Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-011

Колінеарність перетинів прямих із точками на діагоналях квадрата

Нехай OO — точка перетину двох діагоналей квадрата ABCDABCD. Точки P,Q,R,SP, Q, R, S лежать на відрізках OA,OB,OC,ODOA, OB, OC, OD відповідно, причому OP=3OP = 3, OQ=5OQ = 5, OR=4OR = 4. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY. Якщо точка перетину прямих ABAB і PQPQ, точка перетину прямих BCBC і QRQR та точка перетину прямих CDCD і RSRS лежать на одній прямій, чому дорівнює довжина відрізка OSOS?
10–11 класиТеорема Менелая
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2014-001

Паралельна хорда у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1}, k2k_{2} з центрами M1M_{1} та M2M_{2} відповідно перетинаються в точках AA і BB. Дотична до кола k1k_{1} в точці AA перетинає k2k_{2} ще раз у точці PP. Крім того, пряма M1BM_{1} B також перетинає k2k_{2} ще раз у точці QQ. Припустимо, що QQ лежить поза колом k1k_{1} і що P≠QP \neq Q. Доведіть, що пряма PQPQ паралельна прямій M1M2M_{1} M_{2}.
10–11 класиДотична кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-003

Описані кола перетинаються на стороні трикутника

Нехай GG — точка перетину медіан прямокутного трикутника ABCABC, у якому ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ. Нехай PP — точка на промені AGAG така, що ∠CPA=∠CAB\angle CPA = \angle CAB, а QQ — точка на промені BGBG така, що ∠CQB=∠ABC\angle CQB = \angle ABC. Доведіть, що описані кола трикутників AQGAQG і BPGBPG перетинаються в точці на стороні ABAB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-004

Сума виразів з мінімумом і параметром

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)f_j(r) і gj(r)g_j(r) як fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_j(r) = \min(jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_j(r) = \min(\lceil jr \rceil, n) + \min\left(\left\lceil \frac{j}{r} \right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_j(r) \le n^2 + n \le \sum_{j=1}^{n} g_j(r) для всіх додатних дійсних чисел rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-006

Симетрична пряма, дотична до описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Нехай точка PP на стороні ABAB така, що ∠BOP=∠ABC\angle BOP = \angle ABC, а точка QQ на стороні ACAC така, що ∠COQ=∠ACB\angle COQ = \angle ACB. Доведіть, що пряма, симетрична прямій BCBC відносно прямої PQPQ, дотикається до описаного кола трикутника APQAPQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-002

Рівнокутний шестикутник та суми протилежних сторін

Розглянемо шестикутники, у яких усі внутрішні кути рівні. (i) Доведіть, що для будь-якого такого шестикутника сума довжин будь-яких двох сусідніх сторін дорівнює сумі довжин протилежних їм сторін. (ii) Чи існує такий шестикутник зі сторонами 1, 2, 3, 4, 5 і 6 у деякому порядку?
9 класКути багатокутника. Зовнішні кути3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-007

Рівнобедрена трапеція за відношенням діагоналей

Основи трапеції ABCDABCD — це ABAB і CDCD, а точка перетину її діагоналей — PP. Доведіть, що якщо ∣PA∣∣PD∣=∣PB∣∣PC∣\frac{|PA|}{|PD|} = \frac{|PB|}{|PC|}, то трапеція є рівнобедреною.
10 класОзнаки подібності2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-011

Точка на описаному колі з перетину висоти й бісектриси

У гострокутному трикутнику ABCABC висота, проведена з вершини BB, і бісектриса, проведена з вершини CC, перетинаються в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична точці DD відносно прямої ACAC. Точки AA, BB, CC і EE лежать на одному колі. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-014

Колінеарність із перетину описаних кіл

На площині задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, для якого ∠DAB+∠ABC<180∘\angle DAB + \angle ABC < 180^\circ. Нехай EE — відмінна від вершин чотирикутника точка на відрізку ABAB така, що описані кола трикутників AEDAED і BECBEC перетинаються всередині чотирикутника ABCDABCD у точці FF. Точку GG визначено так, що ∠DCG=∠DAB\angle DCG = \angle DAB, ∠CDG=∠ABC\angle CDG = \angle ABC, а трикутник CDGCDG розташований зовні чотирикутника ABCDABCD. Доведіть, що точки EE, FF, GG лежать на одній прямій.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-017

Розбиття правильного многокутника на правильні многокутники

Для яких натуральних чисел n≥3n \ge 3 можна розрізати правильний nn-кутник на менші частини, що мають форму правильних многокутників? (Частини можуть мати різну кількість сторін.)
11 класРозрізання, покриття та замощення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-018

Ромб із двома рівносторонніми трикутниками

Малле накреслила ромб ABCDABCD і вибрала точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Малле дуже здивувалася, коли виявила, що існує інша можливість вибрати точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Якими можуть бути величини кутів цього ромба? Рисунок 17
11 класПоворот2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-022

Зовні дотичні кола з центрами в серединах сторін

Середини сторін C2C3C_2C_3, C3C1C_3C_1 і C1C2C_1C_2 трикутника C1C2C3C_1C_2C_3 — це K1K_1, K2K_2 і K3K_3 відповідно. Центри кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 — це C1C_1, C2C_2 і C3C_3 відповідно, а центри кіл k1k_1, k2k_2, k3k_3 — це K1K_1, K2K_2, K3K_3 відповідно. Жодні два з даних шести кіл не перетинаються у двох точках і не містяться одне в одному. Кола k1k_1, k2k_2 і k3k_3 попарно дотикаються зовні. i) Доведіть, що сума радіусів кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 не перевищує чверті периметра трикутника C1C2C3C_1C_2C_3. ii) Доведіть, що якщо сума радіусів кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 дорівнює чверті периметра трикутника C1C2C3C_1C_2C_3, то трикутник C1C2C3C_1C_2C_3 рівносторонній.
11 класКола, що дотикаються
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-026

Сума радіусів описаних кіл трикутників з інцентром

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай RAR_A, RBR_B і RCR_C — радіуси описаних кіл трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що RA+RB+RC≤3RR_A + R_B + R_C \le 3R.
11 класІнші класичні нерівності
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-005

Точка Мікеля серединного трикутника

У трикутнику ABCABC серединами сторін BCBC, CACA і ABAB є точки DD, EE і FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AEFAEF, BFDBFD і CDECDE всі перетинаються в одній точці.
8–10 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-006

Перетин дотичних кіл, що проходять через центр

Усередині кола cc з центром OO містяться два кола c1c_1 і c2c_2, які проходять через OO і дотикаються до кола cc в точках AA і BB відповідно. Доведіть, що кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку, яка лежить на відрізку ABAB.
8–10 класиКола, що дотикаються
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-010

Трикутник зі співвідношенням кутів і 36°

У різносторонньому трикутнику один кут рівно вдвічі більший за інший, а деякий кут цього трикутника дорівнює 36°36°. Знайдіть усі можливі значення кутів цього трикутника.
8–10 класиСума кутів трикутника. Зовнішні к…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-012

Точка з рівними кутами в рівнобедреному прямокутному трикутнику

У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCABC прямий кут при вершині CC. На стороні ACAC вибрано точки KK, LL, а на стороні BCBC — точки MM, NN так, що вони ділять відповідну сторону на три рівні частини. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC існує рівно одна точка PP така, що ∠KPL=∠MPN=45∘\angle KPL = \angle MPN = 45^\circ.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-017

Вершини паралелограмів на колі

На площині задано шість різних точок AA, BB, CC, DD, EE, FF таких, що ABCDABCD і CDEFCDEF — паралелограми. Яка найбільша кількість цих точок може лежати на одному колі?
8–10 класиМетричні співвідношення в колі
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-024

Три внутрішні кола і відрізки BC, CA, AB

Всередині кола cc містяться кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3, які дотикаються до кола cc у точках AA, BB і CC відповідно, причому всі ці точки різні. Кола c2c_2 і c3c_3 мають спільну точку KK на відрізку BCBC, кола c3c_3 і c1c_1 мають спільну точку LL на відрізку CACA, а кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку MM на відрізку ABAB. Доведіть, що кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3 перетинаються в центрі кола cc.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-025

Інцентр як перетин дотичних кіл

На площині дано трикутник ABCABC. Пряма ACAC дотикається до кола cAc_A в точці CC, а коло cAc_A проходить через точку BB. Пряма BCBC дотикається до кола cBc_B в точці CC, а коло cBc_B проходить через точку AA. Друга точка перетину SS кіл cAc_A і cBc_B збігається з інцентром трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC рівносторонній. Рисунок 5
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-029

Медіана, бісектриса і висота з однією спільною точкою

Кути трикутника дорівнюють 22.5∘22.5^\circ, 45∘45^\circ і 112.5∘112.5^\circ. Доведіть, що всередині цього трикутника існує точка, яка лежить на медіані, проведеній з однієї вершини, на бісектрисі, проведеній з іншої вершини, і на висоті, проведеній з третьої вершини.
10–11 класиТеорема Чеви3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.