Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-017

Вписаний чотирикутник із діаметром

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло з діаметром AD‾\overline{AD}. Якщо AB=5AB=5, AC=6AC=6 і BD=7BD=7, знайдіть довжину відрізка CDCD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-018

Найкоротший шлях до прямих і точки

Зловісна Ліга Зла планує отруїти водопостачання міста. Вони планують вирушити зі свого штабу в точці (5,1)(5,1) і підсипати отруту у дві труби: одну вздовж прямої y=xy=x, а іншу — вздовж прямої x=7x=7. Проте їм треба впоратися швидко, поки їх не спіймав Капітан Молот. Яка найкоротша відстань, яку вони можуть пройти, щоб відвідати обидві труби, а потім повернутися до штабу?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-123

Перетин у описаному колі трикутника

Трикутник ABCA B C має сторони AB=14A B=14, BC=13B C=13 і CA=15C A=15. Він вписаний у коло Γ\Gamma з центром OO. Нехай MM — середина сторони ABA B, нехай B′B^{\prime} — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна BB, а XX — точка перетину прямих AOA O і MB′M B^{\prime}. Знайдіть довжину AXA X.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-103

Площа трапеції на хорді параболи через фокус

Нехай P\mathcal{P} — парабола з фокусом FF і директрисою ℓ\ell. Пряма, що проходить через FF, перетинає P\mathcal{P} у двох точках AA і BB. Нехай DD і CC — основи перпендикулярів, опущених із AA і BB на пряму ℓ\ell відповідно. Відомо, що AB=20A B=20 і CD=14C D=14. Обчисліть площу чотирикутника ABCDA B C D.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-095

Діагоналі однакової довжини в опуклому шестикутнику

Знайдіть найбільшу можливу кількість діагоналей однакової довжини в опуклому шестикутнику.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-096

Точка на стороні з умовами паралельності й перпендикулярності

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, у якому AB=4AB = 4, AC=5AC = 5 і BC=6BC = 6. Нехай DD — основа висоти з AA на BCBC, а EE — точка перетину прямої AOAO зі стороною BCBC. Припустімо, що XX лежить на BCBC між DD і EE так, що існує точка YY на ADAD, для якої XY∥AOXY \parallel AO і YO⊥AXYO \perp AX. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-097

Випадкова точка в правильному шестикутнику

Нехай H\mathcal{H} — правильний шестикутник зі стороною один. Петро вибирає точку PP рівномірно навмання всередині шестикутника H\mathcal{H}, а потім проводить найбільше коло з центром PP, що міститься в шестикутнику H\mathcal{H}. Яка ймовірність того, що радіус цього кола менший за 12\frac{1}{2}?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-124

Трикутник з дотичним описаним колом

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=6AB=6, BC=10BC=10 і CA=8CA=8. Нехай MM і NN — середини сторін BABA і BCBC відповідно. Точку YY вибрано на промені CMCM так, щоб описане коло трикутника AMYAMY дотикалося до прямої ANAN. Знайдіть площу трикутника NAYNAY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-022

Найбільший куб у півкулі

Обчисліть довжину ребра найбільшого куба, що міститься в області {(x,y,z):x2+y2+z2≤25 і x≥0}\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25 \text{ і } x \geq 0\right\} тривимірного простору.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-115

Комплексні змінні із симетричною сумою

Для комплексних чисел aa, bb і cc, які задовольняють a2+ab+b2=1+ib2+bc+c2=−2c2+ca+a2=1,\begin{aligned} a^{2}+a b+b^{2} & =1+i \\ b^{2}+b c+c^{2} & =-2 \\ c^{2}+c a+a^{2} & =1, \end{aligned} обчисліть (ab+bc+ca)2(a b+b c+c a)^{2}. (Тут i=−1i=\sqrt{-1}.)
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-125

Ортогональні кола із заданим дотиком

Два кола називають ортогональними, якщо вони перетинаються у двох точках, а їхні дотичні в будь-якій точці перетину перпендикулярні. Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з радіусами 1010 і 1313 відповідно зовнішньо дотикаються в точці PP. Інше коло ω3\omega_{3} з радіусом 222 \sqrt{2} проходить через PP і є ортогональним до обох кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Четверте коло ω4\omega_{4}, ортогональне до кола ω3\omega_{3}, зовнішньо дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Обчисліть радіус кола ω4\omega_{4}.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-105

Хорди парабол у рівносторонньому трикутнику

У рівносторонньому трикутнику ABCABC зі стороною 22 парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_{1} і A2A_{2} відповідно. Аналогічно парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_{1} і B2B_{2} відповідно. Нарешті, парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_{1} і C2C_{2} відповідно. Знайдіть периметр трикутника, утвореного прямими A1A2A_{1}A_{2}, B1B2B_{1}B_{2}, C1C2C_{1}C_{2}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-106

Парабола і дійсні частини степенів комплексного числа

Нехай zz — комплексне число, а kk — натуральне число, такі, що zkz^{k} — додатне дійсне число, відмінне від 11. Нехай f(n)f(n) позначає дійсну частину комплексного числа znz^{n}. Припустимо, що парабола p(n)=an2+bn+cp(n) = a n^{2} + b n + c перетинає f(n)f(n) чотири рази, при n=0,1,2,3n = 0, 1, 2, 3. За найменшого можливого значення kk знайдіть найбільше можливе значення aa.
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-126

Коло, дотичне до описаного кола у вершині

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — його центр, а MM — середина меншої дуги BC^\widehat{BC}. Коло ω1\omega_1 дотикається до кола Γ\Gamma внутрішнім чином у точці AA, а коло ω2\omega_2 з центром у точці MM дотикається до кола ω1\omega_1 зовнішнім чином у точці TT. Промінь ATAT перетинає відрізок BCBC у точці SS, причому BS−CS=4/15BS - CS = 4/15. Знайдіть радіус кола ω2\omega_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-024

Коло, що містить рівнобедрений трикутник

Нехай ABCABC — трикутник з CA=CB=5CA = CB = 5 і AB=8AB = 8. Коло ω\omega проведено так, що внутрішність трикутника ABCABC повністю міститься всередині кола ω\omega. Знайдіть найменшу можливу площу круга, обмеженого колом ω\omega.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-101

Шестикутник з паралельними сторонами й відношеннями площ

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник з такими властивостями. a. AC‾\overline{A C} та AE‾\overline{A E} ділять ∠BAF\angle B A F на три рівні частини. b. BE‾∥CD‾\overline{B E} \parallel \overline{C D} і CF‾∥DE‾\overline{C F} \parallel \overline{D E}. c. AB=2AC=4AE=8AFA B = 2 A C = 4 A E = 8 A F. Припустімо, що чотирикутники ACDEA C D E і ADEFA D E F мають площу 20142014 і 14001400 відповідно. Знайдіть площу чотирикутника ABCDA B C D.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-030

Рівнобедрений трикутник з проєкціями середини

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC=2514BCAB = AC = \frac{25}{14} BC. Нехай MM — середина сторони BC‾\overline{BC}, а XX та YY — проєкції MM на сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} відповідно. Якщо площі трикутника ABCABC та чотирикутника AXMYAXMY є натуральними числами, знайдіть найменшу можливу суму цих площ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-032

Трапеція з подібними підтрикутниками

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій AB∥CDAB \parallel CD і ∠D=90∘\angle D = 90^{\circ}. Припустимо, що на стороні CDCD існує точка EE така, що AE=BEAE = BE, а трикутники AEDAED і CEBCEB подібні, але не рівні. Якщо CDAB=2014\frac{CD}{AB} = 2014, знайдіть відношення BCAD\frac{BC}{AD}.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-033

Точки повороту в правильному п’ятикутнику

Дано правильний п’ятикутник площею 11. Поворотною прямою називатимемо пряму, яка не проходить через жодну з вершин п’ятикутника, таку, що з одного боку від прямої лежать 33 вершини п’ятикутника, а з іншого — 22. Точкою повороту називатимемо точку всередині п’ятикутника, через яку проходить лише скінченна кількість неповоротних прямих. Знайдіть площу області точок повороту.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-038

Радіус напівзовнівписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=AC=5AB = AC = 5 і BC=6BC = 6. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника ABCABC. Проведемо коло Ω\Omega, яке зовні дотикається до кола ω\omega, а також до прямих ABAB і ACAC (таке коло називається AA-напівзовнівписаним колом). Знайдіть радіус кола Ω\Omega.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-041

Перетини бісектрис кутів трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій AB∥CDAB \parallel CD. Бісектриси кутів ∠CDA\angle CDA і ∠DAB\angle DAB перетинаються в точці EE, бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠BCD\angle BCD перетинаються в точці FF, бісектриси кутів ∠BCD\angle BCD і ∠CDA\angle CDA перетинаються в точці GG, а бісектриси кутів ∠DAB\angle DAB і ∠ABC\angle ABC перетинаються в точці HH. Чотирикутники EABFEABF і EDCFEDCF мають площі 2424 і 3636 відповідно, а трикутник ABHABH має площу 2525. Знайдіть площу трикутника CDGCDG.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-046

Вписаний чотирикутник із перетином дотичної

Нехай ω\omega — коло, а ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло ω\omega. Припустимо, що BDBD і ACAC перетинаються в точці EE. Дотична до кола ω\omega в точці BB перетинає пряму ACAC в точці FF, причому CC лежить між EE і FF. Відомо, що AE=6AE = 6, EC=4EC = 4, BE=2BE = 2 і BF=12BF = 12. Знайдіть довжину відрізка DADA.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-051

Косинус кута при рівнобедрених прямокутних добудовах

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник ACDACD з ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}, причому DD, BB лежать по один бік від прямої ACAC, а прямі ADAD і CBCB перетинаються в точці FF. Аналогічно побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник BCEBCE з ∠BEC=90∘\angle BEC = 90^{\circ}, причому EE, AA лежать по один бік від прямої BCBC, а прямі BEBE і CACA перетинаються в точці GG. Знайдіть cos⁡∠AGF\cos \angle AGF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-053

Шестикутник з хорд через точки трисекції трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 66, вписаний у коло ω\omega. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки (відмінні від AA), в яких прямі через AA, що проходять через дві точки поділу сторони BCBC на три рівні частини, перетинають ω\omega. Аналогічно визначимо B1,B2,C1,C2B_1, B_2, C_1, C_2. Відомо, що A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 розташовані на колі ω\omega саме в такому порядку. Знайдіть площу шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-057

Трикутник з перетинів парабол

Нехай у трикутнику ABCABC парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Аналогічно, нехай парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Нарешті, нехай парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_1 і C2C_2 відповідно. Якщо трикутник ABCABC має сторони завдовжки 55, 1212 і 1313, знайдіть площу трикутника, утвореного прямими A1C2A_1C_2, B1A2B_1A_2 і C1B2C_1B_2.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.