середина сторони BCBC. Нехай DD — точка на прямій ABAB така, що CA=CDCA = CD, а EE — точка на прямій BCBC така, що EB=EDEB = ED. Пряма, паралельна до EDED і проведена через AA, перетинає пряму MDMD у точці II, а пряма AMAM перетинає пряму EDED у точці JJ. Доведіть, що точки CC, II і JJ лежать на одній прямій.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-007

Відстань від основи висоти до середини медіани

Дано трикутник ABCABC зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і AC=15AC = 15, нехай HH — основа висоти, проведеної до сторони BCBC, MM — середина сторони BCBC, а NN — середина відрізка AMAM. Чому дорівнює довжина відрізка HNHN? (A) 2+232 + 2\sqrt{3} (B) 66 (C) 37\sqrt{37} (D) 4+74 + \sqrt{7} (E) 42\sqrt{42}
10–11 класиКути прямокутного трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-001

Опуклий многокутник з обмеженням на кути

Многокутник називається опуклим, якщо всі його внутрішні кути мають величину, строго меншу за 180∘180^{\circ}. Скільки щонайбільше кутів з величиною, меншою за 150∘150^{\circ}, може мати опуклий многокутник із 2016 сторонами? (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 17 (E) 2016
9–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-002

Сума площ трикутників шестикутника

Нехай ABCDEFABCDEF — правильний шестикутник площею 11. Розглянемо всі трикутники, вершини яких належать множині {A,B,C,D,E,F}\{A, B, C, D, E, F\}: чому дорівнює сума їхніх площ? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
9–11 класиРозбиття і перекидання площ
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-006

Прямокутник, описане коло і бісектриса

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB>BCAB > BC, а ω\omega — його описане коло. Нехай EE і FF — відповідно точки перетину (відмінні від AA) бісектриси кута BAD^\widehat{BAD} зі стороною CDCD і з колом ω\omega. Перпендикуляр до хорди DFDF, проведений через EE, перетинає хорду DFDF в GG, а дугу DFDF, що не містить CC, — в точці HH. Доведіть, що: (a) відрізки DFDF і FBFB мають однакову довжину; (b) трикутники DEGDEG і DHGDHG конгруентні; (c) відрізки HFHF і FCFC рівні.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-003

Дотичні вписаного кола та відношення перетинів

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай пряма EFEF перетинає прямі BIBI, CICI, BCBC, DIDI у точках KK, LL, MM, QQ відповідно, де II — інцентр △ABC\triangle ABC. Якщо пряма, що проходить через середину відрізка CLCL і MM, перетинає CKCK у точці PP, доведіть, що PQ=AB⋅KQBI.PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}.
10–11 класиТеорема Менелая
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-001

Кут у трикутнику з перетинами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні BCBC, така, що 2∠BAE=∠ACB2 \angle BAE = \angle ACB. Нехай DD — друга точка перетину прямої ABAB та описаного кола трикутника AECAEC, а PP — друга точка перетину прямої CDCD та описаного кола трикутника DBEDBE. Обчисліть кут ∠BAP\angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-002

Паралельні прямі з дотичних до двох кіл

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і CC. Нехай BB — друга точка перетину кола k1k_{1} з дотичною до кола k2k_{2} в точці AA, а DD — друга точка перетину кола k2k_{2} з дотичною до кола k1k_{1} в точці CC. Доведіть, що прямі ADA D і BCB C паралельні.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-008

Дотичне до сторін коло на бісектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Нехай kk — коло, яке проходить через точку DD і дотикається до відрізків ACAC та ABAB в точках EE і FF відповідно. Нехай GG — друга точка перетину кола kk зі стороною BCBC. Нехай SS — точка перетину прямих EGEG і DFDF. Доведіть, що пряма ADAD перпендикулярна до прямої BSBS.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-009

Перетин описаних кіл на гіпотенузі

Нехай ABCA B C — прямокутний трикутник з ∠ACB=90∘\angle A C B=90^{\circ}, а MM — середина гіпотенузи ABA B. Нехай GG — довільна точка на відрізку MCM C, а PP — точка на прямій AGA G, така, що ∠CPA=∠BAC\angle C P A=\angle B A C. Далі нехай QQ — точка на прямій BGB G, така, що ∠BQC=∠CBA\angle B Q C=\angle C B A. Доведіть, що описані кола трикутників AQGA Q G і BPGB P G перетинаються на відрізку ABA B.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-012

Рівність відрізків у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай GG — точка перетину прямої, паралельної до ABAB, проведеної через HH, з прямою, паралельною до AHAH, проведеною через BB. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC перетинає відрізок HIHI в його середині. Нехай JJ — друга точка перетину прямої ACAC з описаним колом трикутника CGICGI. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-002

Висоти трикутника і відношення з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD, BEBE і CFCF. Нехай HH — ортоцентр, тобто точка, в якій перетинаються висоти. Доведіть, що AB⋅AC+BC⋅BA+CA⋅CBAH⋅AD+BH⋅BE+CH⋅CF≤2.\frac{AB \cdot AC + BC \cdot BA + CA \cdot CB}{AH \cdot AD + BH \cdot BE + CH \cdot CF} \le 2.
10–11 класиТочка перетину висот
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-004

Коло, дотичне до описаного кола BOC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай Γ\Gamma — коло з центром на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ABCABC, яке проходить через вершину AA та точки PP і QQ на сторонах ABAB і ACAC. Припустімо, що BP⋅CQ=AP⋅AQBP \cdot CQ = AP \cdot AQ. Доведіть, що коло Γ\Gamma дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-003

Перпендикулярність прямих, що з'єднують центр зовнівписаного кола з дугою та центр вписаного кола з бісектрисою

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник з вершиною AA, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай NN — середина дуги кола Γ\Gamma між BB і CC, що містить AA. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC навпроти вершини AA, і KK — точка перетину прямої BCBC із зовнішньою бісектрисою ∠BAC\angle BAC. Довести, що (JN)⊥(IK)(JN) \perp (IK).
10–11 класиТочка перетину висот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.