Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

683 задачі
ГеометріяАлгебраїчні методи в геометрії
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-010

Перетин хорди і діаметра

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO та радіусом rr, а ℓ\ell — пряма, яка не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через EE точку перетину прямої ℓ\ell з прямою, перпендикулярною до ℓ\ell, що проходить через OO. Нехай MM — точка прямої ℓ\ell, відмінна від EE. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені через MM, дотикаються до кола Γ\Gamma у точках AA і BB. Нарешті, нехай HH — точка перетину прямих ABAB і OEOE. Доведіть, що OH=r2OEOH = \dfrac{r^2}{OE}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-002

Співвідношення довжин на чевіані паралелограма

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Точки XX і YY лежать на відрізках ABAB і ADAD відповідно, а ACAC перетинає XYXY у точці ZZ. Доведіть, що ABAX+ADAY=ACAZ\frac{AB}{AX} + \frac{AD}{AY} = \frac{AC}{AZ}
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-035

Відношення площ трикутників у правильному восьмикутнику

Нехай SS — множина всіх невироджених трикутників, утворених вершинами правильного восьмикутника зі стороною 11. Знайдіть відношення найбільшої площі будь-якого трикутника з множини SS до найменшої площі будь-якого трикутника з множини SS.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-138

Трикутник із серединою відрізка OH на стороні

У трикутнику ABCABC, де AB<ACAB < AC, нехай HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Відомо, що середина відрізка OHOH лежить на стороні BCBC, BC=1BC = 1, а периметр трикутника ABCABC дорівнює 66, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-139

П'ятикутник у паралелепіпеді з рівними сторонами

У прямокутному паралелепіпеді ABCDEFGHA B C D E F G H з довжинами ребер AB=AD=6A B = A D = 6 і AE=49A E = 49 площина проходить через точку AA і перетинає ребра BFB F, FGF G, GHG H, HDH D у точках PP, QQ, RR, SS відповідно. Відомо, що AP=ASA P = A S і PQ=QR=RSP Q = Q R = R S, знайдіть площу п'ятикутника APQRSA P Q R S.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-015

Корені симетричного многочлена на одиничному колі

Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn всі комплексні корені rr многочлена P(x)=(2n)x2n+(2n−1)x2n−1+⋯+(n+1)xn+1+nxn+(n+1)xn−1+⋯+(2n−1)x+2nP(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n лежать на одиничному колі (тобто ∣r∣=1|r|=1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-062

Рівносторонній трикутник на комплексній площині

Комплексні числа a,b,ca, b, c утворюють рівносторонній трикутник зі стороною 1818 на комплексній площині. Якщо ∣a+b+c∣=36|a+b+c|=36, знайдіть ∣bc+ca+ab∣|bc+ca+ab|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-078

Площа проєкції восьмої частини сфери

Розглянемо восьму частину сфери {(x,y,z)∣x,y,z≥0,x2+y2+z2=1}\{(x, y, z) \mid x, y, z \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. Чому дорівнює площа її проєкції на площину x+y+z=1x+y+z=1?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-082

Рівнобедрений трикутник із поділом кута у відношенні два до одного

У рівнобедреному △ABC\triangle ABC, AB=ACAB = AC і PP — точка на стороні BCBC. Якщо ∠BAP=2∠CAP\angle BAP = 2 \angle CAP, BP=3BP = \sqrt{3} і CP=1CP = 1, обчисліть довжину відрізка APAP.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2019-035

Симетричні образи спільної точки чевіан і описане коло

Нехай задано трикутник ABCA B C з описаним колом Ω\Omega та точки A1,B1A_{1}, B_{1} і C1C_{1} на сторонах трикутника BC‾,CA‾\overline{B C}, \overline{C A} і AB‾\overline{A B}, такі, що три прямі AA1,BB1A A_{1}, B B_{1} і CC1C C_{1} мають спільну точку PP. Треба показати, що щонайбільше дві з трьох точок, одержаних відображенням точки PP при центральній симетрії відносно A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1} відповідно, лежать поза колом Ω\Omega.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-011

Інцентр і правильний підтрикутник

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, для якого AB>ACAB > AC, а D,ED, E — точки на сторонах AB,ACAB, AC відповідно, які ділять сторони на дві частини у відношенні 1:81:8. Якщо трикутник DIEDIE є правильним трикутником зі стороною 11, то чому дорівнює довжина ABAB? Тут через XYXY ми також позначаємо довжину відрізка XYXY.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-003

Точки на сторонах трикутника і довжина відрізка CF

У трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать у внутрішності відрізків ABAB і ACAC відповідно, так, що AD=1AD = 1, DB=2DB = 2, BC=4BC = 4, CE=2CE = 2 і EA=3EA = 3. Нехай пряма DEDE перетинає пряму BCBC у точці FF. Знайдіть довжину відрізка CFCF.
10–11 класиМетод координат
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-037

Чотирикутник із трьома кутами по 30°

У чотирикутнику ABCDABCD маємо: ∠DAB=∠ABC=∠BCD=30∘,AB=4 см,BC=23 см\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = 30^\circ, \quad AB = 4\ \text{см}, \quad BC = 2\sqrt{3}\ \text{см} а) Знайдіть величину кута ∠DCA\angle DCA. б) Знайдіть довжину відрізка CDCD. в) Знайдіть площу чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-013

Площа перекриття трикутника і квадрата

Логотип компанії мають створити накладанням рівностороннього трикутника і квадрата, як показано на рисунку. Якщо довжина сторони трикутника дорівнює 12 см12~\text{см} і сторона трикутника перетинає сторону квадрата в її середині, яка різниця між площею перекриття (темною) і сумою площ без перекриття (світлих)?
8–9 класиПлоща трикутника
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-025

Рівносторонній трикутник, складений на сторону

На рисунку нижче ABCABC — рівносторонній паперовий трикутник зі стороною 1 м1\ \text{м}, який зігнули вздовж відрізка EFEF так, що вершина AA опинилася на стороні BCBC, у точці DD на рисунку. Припустимо, що відрізок DFDF перпендикулярний до сторони BCBC. а) Знайдіть кут ∠AED\angle AED. б) Знайдіть довжину відрізка CDCD. в) Знайдіть відношення площ трикутників AEFAEF і ABCABC.
8–9 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-002

Наближення точок опуклої оболонки центроїдами

Розглянемо скінченну множину точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n, що міститься в nn-вимірній одиничній кулі з центром у початку координат, і нехай XX — опукла оболонка множини TT. Доведіть, що для всіх натуральних чисел kk і всіх точок x∈Xx \in X існують точки t1,t2,…,tk∈Tt_1, t_2, \ldots, t_k \in T, не обов’язково різні, такі, що їхній центроїд t1+t2+⋯+tkk\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k} перебуває на евклідовій відстані не більше 1k\frac{1}{\sqrt{k}} від xx. (nn-вимірна одинична куля з центром у початку координат — це множина точок із Rn\mathbb{R}^n, евклідова відстань від яких до початку координат не більша за 1. Опукла оболонка множини точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n — це найменша множина точок XX, що містить TT, така, що кожен відрізок між двома точками з XX повністю лежить всередині XX.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-120

Трикутники із заданими сторонами і кутом

Скільки існує попарно нерівних трикутників, у яких одна сторона має довжину 2020, друга сторона — довжину 1717, а один із кутів дорівнює 60∘60^{\circ}?
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-075

Квадрат із трьома заданими абсцисами вершин

Квадрат у площині xyx y має площу AA, а три його вершини мають координати xx, рівні 22, 00 і 1818 у деякому порядку. Знайдіть суму всіх можливих значень AA.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-088

Відношення на стороні трикутника через висоти та середини

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай D,ED, E і FF — основи висот, проведених з A,BA, B і CC відповідно, а L,ML, M і NN — середини сторін BC,CAB C, C A і ABA B відповідно. Прямі DED E і NLN L перетинаються в точці XX, прямі DFD F і LML M перетинаються в точці YY, а прямі XYX Y і BCB C перетинаються в точці ZZ. Знайдіть відношення ZBZC\frac{Z B}{Z C} через AB,ACA B, A C і BCB C.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-113

Найменше значення косинуса за умов на суми

Нехай α,β\alpha, \beta і γ\gamma — три дійсні числа. Припустімо, що cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ=1sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=1\begin{aligned} \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma & =1 \\ \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma & =1 \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення cos⁡α\cos \alpha.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-108

Добуток відстаней між вписаними многокутниками

Кола ω1\omega_{1} радіуса 11 і ω2\omega_{2} радіуса 22 концентричні. Ґодзілла вписує квадрат CASHCASH у коло ω1\omega_{1} та правильний п'ятикутник MONEYMONEY у коло ω2\omega_{2}. Потім він записує всі 2020 (не обов'язково різних) відстаней між вершиною квадрата CASHCASH і вершиною п'ятикутника MONEYMONEY та перемножує їх усі. Чому дорівнює найбільше можливе значення його результату?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-033

Математичне сподівання квадрата модуля суми випадкових коренів

Майкл вибирає випадкову підмножину комплексних чисел {1,ω,ω2,…,ω2017}\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{2017}\}, де ω\omega — первісний корінь 2018-го2018^{\text{-го}} степеня з одиниці, причому всі підмножини мають однакову ймовірність бути обраними. Якщо сума елементів його підмножини дорівнює SS, чому дорівнює математичне сподівання ∣S∣2|S|^{2}? (Сума елементів порожньої множини дорівнює 0.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.