Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-032

Підмножина двоцифрових чисел з умовою покриття цифр

Нехай TT позначає 15-елементну множину T={10a+b:1≤a<b≤6}T = \{10a+b : 1 \le a < b \le 6\}. Нехай S⊆TS \subseteq T — підмножина TT, у якій трапляються всі 6 цифр і в якій не існує 3 елементів, які разом містять усі 6 цифр 1, 2,..., 6. Знайдіть найбільший можливий розмір nn множини SS.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-033

Знайомства учнів трьох шкіл

У Грайфсвальді є три школи AA, BB і CC, кожну з яких відвідує принаймні один учень. Серед будь-яких трьох учнів aa з AA, bb з BB і cc з CC знайдуться двоє, які знають один одного, і двоє інших, які не знають один одного. Доведіть, що або деякий учень з AA знає всіх учнів з BB, або деякий учень з BB знає всіх учнів з CC, або деякий учень з CC знає всіх учнів з AA.
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-034

Розфарбування сітки з обмеженнями на квадрати 2×2

Дано прямокутну сітку, розбиту на m×nm \times n клітинок; розфарбування клітинок у два кольори (чорний і білий) називається допустимим, якщо виконуються такі умови: усі клітинки, що дотикаються до межі сітки, мають бути пофарбовані в чорний колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані в один і той самий колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані так, щоб лише клітинки, що дотикаються по діагоналі, мали однаковий колір. Для яких розмірів сітки m×nm \times n (з m,n≥3m, n \ge 3) існує допустиме розфарбування?
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-035

Мінімальна кількість задач із попарним перетином

Математичний конкурс проводиться на 88 різних рівнях складності. Оргкомітет має підготувати по 55 задач для кожного рівня. Одна й та сама задача може використовуватися для більш ніж одного рівня, але будь-які два рівні можуть мати не більше однієї спільної задачі. Якої найменшої кількості задач достатньо організаторам?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-036

Поширення новини в групі з n людей

У групі з nn людей кожен має принаймні kk друзів. Щодня кожен член групи ділиться з усіма своїми друзями всіма новинами, які він отримав у попередні дні. Припустимо, що якщо деяку інформацію повідомити будь-якому членові групи, то через певну кількість днів усі члени зрештою дізнаються цю новину. Доведіть, що насправді всі члени дізнаються новину не пізніше ніж через 3n/k3n/k днів.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-009

Періодичність останньої цифри рекурентної послідовності

Послідовність натуральних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots така, що an+1a_{n+1} є останньою цифрою числа an+an−1a_n + a_{n-1} для всіх n>2n > 2. Чи завжди знайдеться таке n0n_0, що послідовність an0,an0+1,an0+2,…a_{n_0}, a_{n_0+1}, a_{n_0+2}, \ldots є періодичною?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-037

Велика підмножина, що уникає всіх вечерь

У місті живе 20112011 людей. Протягом деякого часу щодня група з принаймні 44 людей ходила до ресторану вечеряти. Жодна група з 33 людей не ходила разом більше ніж на одну вечерю. Доведіть, що існує група з 2424 людей така, що на кожній вечері був присутній хтось, хто не належить до цієї групи.
10–11 класиКомбінації
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-038

Гра з відніманням і діленням

Двоє гравців грають у таку гру з натуральними числами. Початкове число — 201120112011^{2011}. Кожен хід полягає у відніманні цілого числа від 11 до 20102010 включно або в діленні на 20112011 з округленням униз, якщо потрібно. Гравець, який отримає недодатне ціле число, перемагає. Хто переможе в цій грі: перший гравець чи другий?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-039

Роздачі карт без карт власного кольору

Колода складається з 3n3n карт: по nn карт червоного, зеленого та синього кольорів з номіналами від 11 до nn. Ми вибираємо підмножину SS номіналів і роздаємо всі карти вибраних номіналів у три руки однакового розміру гравцям, яких названо червоним, зеленим і синім, так, щоб жоден гравець не отримав карту свого кольору. Доведіть, що кількість роздач, для яких номінали, що з’являються в руці червоного гравця, — це 1,2,…,k1, 2, \dots, k, дорівнює (nk)(2kk)\binom{n}{k}\binom{2k}{k}. (Тобто вона не залежить від розміру SS.)
10–11 класиКомбінації
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-002

Млин і кожна точка центром безліч разів

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, яка складається принаймні з двох точок. Відомо, що жодні три точки множини SS не лежать на одній прямій. Млином назвемо такий процес. Спочатку вибираємо пряму ll, на якій лежить рівно одна точка P∈SP \in S. Пряма ll обертається за годинниковою стрілкою навколо центра PP, доки вона не пройде через іншу точку QQ множини SS. У цей момент точка QQ стає новим центром, і пряма продовжує обертатись за рухом годинникової стрілки навколо точки QQ, доки вона знову не пройде через точку множини SS. Цей процес триває нескінченно, при цьому кожного разу центром стає чергова точка з множини SS. Доведіть, що можна вибрати точку PP множини SS та деяку пряму ll, що проходить через PP, так, що для млина, який починатиметься з прямої ll, кожна точка множини SS буде центром безліч разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-004

Степені двійки на шальках терезів без переваги справа

Задано натуральне число nn. Маємо шалькові терези та nn гир, ваги яких дорівнюють 20,21,…,2n−12^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}. Усі гирі послідовно викладають на терези за nn кроків. На першому кроці вибирають довільну гирю та викладають її на ліву шальку терезів. На кожному наступному кроці вибирають одну з гир, що залишились, і додають або на ліву, або на праву шальку терезів. Знайдіть кількість способів виконати ці nn кроків таким чином, щоби права шалька терезів жодного разу не переважила ліву.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-001

Сума степенів дорівнює зсунутому степеню

Знайдіть усі послідовності (x1,x2,…,x2011)\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2011}\right) натуральних чисел таких, що для кожного натурального числа nn існує ціле число aa, для якого x1n+2x2n+⋯+2011x2011n=an+1+1.x_{1}^{n}+2 x_{2}^{n}+\cdots+2011 x_{2011}^{n}=a^{n+1}+1 .
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-006

Мурахи на дошці з правилами зіткнень

Нехай mm — натуральне число. Розглянемо шахівницю, що складається з mm на mm одиничних квадратиків. У серединах деяких із цих одиничних квадратиків є мураха. У момент часу 0 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 1 паралельно до деякої сторони шахівниці. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, вони обидві повертають на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися зі швидкістю 1. Коли зустрічаються більше ніж дві мурахи або коли зустрічаються дві мурахи, що рухаються у перпендикулярних напрямках, мурахи продовжують рухатися в тому самому напрямку, що й до зустрічі. Коли мураха досягає одного з країв шахівниці, вона падає з неї і більше не з'являється. Розглядаючи всі можливі початкові положення, визначте найпізніший можливий момент, у який остання мураха падає з шахівниці, або доведіть, що такий момент не обов'язково існує.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-007

Всюдисущі слова в періодичній послідовності

Нехай nn — натуральне число, а W=…x−1x0x1x2…W = \ldots x_{-1} x_{0} x_{1} x_{2} \ldots — нескінченне періодичне слово з літер aa і bb. Припустимо, що мінімальний період NN слова WW більший за 2n2^{n}. Скінченне непорожнє слово UU зустрічається в WW, якщо існують індекси k≤ℓk \leq \ell такі, що U=xkxk+1…xℓU = x_{k} x_{k+1} \ldots x_{\ell}. Скінченне слово UU називається всюдисущим, якщо всі чотири слова UaU a, UbU b, aUa U і bUb U зустрічаються в WW. Доведіть, що існує принаймні nn всюдисущих скінченних непорожніх слів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-008

Найбільше однорідне перекриття при покритті сітки

На квадратній дошці з 20112011 на 20112011 клітинок розміщено скінченну кількість серветок, кожна з яких покриває квадрат 5252 на 5252 клітинок. У кожну клітинку записуємо кількість серветок, що її покривають, і фіксуємо максимальну кількість kk клітинок, які містять одне й те саме ненульове число. Серед усіх можливих розташувань серветок знайдіть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-006

Найбільша гарантована різниця сусідніх чисел таблиці

У комірки квадратної таблиці 2011×20112011 \times 2011 деяким чином записують натуральні числа від 11 до 201122011^2 (по одному в комірку), причому кожне число використовують рівно по разу. Знайдіть найбільше натуральне число MM, для якого незалежно від розташування чисел обов'язково знайдуться дві сусідні комірки з різницею записаних у них чисел, не меншою від MM. При цьому ми вважаємо, що верхній рядок таблиці межує з нижнім, а лівий — із правим, тобто комірки з координатами (x,y)(x, y) та (x′,y′)(x', y') є сусідніми тоді й лише тоді, коли x=x′x = x' та y−y′≡±1(mod2011)y - y' \equiv \pm 1 \pmod{2011} або y=y′y = y' та x−x′≡±1(mod2011)x - x' \equiv \pm 1 \pmod{2011}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-005

n різних точок на площині з однаковими відстанями

Для кожного значення n⩾3n \geqslant 3 знайдіть усі можливі розташування на площині nn різних точок X1X_1, X2X_2, …\ldots, XnX_n, що задовольняють таку умову: для довільної пари різних точок XiX_i, XjX_j існує така перестановка σ\sigma чисел 1,2,…,n1, 2, \ldots, n, що для всіх kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, рівними є відстані XiXk=XjXσ(k)X_iX_k = X_jX_{\sigma(k)}.
10–11 класиВекторний метод
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-027

Множини, що взаємно пронизують одна одну на площині

З'ясуйте, чи існують дві неперетинні нескінченні множини AA і BB на площині, що задовольняють такі умови: (i) Жодні три точки з A∪BA \cup B не колінеарні, а відстань між будь-якою парою точок з A∪BA \cup B становить принаймні 11. (ii) Є точка з AA у будь-якому трикутнику з вершинами з BB, і є точка з BB у кожному трикутнику з вершинами з AA.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-004

Сума попарних добутків проти циклічної суми

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує додатне дійсне число CC таке, що ∑1≤i<j≤nxixj≤C(x1x2+⋯+xn−1xn+xnx1)\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j \le C (x_1 x_2 + \dots + x_{n-1} x_n + x_n x_1) для всіх додатних дійсних чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-028

Стовпці з парною кількістю фішок у кожному рядку

На прямокутній дошці з nn рядками та n+1n+1 стовпцями розміщено кілька фішок. Доведіть, що завжди можна вибрати один або кілька стовпців так, щоб у кожному рядку цих стовпців була парна кількість фішок.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-031

Розбиття на підмножини із сумою

Числа від 11 до 20102010 розбито на три підмножини AA, BB і CC, кожна з яких містить рівно 670670 елементів. Доведіть, що існують три числа, по одному з кожної множини, такі, що одне з них є сумою двох інших.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-029

Подільність сум у підблоках шахової дошки

Клітинки дошки 8×88 \times 8 пронумеровано числами 1,2,…,641, 2, \ldots, 64 так, що сума чотирьох чисел у кожній її частині одного з видів ділиться на те саме ціле число NN. Для яких із цілих чисел 33, 44, 55 це можливо?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-030

Гамільтонові цикли з рівними вагами ребер

У країні є кілька міст; одне з них — столиця. Між будь-якими двома містами є прямий рейс, причому будь-який рейс, що сполучає два дані міста, має ту саму ціну (в обох напрямках). Припустимо, що всі подорожі, які починаються й закінчуються в тому самому місті та проходять через кожне інше місто рівно один раз, мають однакову сумарну вартість. Доведіть, що всі подорожі, які починаються й закінчуються в тому самому місті, оминають столицю й проходять через кожне з решти міст рівно один раз, мають однакову сумарну вартість.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-033

Найменша кількість чорних трикутників у тріангуляції

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Розглянемо всі розбиття опуклого nn-кутника на трикутники за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не мають спільних точок усередині многокутника, та всі розфарбування трикутників у чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною завжди були різного кольору. Знайдіть найменшу можливу кількість чорних трикутників.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-034

Незалежна множина у графі обміну капелюхами

У групі з 3030 людей кожен спочатку мав капелюх. Одного дня кожен учасник відправив свій капелюх іншому учаснику (один учасник міг отримати більше одного капелюха). Доведіть, що існує підгрупа з 1010 людей така, що жоден учасник цієї підгрупи не отримав капелюха від іншого учасника цієї підгрупи.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.