Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Відбіркові тести на IMOTST-2023-032

Скінченна різниця, що збігається з самою функцією на циклічній групі

Нехай pp — фіксоване просте число, а a≥2a \ge 2 і e≥1e \ge 1 — фіксовані цілі числа. Для функції f:Z/aZ→Z/peZf: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} та цілого числа k≥0k \ge 0 kk-ту скінченну різницю, позначену Δkf\Delta^k f, означено як функцію з Z/aZ\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} до Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}, задану рекурсивно як Δ0f(n)=f(n)Δkf(n)=Δk−1f(n+1)−Δk−1f(n)при k=1,2,…\begin{aligned} \Delta^0 f(n) &= f(n) \\ \Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{при } k = 1, 2, \dots \end{aligned} Визначте кількість функцій ff таких, що існує деяке k≥1k \ge 1, для якого Δkf=f\Delta^k f = f.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-007

Заповнення таблиці 4 на 4 із сумами, кратними трьом

Марина заповнює клітинки сітки 4×44 \times 4, записуючи в кожну число 11, число 22 або число 33. Скільки існує способів заповнити сітку так, щоб сума кожного рядка і сума кожного стовпця ділилися на 33? (A) 38−13^{8}-1 (B) 383^{8} (C) 2⋅382 \cdot 3^{8} (D) 393^{9} (E) Жодна з попередніх
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-009

Дільники чисел виду 100…001

Розглянемо число N=1000…0001N=1000\ldots 0001, яке складається з цифри один, за якою йдуть 2023 нулі, за якими своєю чергою йде цифра один. Скільки існує власних дільників числа NN (тобто дільників, більших за 1 і менших за NN), які також записуються як цифра 1, за якою йде деяка додатна кількість нулів, за якими своєю чергою йде цифра 1? (A) 3 (B) 5 (C) 12 (D) 14 (E) 16
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-010

Простота виразу зі степенями

Рівно для чотирьох цілих значень nn від 1 до 10 включно вираз n9+3n+1n6+33nn^{9}+3^{n+1} n^{6}+3^{3 n} є простим числом. Чому дорівнює сума цих чотирьох значень nn? (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 22 (E) 25
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-012

Рекурентна послідовність із сумою цифр

Послідовність ana_{n} побудовано в такий спосіб: a1,a2a_{1}, a_{2} — натуральні числа від 1 до 9 включно; для n≥3n \geq 3, якщо сума an−1a_{n-1} і an−2a_{n-2} складається з однієї цифри, то ця сума є значенням ana_{n}; якщо ж an−1+an−2a_{n-1}+a_{n-2} має більше однієї цифри, то значенням ana_{n} буде сума цифр цього числа (наприклад, якщо a4=7a_{4}=7 і a5=8a_{5}=8, то a6=6a_{6}=6, оскільки 7+8=157+8=15 і 1+5=61+5=6). Скільки існує пар (a1,a2)\left(a_{1}, a_{2}\right), для яких a2023=9a_{2023}=9? (A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) 27 (E) 81
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-018

Лицарі та брехуни в шерензі

На острові 2023 людини стоять одна за одною, кожна з яких — брехун або лицар: лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть. Якщо ii непарне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів щонайменше ii»; якщо ii парне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів рівно ii». Скільки брехунів?
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-002

Паліндромні числа у послідовних основах

Натуральне число nn називається двічі зворотним типу ℓ\ell, якщо існують дві послідовні основи bb і b+1b+1 такі, що запис числа nn є ℓ\ell-цифровим паліндромом як у системі числення з основою bb, так і в системі з основою b+1b+1. Наприклад, 104 є двічі зворотним типу 3, оскільки 10410=4045=2526104_{10}=404_{5}=252_{6}. a. Доведіть, що не існує двічі зворотних чисел типу 2. b. Доведіть, що існує нескінченно багато двічі зворотних чисел типу 3.
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-001

Зсунуті й масштабовані квадрати

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що 10+n10 + n і 10n10n — обидва повні квадрати.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-015

Послідовність, що рахує свої члени

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел {an}n≥1\{a_n\}_{n \ge 1} такі, що для довільного натурального числа nn виконується така умова: Існує рівно ana_n натуральних чисел ii, для яких ai≤an+1+ca_i \le a_{n+1} + c.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-016

Дільники і функція Ейлера в цілих відношеннях

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що ϕ(n)d(n)+1n\frac{\phi(n)^{d(n)} + 1}{n} є цілим числом, а nϕ(n)−1d(n)5\frac{n^{\phi(n)} - 1}{d(n)^5} — ні. Тут ϕ(n)\phi(n) позначає кількість цілих чисел у множині {1,…,n}\{1, \dots, n\}, взаємно простих із nn, а d(n)d(n) позначає кількість додатних дільників числа nn.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-005

Різні числа в масштабованій арифметичній прогресії

Нехай a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 — різні натуральні числа. Знайдіть найменше можливе значення ∣a7−a1∣|a_7 - a_1| за умови, що послідовність a1,2a2,3a3,4a4,5a5,6a6,7a7a_1, 2a_2, 3a_3, 4a_4, 5a_5, 6a_6, 7a_7 є арифметичною прогресією. Послідовність x1,x2,…,x7x_1, x_2, \dots, x_7 називається арифметичною прогресією, якщо x2−x1=x3−x2=⋯=x7−x6x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \dots = x_7 - x_6.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-007

Цілочислові розв'язки симетричного дробу

Нехай aa, bb та cc — натуральні числа, що задовольняють (ab−1)(ac−1)bc=2023,іb≤c.\frac{(ab-1)(ac-1)}{bc} = 2023, \quad \text{і} \quad b \le c. Знайдіть усі можливі значення cc.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-011

Гра зі стиранням чисел зі спільними дільниками

Аліса та Боб грають у гру на дошці. Спочатку на дошці написано по одному разу кожне з 2,3,…,502, 3, \dots, 50. Також задано непорожню підмножину SS множини {2,3,…,50}\{2, 3, \dots, 50\}. Першим ходом Аліса стирає з дошки всі елементи множини SS. Після цього обидва гравці, починаючи з Боба, по черзі стирають з дошки одне або більше цілих чисел. Проте вони не можуть стирати цілі числа, які взаємно прості з усіма цілими числами, стертими суперником на попередньому ході. Гра закінчується, коли гравець на початку свого ходу не має цілих чисел, які він може стерти, внаслідок чого цей гравець програє, а інший гравець виграє. Скільки існує множин SS таких, що Аліса завжди може виграти, незалежно від дій Боба?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj такі, що 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-008

Квадратний многочлен, кратний простому числу для всіх значень

Нехай pp — просте число, а f(x)=ax2+bx+cf(x) = a x^{2} + b x + c — многочлен другого степеня з цілими коефіцієнтами такий, що 0<a,b,c≤p0 < a, b, c \leq p. Припустимо, що f(x)f(x) ділиться на pp для кожного натурального xx. Знайдіть усі можливі значення a+b+ca + b + c.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-010

Дільники, сума яких дорівнює половині числа

Знайдіть усі трійки (a,b,n)(a, b, n) натуральних чисел такі, що aa і bb — дільники числа nn, а a+b=n2a + b = \frac{n}{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-012

Максимальна система трійок з обмеженими перетинами

Нехай n,mn, m — натуральні числа. Нехай A1,A2,A3,…,AmA_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{m} — множини такі, що Ai⊆{1,2,3,…,n}A_{i} \subseteq \{1,2,3,\ldots, n\} і ∣Ai∣=3|A_{i}| = 3 для всіх ii (тобто AiA_{i} складається з трьох різних натуральних чисел, кожне з яких не перевищує nn). Припустимо, що для всіх i<ji < j виконується ∣Ai∩Aj∣⩽1|A_{i} \cap A_{j}| \leqslant 1 (тобто AiA_{i} і AjA_{j} мають не більше одного спільного елемента). a. Доведіть, що m⩽n(n−1)6m \leqslant \frac{n(n - 1)}{6}. b. Покажіть, що для всіх n≥3n \geq 3 можна досягти m⩾(n−1)(n−2)6m \geqslant \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-005

Цілі значення виразу з простими числами

Знайдіть усі цілі значення, яких може набувати вираз pq+pp+qqp+q\frac{p q + p^{p} + q^{q}}{p + q} де pp і qq — прості числа.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-011

Сума степенів простого числа

Знайдіть усі трійки (a,b,p)(a, b, p) натуральних чисел, де pp — просте число, для яких виконується рівняння (a+b)p=pa+pb(a+b)^{p} = p^{a} + p^{b}
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-010

Прямокутні розбиття непарного квадрата

Нехай nn — натуральне число. Рожер має квадратний сад розміру (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він зводить паркани, щоб поділити його на прямокутні грядки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні грядки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні грядки 1×k1 \times k для кожного парного числа kk між 1 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну грядку розміру 1×11 \times 1, коли завершить. Скількома різними способами Рожер може поділити свій сад?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-017

НСД членів рекурентної послідовності

Нехай xx, yy та a0a_{0}, a1a_{1}, a2a_{2}, …\ldots — цілі числа, що задовольняють умови a0=a1=0a_{0}=a_{1}=0 і an+2=x⋅an+1+y⋅an+1a_{n+2}=x \cdot a_{n+1}+y \cdot a_{n}+1 для всіх цілих n≥0n \geq 0. Нехай pp — довільне просте число. Доведіть, що НСД(ap,ap+1)\text{НСД}\left(a_{p}, a_{p+1}\right) або дорівнює 11, або більше за p\sqrt{p}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-003

Кількість пар для рівняння i·wʳ = zˢ

Нехай w=3+i2w = \frac{\sqrt{3}+i}{2} і z=−1+i32z = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, де i=−1i = \sqrt{-1}. Знайдіть кількість впорядкованих пар (r,s)(r, s) натуральних чисел, що не перевищують 100100, які задовольняють рівняння i⋅wr=zsi \cdot w^r = z^s.
10–11 класиКомплексні числа
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-007

Мінімізація відношення добутків різних цифр

Нехай aa, bb, cc, dd, ee, ff, gg, hh, ii — різні цілі числа від 11 до 99. Найменше можливе додатне значення виразу a⋅b⋅c−d⋅e⋅fg⋅h⋅i\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i} можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-002

Суми кількості дільників непарних і парних чисел

Нехай d(k)d(k) позначає кількість додатних цілих дільників числа kk. Наприклад, d(6)=4d(6)=4, оскільки 66 має 44 додатні дільники, а саме 1,2,31, 2, 3 і 66. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn d(1)+d(3)+d(5)+⋯+d(2n−1)≤d(2)+d(4)+d(6)+⋯+d(2n)d(1)+d(3)+d(5)+\cdots+d(2n-1) \leq d(2)+d(4)+d(6)+\cdots+d(2n)
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.